概率论课件 随机事件

1、第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率1.3 古典概型古典概型1.4 条件概率条件概率1.5 事件的独立性事件的独立性 1.1 随机事件随机事件1.2 随机事件的概率随机事件的概率 1.1 随机事件随机事件一、随机现象一、随机现象在自然界和人类社会生活中在自然界和人类社会生活中象，象，一类是在一定条件下必然出现的现象，一类是在一定条件下必然出现的现象， 称称例如：例如：1. 一物体从高度为一物体从高度为h(米米)处垂直下落，处垂直下落， 则经过时则经过时t刻刻(秒秒) 后必然落到地面，后必然落到地面，221gth ,2ght 其中其中8 . 9 g(米米/秒秒2).2. 设有一块长方形

2、的金属板，设有一块长方形的金属板，普遍存在着两类现普遍存在着两类现为为确定性现象确定性现象.且由且由随机现象随机现象2. 设有一块长方形的金属板，设有一块长方形的金属板， 若在其边界上若在其边界上持续施加确定的温度，持续施加确定的温度，产生确定的温度分布产生确定的温度分布 .3. 异性电荷相互吸引，异性电荷相互吸引， 同性电荷相互排斥同性电荷相互排斥.另一类则是我们事先无法另一类则是我们事先无法现象，现象，称为称为随机现象随机现象. 例如：例如：在相同的条件下抛掷同一枚硬币，在相同的条件下抛掷同一枚硬币，我们无我们无法事先预知法事先预知则金属板必然因受热则金属板必然因受热准确预知其结果的准确预

3、知其结果的1.将出现正面还是反面；将出现正面还是反面；随机现象随机现象在相同的条件下抛掷同一枚硬币，在相同的条件下抛掷同一枚硬币， 我们无法我们无法事先预知事先预知1.将出现正面还是反面；将出现正面还是反面；2. 在相同的条件下抛掷同一枚骰子，在相同的条件下抛掷同一枚骰子， 我们无法我们无法六面中哪一面朝上；六面中哪一面朝上；3.将来某日某种股票的价格是多少？将来某日某种股票的价格是多少？从亚里士多德时代开始，从亚里士多德时代开始， 哲学家们就已经认识哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，到随机性在生活中的作用， 但直到但直到20世纪初，世纪初，事先预知事先预知随机现象随机现象从亚里士多德

4、时代开始，从亚里士多德时代开始， 哲学家们就已经认识哲学家们就已经认识到随机性在实际问题中的作用，到随机性在实际问题中的作用， 但直到但直到20世纪初，世纪初，来进行研究来进行研究.随机现象及其规律性的一门数学学科，随机现象及其规律性的一门数学学科， 而我们而我们则是研究确定性现象的则是研究确定性现象的完完人们才认识到随即现象亦可人们才认识到随即现象亦可以以通过通过数量化方法数量化方法概率论就是以数量化方法来概率论就是以数量化方法来研究研究已学过的微积分等课程已学过的微积分等课程数学学科数学学科.随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性由于随机现象的结果事先不能预知，由于随机现象的结果事先不能

5、预知， 初看似乎初看似乎毫无规律毫无规律.同一随机现象大量重同一随机现象大量重复出现时，复出现时，出现的频率具有出现的频率具有稳定性，稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律从而表明随机现象也有其固有的规律性性.所表现所表现出的量的规律性出的量的规律性概率论与数理统计是研究概率论与数理统计是研究的一门学科的一门学科.然而人们发现然而人们发现其每种可能的结果其每种可能的结果人们把随机现象在大量重复出现时人们把随机现象在大量重复出现时称为随机现象的称为随机现象的统计规律性统计规律性.随机现象统计规律性随机现象统计规律性二、随机试验二、随机试验概率论与数理统计是研究概率论与数理统计是研究的一门学科的

6、一门学科.随机现象统计规律性随机现象统计规律性为了对随机现象的统计规律性进行研究，为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需就需对随机现象进行重复观察，对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象我们把对随机现象的观察称为的观察称为随机试验随机试验，并简称为并简称为试验试验，记为记为E.例如，例如，观察某射手对固定目标进行射击；观察某射手对固定目标进行射击；抛一抛一枚硬币三次，枚硬币三次，观察出现正面的次数；观察出现正面的次数；记录某市记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等急救电话一昼夜接到的呼叫次数等机试验机试验. 均为随均为随随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性例如，例如，观察某射手对

