二面角的求法(精华版)（课堂PPT）

1、11、掌握二面角的定义法；、掌握二面角的定义法；2、掌握二面角的三垂线法；、掌握二面角的三垂线法；3、掌握二面角的垂面法、掌握二面角的垂面法;4、掌握二面角的射影面积法、掌握二面角的射影面积法;5、掌握二面角的向量法。、掌握二面角的向量法。2 从一条直线出发的两个半平面所组成从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角这条直线叫做二面角的棱的棱, 这两个半平面叫做二面角的面这两个半平面叫做二面角的面.复复 习习:l2、二面角的表示方法、二面角的表示方法AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCDABCEFD二面角二面角C

2、AB E1、定义、定义3 ABP l二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足： 3）角的两边都要垂直于二面角的棱）角的两边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内）角的两边分别在两个面内 二面角的平面角的范围二面角的平面角的范围: 0180 二面角的大小用它的平面角的大小来度量二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端以二面角的棱上任意一点为端点点, 在两个面内分别作垂直于棱的在两个面内分别作垂直于棱的两条射线两条射线, 这两条射线所成的角叫这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。做二面角的平面角。A1B1 P1 注意注意:

3、 :(与顶点位置无关与顶点位置无关) APB= A1P1B1一、几何法：一、几何法：1、定义法、定义法:以二面角的棱以二面角的棱a a上任意一点上任意一点O O为端点，在两个面内为端点，在两个面内分别作垂直于分别作垂直于a a 的两条射线的两条射线OA,OBOA,OB，则，则AOBAOB就是就是此二面角的平面角此二面角的平面角。aOAB在一个平面在一个平面 内选一点内选一点A A向另一平面向另一平面 作垂线作垂线ABAB，垂足为垂足为B B，再过点，再过点B B向棱向棱a a作垂线作垂线BOBO，垂足，垂足 为为O O，连结连结AOAO，则，则AOBAOB就是二面角的平面角。就是二面角的平面角

4、。3、垂面法、垂面法:过二面角内一点过二面角内一点A作作AB 于于B，作，作AC 于于C，面，面ABC交棱交棱a于点于点O，则，则BOC就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。aABCO2、三垂线法、三垂线法:ABOa PABCD过过E作作EDPC于于D， 则则BDE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。连结连结BD， 过过B作作BEAC于于E， E ABC为正为正， BE=a23在在RtPAC中，中，E为为AC中点，中点，则则DE=在在RtDEB中中a42tan BDE=DEBE6 BDE=arctan 6例例1:已知正三角形已知正三角形ABC，PA面面ABC，且，且PA=AB=a， 求

5、二面角求二面角A-PC-B的大小。的大小。三垂线法三垂线法: :几点说明几点说明：定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法我们首选的方法。三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连

6、结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。算简便，所以我们常用此法。垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用一点不好选择，所以此法一般不用。以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关

7、系，再用公式, ,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。练习练习1:正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中， E为棱为棱AA1的中点，求平面的中点，求平面EB1C和平面和平面ABCD所成的二面角。所成的二面角。ABCDA1B1C1D1E1 111cosA B CEB CSSEFGABDCA1B1D1C1HFGBCDAH练习练习2：在正方体：在正方体AC1中，中，E,F分别是中分别是中点点,求截面求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的锐所成的锐二面角的大小。二面角的大小。EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1C

8、练习练习2：在正方体：在正方体AC1中，中，E,F分别是中分别是中点点,求截面求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的锐所成的锐二面角的大小。二面角的大小。1cosAFCGA FCESS练习练习3：三棱锥：三棱锥P-ABC中，中，PA 平面平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（1）求二面角）求二面角P-BC-A的大小；的大小； （2）求二面角）求二面角A-PC-B的大小。的大小。PABCDEcosABCPBCSS111、方向向量法、方向向量法:二、向量法：二、向量法：lABCD,arccoslBCl ABCDABl CDlBA CDBA CDBA CDBA CD 二面角中、且，二

9、面角的大小等于将二面角转化为二面角的两个面将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内垂的方向向量（在二面角的面内垂直于二面角的棱且指向该面方向直于二面角的棱且指向该面方向的向量）所成的角。的向量）所成的角。121113ACABDC例 ：在正方体中，求二面角的大小。1111OCDBDABACxyz解解：建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为不妨设正方体的棱长为2，BD的中点为的中点为O，则，则B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，O（1，1，0）,0 , 2 , 2DB ,2 , 1, 10 , 1 , 12 , 0

10、 , 21OA2 , 1 , 11OC12 121020DB OA （）12 ( 1)2 1020DB OC A1OBD，C1OBD 即为二面角即为二面角A1-BDC1的平面角。的平面角。11OA ,CO 31COACOAC,OAcos111111 OOO二面角二面角A A1 1BDBDC C1 1的大小为的大小为31arccos13求二面角的大小，先求出两个半平面的法向求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。互补求出二面角的大小。 mn如图：二面角的大小等于如图：二面角的大小等于 -2、平面法向量

11、法、平面法向量法:142、平面法向量法、平面法向量法:求二面角的大小，先求出两个半平面的法向求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。互补求出二面角的大小。mn如图：二面角的大小等于如图：二面角的大小等于15例例4:在底面是直角梯形的四棱锥在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，中，ABC=90，SA面面ABCD， AD= SA=AB=BC=1，求面求面SCD与面与面SBA所成的二面角的大小所成的二面角的大小.12xyz解：以解：以A为原点，如图为原点，如图 建立空间直角坐标系。建立空间直角坐标系。0,

12、0,1 ,1,1,0 ,10,0 ,1,0,02SCDB则：16, ,SCDnx y z设平面的法向量为,0,011,1, 1 ,0, 12nSC nSDn SCn SDSCSD 01,2,1202xyzxznyyzz 10,02SABAD平面的法向量为0 1 06cos,1362nADn ADnAD 6,cos3n ADarc 因为二面角为锐角因为二面角为锐角 。 6cos3arc二面角的大小为17 11111111111 .2 .ABCDABC DEBCFCDFDFAB FD EAB FCEFA练习：在棱长为的正方体中，是棱的中点， 是棱上的动点。确定 的位置，使得平面；当平面时，求二面角

13、的大小。C1CB1BEA1D1DAFxyz18AAxyz解：以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 11111 .,0,0,0 ,1,0,0 ,1,1,0,0,1,0 ,0,0,1 ,11,0,1 ,1,1,10,1,1 ,1,0 ,1,02DFxABCDABCDEF x设则11111111, 1 ,1,0,1 ,1,021 10D EABAFxD EABD EAB 11110D EAB FD EAFD EAF 平面11022xx 111102FCDFD EAB F是的中点，即， ， 时，平面 11 112 .,0 ,0,12 22EFEC 19111, ,0,0C EFnx y znEF nECn EFn EC 设平面的法向量为1101221,1,1202xynyz10,0,1AEF