直角坐标系的二重积分

1、第二节第二节利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分 二、积分次序一、积分区域 如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分x型型)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy 为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzddyxfd 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xa),( yx

2、fz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf 得得.),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy y型型)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d x型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，3d2d1d在分

3、割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 dddd则必须分割则必须分割.xy 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图xy 222xxy 例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图例例 3 3 改变积分改变积分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.axy2 解解= ayaaaydx

4、yxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例 4 4 求求 ddxdyyx)(2，其其中中d是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域.解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例5 5 求求 dydxdyex22，其其中中 d 是是以以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(为

5、为顶顶点点的的三三角角形形. dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例 6 6 计计算算积积分分 yxydxedyi212141 yyxydxedy121.解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxi2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 22221),(xxxdyyxfdx1、改换积分次序、改换积分次序 ddxyx)(222、计计算算xyxyyd2, 2及及是是由由直直线线其其中中所围成的闭区域所围成的闭区域.练习练习211210),(yydxyxfdy答答案案：613613答案：答案：13/6二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角