7、固定目标进行射击；观察某射手对固定目标进行射击；抛一抛一枚硬币三次，枚硬币三次，观察出现正面的次数；观察出现正面的次数；记录某市记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等急救电话一昼夜接到的呼叫次数等机试验机试验. 均为随均为随随机试验具有下列特点：随机试验具有下列特点：可重复性可重复性： 试验可以在相同的条件下重复进试验可以在相同的条件下重复进行；行；可观察性可观察性： 试验结果可观察，试验结果可观察，所有可能的结所有可能的结果是明确的；果是明确的；1.2.随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性随机试验具有下列特点：随机试验具有下列特点：可重复性可重复性：试验可以在相同的条件下重复进试验

8、可以在相同的条件下重复进行；行；可观察性可观察性：试验结果可观察，试验结果可观察，所有可能的结所有可能的结果是明确的；果是明确的；1.2.3. 不确定性不确定性：每次试验出现的结果事先不能准每次试验出现的结果事先不能准确预知确预知.历史上，历史上，研究随机现象统计规律研究随机现象统计规律是投掷硬币的试验是投掷硬币的试验. 最著名的试验最著名的试验随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性历史上，历史上，研究随机现象统计规律研究随机现象统计规律是投掷硬币的试验是投掷硬币的试验. 最著名的试验最著名的试验下表是历史上投掷硬币试验下表是历史上投掷硬币试验的记录的记录. 试验者试验者投掷次数（投掷次数（

9、n n） 正面次数（正面次数（r rn n）正面频率（正面频率（ r rn n ）De Morgan Buffon Pearson Pearson 2048 4040 12000 24000106120486019120120.51810.50690.50160.5005试验表明：试验表明：虽然每次投掷硬币虽然每次投掷硬币知将出现正面还是反面，知将出现正面还是反面，但大量重复试验时，但大量重复试验时，事先无法准确预事先无法准确预随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性试验表明：试验表明：虽然每次投掷硬币虽然每次投掷硬币知将出现正面还是反面，知将出现正面还是反面，但大量重复试验时，但大量重复试验

10、时，事先无法准确预事先无法准确预发现出现正面和反面的次数大致相等，发现出现正面和反面的次数大致相等，即各占即各占总试验次数的比例大致为总试验次数的比例大致为0.5， 并且随着试验次并且随着试验次数的增加，数的增加，这一比例更加稳定地趋于这一比例更加稳定地趋于0.5.完完样本空间样本空间尽管一个随机试验尽管一个随机试验但其所有可能结果是明确的，但其所有可能结果是明确的， 我们把随机试验我们把随机试验称为一个称为一个样本点样本点， 常记为常记为. 它们的全体称为它们的全体称为样本空间样本空间， 记为记为S (或或). 例如：例如：1. 在抛掷一枚硬币在抛掷一枚硬币试验中，试验中，有两个样本点：有两

11、个样本点：正面、反面正面、反面. 样本空样本空间为间为将要出现的结果是不确定的，将要出现的结果是不确定的，的每一种可能的结果的每一种可能的结果观察其出现正面或反面的观察其出现正面或反面的三、样本空间三、样本空间尽管一个随机试验尽管一个随机试验但其所有可能结果是明确的，但其所有可能结果是明确的， 我们把随机试验我们把随机试验称为一个称为一个样本点样本点， 常记为常记为. 它们的全体称为它们的全体称为样本空间样本空间， 记为记为S (或或). 例如：例如：将要出现的结果是不确定的，将要出现的结果是不确定的，的每一种可能的结果的每一种可能的结果样本空间样本空间尽管一个随机试验尽管一个随机试验但其所有

