九年级数学下册第27章圆27.2与圆有关的位置关系3切线第2课时切线长定理及三角形的内切圆教学课件（新版）华东师大版

1、 与圆有关的位置关系第2课时 切线长定理及三角形的内切圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结3. 切线学习目标1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点）导入新课导入新课情境引入同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？讲授新课讲授新课切线长定理及应用一互动探究问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？POBAO.PA B P1.切线长的定义： 切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长AO切线是直

2、线，不能度量.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量2.切线长与切线的区别在哪里？知识要点问题2 PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B OB是O的一条半径吗？ PB是O的切线吗？（利用图形轴对称性解释） PA、PB有何关系？ APO和BPO有何关系？O.PABPO切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.PA、PB分别切O于A、BPA = PBOPA=OPB几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.注意知识要点O.P已知，如图PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.求证：

3、PA=PB，APO=BPO.证明：PA切O于点A， OAPA.同理可得OBPB.OA=OB，OP=OP，RtOAPRtOBP，PA=PB，APO=BPO.推理验证AB想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB.证明：PA，PB是 O的切线,点A，B是切点 PA = PB ，OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB.O.PABM想一想：若延长PO交 O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.证明：PA，PB是 O的切线,点A，B是切点， PA = PB ，OPA=OPB. PC=PC. P

4、CA PCB， AC=BC.CA=CBO.PABC典例精析例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与 O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.ABCDO证明：AB、BC、CD、DA与 O分别相切与点E、F、G、H，EFGH AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.AB+CD=AD+BC.例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半

5、径解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知OPA为直角三角形，从而在RtOPA中由勾股定理易求得半径O在RtOPA中，PA5，POA30，OQ解：过O作OQAB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.AP、AQ为 O的切线，AO为PAQ的平分线，即PAOQAO.又BAC60，PAOQAOBAC180，PAOQAO60.=5 3cm.OP即铁环的半径为5 3cm.1.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；OAPA，OB PB，AB OP.（3）写出图中所有的全等三角形；AOP BOP， AOC BOC， A

6、CP BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形.ABP AOB（2）写出图中与OAC相等的角；OAC=OBC=APC=BPC.P练一练P 2.PA、PB是O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP= ;（2）若BPA=60 ,则OP= .56 3.如图，PA、PB是O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，P=40.则 DOE= . PDE的周长是 ；14OPABCED70解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.PA、PB是O的两条切线，点A、B是切点，PA=PB=7.PAO=PBO=90. AOB=360

7、-PAO-PBO-P=140. 又DC、DA是O的两条切线，点C、A是切点，DC=DA.同理可得CE=CB.OPABCEDD，E是切线PA，PB上的点，DOC=DOA= AOC.12DOE=DOC+COE= (AOC+COB)=70.12COE=BOE= AOC.12SPDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.切线长问题辅助线添加方法：（1）分别连接圆心和切点；（2）连接两切点；（3）连接圆心和圆外一点.方法归纳 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？三角形的内切圆及作法二互动探究问题1 如果

8、最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ OOOO最大的圆与三角形三边都相切三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的I与ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2) 在ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.为什么呢？已知：ABC.求作：和ABC的各边都相切的圆.ABCOMND作法：1.作B和C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作ODBC.垂足为D.3.以O为圆

9、心，OD为半径作圆O.O就是所求的圆.做一做1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.BACI I是ABC的内切圆，点I是ABC的内心，ABC是I的外切三角形.知识要点三角形的内心的性质三BACI问题1 如图，I是ABC的内切圆，那么线段OA，OB ,OC有什么特点？互动探究线段OA，OB ,OC 分别是A，B，C的平分线.BACI问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？EFGIE=IF=IG知识要点u三角形内心的性质三角形内心的性质三角形

10、的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.BACIEFG IA，IB，IC是ABC的角平分线，IE=IF=IG.例3 如图，ABC中， B=43，C=61 ，点I是ABC的内心，求 BIC的度数.解：连接IB，IC.ABCI点I是ABC的内心，IB，IC分别是 B，C的平分线，在IBC中，180()BICIBCICB 1180()2BC 1180(4361 )2128 .例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.该木模可以抽象为几何

11、如下几何图形.CABrOD解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.圆O是ABC的内切圆,AO、BO是BAC、ABC的角平分线 ABC是等边三角形, OAB=OBA=30oODAB，AB=3cm，AD=BD= AB=1.5(cm)12OD=AD tan30o= (cm)32答:圆柱底面圆的半径为 cm.32例5 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？BACEDFO解: 设AF=xcm，则AE=xcm.CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， B

12、F=BD=AB-AF=13-x(cm).由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得 x=4.ACEDFO比一比名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部ABOABCO1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.解：如

13、图，由题意可知BC=6cm,ABC=60，ODBC，OB平分ABC.OBD=30，BD=3cm,OBD为直角三角形.tan303cm.ODBD2 3cm.cos30BDBD 内切圆半径外接圆半径练一练变式：求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.sinOBD sin30 rR ODOB .12ABCODEFABCDEFO2.设ABC的面积为S，周长为L， ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？111222SAB OFAC OEBC ODggg11().22ABACBC rLrABCOcDEr3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的

14、半径r为_（以含a、b、c的代数式表示r）.2abcr解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.F则AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以.2abcr2.如图，已知点O是ABC 的内心，且ABC= 60 , ACB= 80 ,则BOC= . 1.如图，PA、PB是O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, APB= 40 ,则APO= ,PB= . P第1题第2题当堂练习当堂练习20 4110 （3）若BIC=100 ，则A = 度.（2）若A=80 ，则BIC = 度.130203.如图，在ABC中，点I是内心， （1）若ABC=50， ACB=70，BIC=_.ABCI（4）试探索： A与BIC之间存在怎样的数量关系？120190.2BICA4.如图所示，已知在ABC中，B90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DEOC.方法一：证明：连接OD，AC切O点D，ODAC，ODC=B=90.在RtOCD和RtOCB中， ODOB ，OCOC RtODCRtOBC（HL），DOC=BO