12、可能结果是明确的，但其所有可能结果是明确的， 我们把随机试验我们把随机试验称为一个称为一个样本点样本点， 常记为常记为. 它们的全体称为它们的全体称为样本空间样本空间， 记为记为S (或或). 例如：例如：将要出现的结果是不确定的，将要出现的结果是不确定的，的每一种可能的结果的每一种可能的结果 S正面，反面正面，反面或或 121(,eeeS正面，正面， 2e反面反面).2.在将一枚硬币抛掷三次，在将一枚硬币抛掷三次，观察正面观察正面H、反面、反面T出现情况的试验中，出现情况的试验中，有有8个样本点，个样本点，样本空间：样本空间：在抛掷一枚硬币在抛掷一枚硬币试验中，试验中，观察其出现正面或反面的

13、观察其出现正面或反面的样本空间样本空间2.在将一枚硬币抛掷三次，在将一枚硬币抛掷三次，观察正面观察正面H、反面、反面T出现情况的试验中，出现情况的试验中，有有8个样本点，个样本点，样本空间：样本空间：样本空间样本空间2.在将一枚硬币抛掷三次，在将一枚硬币抛掷三次，观察正面观察正面H、反面、反面T出现情况的试验中，出现情况的试验中，有有8个样本点，个样本点，样本空间：样本空间： S.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH3.在抛掷一枚骰子，在抛掷一枚骰子，观察其出现的点数的试验中，观察其出现的点数的试验中，有有6个样本点：个样本点：1点，点，2点，点，3点，点，4点，点，5点，点，6

14、点，点，样本空间可简记为样本空间可简记为 S1，2，3，4，5，6.4. 观察某电话交换台观察某电话交换台其样本点有无穷多个：其样本点有无穷多个：i次，次，, 3 , 2 , 1 , 0 i在一天内收到的呼叫次数，在一天内收到的呼叫次数，样本空间样本空间4. 观察某电话交换台观察某电话交换台其样本点有无穷多个：其样本点有无穷多个：i次，次，, 3 , 2 , 1 , 0 i在一天内收到的呼叫次数，在一天内收到的呼叫次数，测试其寿命，测试其寿命， S0，1，2，3，.5. 在一批灯泡中任意抽取一个，在一批灯泡中任意抽取一个，其样本点也有无穷多个其样本点也有无穷多个(且不可数且不可数)：t小时，小

15、时，,0 t样本空间可简记为样本空间可简记为样本空间可简记为样本空间可简记为)., 00| ttS6. 设随机试验为设随机试验为从装有三个白球从装有三个白球(记号为记号为1，2，3)样本空间样本空间6. 设随机试验为设随机试验为从装有三个白球从装有三个白球(记号为记号为1，2，于两个黑球于两个黑球(记号为记号为4，5)的袋中任取两球的袋中任取两球.若观察取出的两个球的颜色，若观察取出的两个球的颜色， 则样本点为则样本点为00e(两个白球两个白球),11e(两个黑球两个黑球),01e(一白一黑一白一黑),于是样本空间于是样本空间.,011100eeeS 若观察取出的两个球的号码，若观察取出的两个

16、球的号码，则样本点为：则样本点为：ije(取出第取出第i号与第号与第j号球号球), 51 ji3).(1)(2)样本空间样本空间若观察取出的两个球的号码，若观察取出的两个球的号码，则样本点为：则样本点为：ije(取出第取出第i号与第号与第j号球号球), 51 ji(2)于是样本空间共有于是样本空间共有1025 C个样本点，个样本点，样本空间样本空间.51| jieSij注注：这个例子表明，这个例子表明， 同一个随机试验，同一个随机试验，试验的试验的是根据观察的内容而确定的是根据观察的内容而确定的.完完样本点与样本空间样本点与样本空间四、随机事件四、随机事件在随机试验中，在随机试验中，人们除了关

17、心试验的结果本身外，人们除了关心试验的结果本身外，往往还关心试验的结果往往还关心试验的结果察的特征，察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为一概率论中将这一可观察的特征称为一个个事件事件 ， 它分三类：它分三类：随机事件随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的在试验中可能发生也可能不发生的事件；事件；2.必然事件必然事件：在每次试验中都必然发生的事件；在每次试验中都必然发生的事件；3. 不可能事件不可能事件：1.是否具备某一指定的可观是否具备某一指定的可观随机事件随机事件随机事件随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的在试验中可能发生也可能不发生的事件；事件；2.必然事件必然事件：在每次试验中

18、都必然发生的事件；在每次试验中都必然发生的事件；3. 不可能事件不可能事件：1.随机事件随机事件随机事件随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的在试验中可能发生也可能不发生的事件；事件；2.必然事件必然事件：在每次试验中都必然发生的事件；在每次试验中都必然发生的事件；3. 不可能事件不可能事件：在任何一次试验中都不可能发在任何一次试验中都不可能发1.生的事件生的事件.例如，例如，在抛掷一枚骰子的试验中，在抛掷一枚骰子的试验中，我们也许会关我们也许会关心出现的点数是否为奇数，心出现的点数是否为奇数，这里，这里，就是一个事件就是一个事件. 它在试验中可能发生也可能不发它在试验中可能发生也可能不发生

19、，生，即是一个随机事件即是一个随机事件. 同样，同样，“点数为奇数点数为奇数”随机事件随机事件随机事件随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的在试验中可能发生也可能不发生的事件；事件；2.必然事件必然事件：在每次试验中都必然发生的事件；在每次试验中都必然发生的事件；3. 不可能事件不可能事件：在任何一次试验中都不可能发在任何一次试验中都不可能发1.生的事件生的事件.随机事件随机事件随机事件随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的在试验中可能发生也可能不发生的事件；事件；2.必然事件必然事件：在每次试验中都必然发生的事件；在每次试验中都必然发生的事件；3. 不可能事件不可能事件：在任何一次试验中

20、都不可能发在任何一次试验中都不可能发1.生的事件生的事件.“点数小于点数小于7”与与“点数为点数为8”也分别是一个事件，也分别是一个事件，者在试验中是必然发生的，者在试验中是必然发生的，即是必然事件，即是必然事件， 后者后者在试验中是不可能发生的，在试验中是不可能发生的， 即是不可能事件即是不可能事件.前前随机事件随机事件随机事件随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的在试验中可能发生也可能不发生的事件；事件；2.必然事件必然事件：在每次试验中都必然发生的事件；在每次试验中都必然发生的事件；3. 不可能事件不可能事件：在任何一次试验中都不可能发在任何一次试验中都不可能发1.生的事件生的事件.显

21、然，显然，必然事件与不可能事件都是确定性事件必然事件与不可能事件都是确定性事件.为讨论方便，为讨论方便，今后将它们看作是两个特殊的随今后将它们看作是两个特殊的随机事件，机事件，并将随机事件简称为并将随机事件简称为事件事件.完完事件的集合表示事件的集合表示按定义，按定义，样本空间样本空间S是随机试验的是随机试验的结果结果(样本点样本点)的全体，的全体，故样本空间就是所有样故样本空间就是所有样本点构成的集合，本点构成的集合，每一样本点是该集合的元素每一样本点是该集合的元素.一个事件是由具有该事件一个事件是由具有该事件些可能结果所构成，些可能结果所构成，故一个事件是对应于故一个事件是对应于 中中S具

22、有相应特征的样本点具有相应特征的样本点(元素元素)构成的集合，构成的集合，它它是是S的一个子集的一个子集. 于是，于是，所有可能所有可能所要求的特征的那所要求的特征的那事件的集合表示事件的集合表示一个事件是由具有该事件一个事件是由具有该事件些可能结果所构成，些可能结果所构成，故一个事件是对应于故一个事件是对应于 中中S具有相应特征的样本点具有相应特征的样本点(元素元素)构成的集合，构成的集合，它它是是S的一个子集的一个子集. 于是，于是，所要求的特征的那所要求的特征的那事件的集合表示事件的集合表示一个事件是由具有该事件一个事件是由具有该事件些可能结果所构成，些可能结果所构成，故一个事件是对应于

23、故一个事件是对应于 中中S具有相应特征的样本点具有相应特征的样本点(元素元素)构成的集合，构成的集合，它它是是S的一个子集的一个子集. 于是，于是，任何一个事件都可以任何一个事件都可以所要求的特征的那所要求的特征的那用用 S 的某一子集来表示的某一子集来表示，表示表示.某事件某事件A发生，发生，就是属于该集合的某一样本就是属于该集合的某一样本点在试验中出现点在试验中出现. 若记若记s为试验中出现的样本为试验中出现的样本点，点，常用字母常用字母,BA等等则则事件的集合表示事件的集合表示某事件某事件A发生，发生，就是属于该集合的某一样本就是属于该集合的某一样本点在试验中出现点在试验中出现. 若记若

24、记s为试验中出现的样本为试验中出现的样本点，点，则则事件的集合表示事件的集合表示某事件某事件A发生，发生，就是属于该集合的某一样本就是属于该集合的某一样本点在试验中出现点在试验中出现. 若记若记s为试验中出现的样本为试验中出现的样本点，点，则则事件事件A发生发生.As 例如，例如，在掷骰子的试验中，在掷骰子的试验中，样本空间样本空间 S1，2，3，4，5，6；事件事件:B点数小于点数小于5事件事件:C点数小于点数小于5的偶数的偶数 B1，2，3，4； C2，4；事件的集合表示事件的集合表示某事件某事件A发生，发生，就是属于该集合的某一样本就是属于该集合的某一样本点在试验中出现点在试验中出现.

25、若记若记s为试验中出现的样本为试验中出现的样本点，点，则则事件事件A发生发生.As 事件的集合表示事件的集合表示某事件某事件A发生，发生，就是属于该集合的某一样本就是属于该集合的某一样本点在试验中出现点在试验中出现. 若记若记s为试验中出现的样本为试验中出现的样本点，点，则则事件事件A发生发生.As 称仅含一个样本点的事件为称仅含一个样本点的事件为基本事件基本事件；称含有两称含有两个或两个以上样本点的事件为个或两个以上样本点的事件为复合事件复合事件.显然，显然，样本空间样本空间S作为事件是必然事件，作为事件是必然事件，作为一个事件是不可能事件作为一个事件是不可能事件.完完空集空集六、事件的关系

26、与运算六、事件的关系与运算因事件是一个集合，因事件是一个集合，故事件间的关系与运算可按故事件间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理集合之间的关系和运算来处理. 下面给出这些关下面给出这些关系与运算系与运算1.:BA 事件事件B包含事件包含事件A 或或 事件事件A包含于事包含于事件件B 或或 A是是B 的子事件的子事件，其含义：其含义：然导致事件然导致事件B发生发生. 显然显然.SA 事件事件A发生必发生必2.BA (即即,BA 且且:)AB A称事件称事件 与事与事B相等相等.件件在概率论中的提法和含义在概率论中的提法和含义.事件的关系与运算事件的关系与运算1.:BA 事件事件B包含事件

27、包含事件A 或或 事件事件A包含于事包含于事件件B 或或 A是是B 的子事件的子事件，其含义：其含义：然导致事件然导致事件B发生发生. 显然显然.SA 事件事件A发生必发生必2.BA (即即,BA 且且:)AB A称事件称事件 与事与事B相等相等.件件事件的关系与运算事件的关系与运算1.:BA 事件事件B包含事件包含事件A 或或 事件事件A包含于事包含于事件件B 或或 A是是B 的子事件的子事件，其含义：其含义：然导致事件然导致事件B发生发生. 显然显然.SA 事件事件A发生必发生必2.BA (即即,BA 且且:)AB A称事件称事件 与事与事B相等相等.件件3. BAAee |或或Be ：与

28、事件与事件B的的和事件和事件.4. BAAee |且且Be ：称为事件称为事件A与事件与事件B的的积事件积事件.称为事件称为事件A事件的关系与运算事件的关系与运算3. BAAee |或或Be ：与事件与事件B的的和事件和事件.4. BAAee |且且Be ：称为事件称为事件A与事件与事件B的的积事件积事件.称为事件称为事件A事件的关系与运算事件的关系与运算3. BAAee |或或Be ：与事件与事件B的的和事件和事件.4. BAAee |且且Be ：称为事件称为事件A与事件与事件B的的积事件积事件.称为事件称为事件A5.称为事件称为事件A与事件与事件B的的差事件差事件.例如，例如，在抛掷骰子的

29、试验中，在抛掷骰子的试验中，记事件记事件:A“点数为奇数点数为奇数”，:B“点数小于点数小于5”.则则 BA1，2，3，4，5； BA1，3；Aee |且且Be ： - - BA事件的关系与运算事件的关系与运算5.称为事件称为事件A与事件与事件B的的差事件差事件.例如，例如，在抛掷骰子的试验中，在抛掷骰子的试验中，记事件记事件:A“点数为奇数点数为奇数”，:B“点数小于点数小于5”.则则 BA1，2，3，4，5； BA1，3；Aee |且且Be ： - - BA事件的关系与运算事件的关系与运算5.称为事件称为事件A与事件与事件B的的差事件差事件.例如，例如，在抛掷骰子的试验中，在抛掷骰子的试验

30、中，记事件记事件:A“点数为奇数点数为奇数”，:B“点数小于点数小于5”.则则 BA1，2，3，4，5； BA1，3；Aee |且且Be ： - - BA.5 - - BA6. 若若, BA则称事件则称事件A与与B是是互不相互不相容的容的(或或互斥的互斥的).7.若若SBA 且且, BA事件的关系与运算事件的关系与运算6. 若若, BA则称事件则称事件A与与B是是互不相互不相容的容的(或或互斥的互斥的).7.若若SBA 且且, BA事件的关系与运算事件的关系与运算6. 若若, BA则称事件则称事件A与与B是是互不相互不相容的容的(或或互斥的互斥的).7.若若SBA 且且, BA事件事件B互互为

31、对立事件为对立事件，为为逆事件逆事件. A的对立事件记为的对立事件记为,A于是于是件或可数无限个事件的情形件或可数无限个事件的情形.ASA- - 注注：事件的关系与运算可用维恩图形象表之事件的关系与运算可用维恩图形象表之事件的和与积的运算可推广到事件的和与积的运算可推广到则称事件则称事件A与与或事件或事件A与事件与事件B互互(1)(2)有限个事有限个事事件的关系与运算事件的关系与运算件或可数无限个事件的情形件或可数无限个事件的情形.注注：事件的关系与运算可用维恩图形象表之事件的关系与运算可用维恩图形象表之事件的和与积的运算可推广到事件的和与积的运算可推广到(1)(2)有限个事有限个事事件的关系

32、与运算事件的关系与运算件或可数无限个事件的情形件或可数无限个事件的情形.注注：事件的关系与运算可用维恩图形象表之事件的关系与运算可用维恩图形象表之事件的和与积的运算可推广到事件的和与积的运算可推广到(1)(2)有限个事有限个事.ABBA . 完备事件组完备事件组设设,21nAAA是有限或可数个事件，是有限或可数个事件，事件的和与积的另一记法：事件的和与积的另一记法：,BABA 满足：满足：(3)若其若其事件的关系与运算事件的关系与运算. 完备事件组完备事件组设设,21nAAA是有限或可数个事件，是有限或可数个事件，满足：满足：若其若其事件的关系与运算事件的关系与运算. 完备事件组完备事件组设设

33、,21nAAA是有限或可数个事件，是有限或可数个事件，满足：满足：若其若其;, 2 , 1,)1( jijiAAji.)2(SAii 则称则称,21nAAA是一个是一个完备事件组完备事件组.显然，显然，A与与A构成一个完备事件组构成一个完备事件组.完完事件间关系与运算的维恩图事件间关系与运算的维恩图事件的运算规律事件的运算规律由集合的运算律，由集合的运算律，易给出事件间的运算律易给出事件间的运算律. 设设CBA,为同一随机试验为同一随机试验E中的事件，中的事件，则有则有(1) 交换律交换律,ABBA ;ABBA (2) 结合律结合律),()(CBACBA );()(CBACBA (3) 分配律

34、分配律),()()(CBCACBA 事件的运算规律事件的运算规律(3) 分配律分配律),()()(CBCACBA 事件的运算规律事件的运算规律(3) 分配律分配律),()()(CBCACBA );()()(CBCACBA (4) 自反律自反律;AA (5) 对偶律对偶律.)(BABA 注注：上述各运算律可推广到上述各运算律可推广到件的情形件的情形.完完,)(BABA有限个或可数个事有限个或可数个事例例1在管理系学生中任选一名学生在管理系学生中任选一名学生, ,示选出的是男生示选出的是男生, , 事件事件B表示选出的是三年级学表示选出的是三年级学生生, , 事件事件C表示该生是运动员表示该生是运

35、动员. .(1)叙述事件叙述事件ABC的意义的意义. .(3)什么条件下什么条件下CB ？成立成立(2)什么条件下什么条件下ABCC ？(4)什么条件下什么条件下AB 成立成立 ？解解(1)ABC是指当选的学生是三年级男生是指当选的学生是三年级男生, , 但但不是运动员不是运动员. .(2)只有在只有在,CAB 令事件令事件A表表例例1在管理系学生中任选一名学生在管理系学生中任选一名学生, ,示选出的是男生示选出的是男生, , 事件事件B表示选出的是三年级学表示选出的是三年级学生生, , 事件事件C表示该生是运动员表示该生是运动员. .成立成立(3)什么条件下什么条件下CB ？(2)什么条件下

36、什么条件下ABCC ？(4)什么条件下什么条件下AB 成立成立 ？解解(2)只有在只有在,CAB 令事件令事件A表表例例1在管理系学生中任选一名学生在管理系学生中任选一名学生, ,示选出的是男生示选出的是男生, , 事件事件B表示选出的是三年级学表示选出的是三年级学生生, , 事件事件C表示该生是运动员表示该生是运动员. .成立成立(3)什么条件下什么条件下CB ？(2)什么条件下什么条件下ABCC ？(4)什么条件下什么条件下AB 成立成立 ？解解(2)只有在只有在,CAB 令事件令事件A表表成立成立ABCC 成立成立, , 即只有在全部即只有在全部运动员都是男生运动员都是男生, ,且全部运

37、动员都是三年级学生且全部运动员都是三年级学生的条件下才有的条件下才有.ABCC 同时同时即即,CA CB 的条件下才有的条件下才有例例1在管理系学生中任选一名学生在管理系学生中任选一名学生, ,示选出的是男生示选出的是男生, , 事件事件B表示选出的是三年级学表示选出的是三年级学生生, , 事件事件C表示该生是运动员表示该生是运动员. .(3)什么条件下什么条件下CB ？(4)什么条件下什么条件下AB 成立成立 ？解解令事件令事件A表表例例1在管理系学生中任选一名学生在管理系学生中任选一名学生, ,示选出的是男生示选出的是男生, , 事件事件B表示选出的是三年级学表示选出的是三年级学生生, ,

38、 事件事件C表示该生是运动员表示该生是运动员. .(3)什么条件下什么条件下CB ？(4)什么条件下什么条件下AB 成立成立 ？解解令事件令事件A表表(3)CB 表示表示也就是说也就是说, ,若当选的学生是运动员若当选的学生是运动员, , 那么一定是那么一定是三年级学生三年级学生, ,即在除三年级学生之外即在除三年级学生之外, ,其它年级其它年级没有运动员当选没有运动员当选.CB (4)AB 表示表示的条件下才有的条件下才有当选的女生一定是三年级学生当选的女生一定是三年级学生, ,全部运动员都是三年级学生全部运动员都是三年级学生, ,例例1在管理系学生中任选一名学生在管理系学生中任选一名学生,

39、 ,示选出的是男生示选出的是男生, , 事件事件B表示选出的是三年级学表示选出的是三年级学生生, , 事件事件C表示该生是运动员表示该生是运动员. .(4)什么条件下什么条件下AB 成立成立 ？解解令事件令事件A表表(4)AB 表示表示当选的女生一定是三年级学生当选的女生一定是三年级学生, ,例例1在管理系学生中任选一名学生在管理系学生中任选一名学生, ,示选出的是男生示选出的是男生, , 事件事件B表示选出的是三年级学表示选出的是三年级学生生, , 事件事件C表示该生是运动员表示该生是运动员. .(4)什么条件下什么条件下AB 成立成立 ？解解令事件令事件A表表(4)AB 表示表示当选的女生

40、一定是三年级学生当选的女生一定是三年级学生, ,且且BA 表示表示换换句话说句话说, , 若选女生若选女生, , 只能在三年级学生中选举只能在三年级学生中选举, , 同同时若选三年级学生时若选三年级学生在这样的条件在这样的条件下下, ,AB 成立成立. .当选的三年级学生一定是女生当选的三年级学生一定是女生. .只有女生中选举只有女生中选举. .完完例例2考察某一位同学在一次数学考试中的成绩考察某一位同学在一次数学考试中的成绩, , 分分别用别用,A B C D P F表示下列各事件表示下列各事件 (括号中表括号中表示成绩所处的范围示成绩所处的范围):A(90,100)优秀优秀B(80,90)

41、 良好良好C(70,80) 中等中等及格及格D(60,70)通过通过P(60,100)未通过未通过F(0,60)则则,A B C D F是两两不相容事件是两两不相容事件; ;PF PF与与是互为对立的事件是互为对立的事件, , 即有即有,A B C D均为均为P的子事件的子事件, , 且有且有.PABCD 完完例例3甲甲, , 乙乙, , 丙三人各射一次靶丙三人各射一次靶, , 记记A- -“甲种甲种靶靶”, ,B - -“乙中靶乙中靶”, ,“丙中靶丙中靶”, ,C - -则可用上述则可用上述三个事件的运算三个事件的运算(1)(3)(4)(2)“甲未中靶甲未中靶”: :;A;AB“甲中靶而乙

42、未中靶甲中靶而乙未中靶”: :“三人中只有丙未中靶三人中只有丙未中靶”: :;ABC;ABCABCABC“三人中恰好有一人中靶三人中恰好有一人中靶”: :(6)(7)(5)“三人中至少有一人中靶三人中至少有一人中靶”: :“三人中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”: :“三人中恰有两人中靶三人中恰有两人中靶”: :ABC或或;ABCABC或或;ABC;ABCABCABC来分别表示下列各事件来分别表示下列各事件: :(6)“三人中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”: :“三人中恰有两人中靶三人中恰有两人中靶”: :ABC或或;ABC;ABCABCABC(7)(10)(9)(8) “三

43、人中至少有两人未中靶三人中至少有两人未中靶”: :;ABACBC “三人中均未中靶三人中均未中靶”: :;ABC;ABCABCABC“三人中至多一人中靶三人中至多一人中靶”: :(11)“三人中至多两人中靶三人中至多两人中靶”: :ABC或或.ABC 注注: : 用其它事件的运算来表示一个事件用其它事件的运算来表示一个事件, , 方法往往方法往往不唯一不唯一, , 如本例中的如本例中的 (6)和和 (11)实际上是同一事件实际上是同一事件, ,读者应学会读者应学会特别在解决特别在解决具体问题时具体问题时, , 往往要更具需要往往要更具需要方法方法. .(6)“三人中至少有一人未中靶三人中至少有

44、一人未中靶”: :“三人中恰有两人中靶三人中恰有两人中靶”: :ABC或或;ABC;ABCABCABC(7)用不同方法表达同一事件用不同方法表达同一事件, ,选择一种恰当的表示选择一种恰当的表示完完例例4指出下列各等式命题是否成立指出下列各等式命题是否成立, , 并说明理由并说明理由: :(1);)(BBABA (2);BABA (3);CBACBA (4).)( BAAB解解 (1) 成立成立. .BBA)(SBA)( (分配律分配律)(2) 不成立不成立. . 若若A发生发生, ,A则必有则必有ABU发生发生, ,发生发生, ,A必有必有不发生不发生, , 从而从而BA不发生不发生, ,故

45、故BABA 不成立不成立. .(3) 不成立不成立. .若若CBA发生发生, ,)()(BBBA .BA 例例4指出下列各等式命题是否成立指出下列各等式命题是否成立, , 并说明理由并说明理由: :(3);CBACBA (4).)( BAAB解解(3) 不成立不成立. .若若CBA发生发生, ,BA发生发生, , 即必然有即必然有C发生发生. . 由于由于C发生发生, , 故故C必然不发生必然不发生, ,从而从而CBA不发生不发生, ,立立. .故故 (3) 不成不成(4) 成立成立. .)(BAABABBA)( (3);CBACBA (4).)( BAAB解解 (3) 不成立不成立. . 若

46、若CBA发生发生, , 即即C发生且发生且例例4指出下列各等式命题是否成立指出下列各等式命题是否成立, , 并说明理由并说明理由: :)(ABAB AA)( A . 完完例例5化简下列事件化简下列事件: :(2)(1);)(BABA.BABABA解解 (1)(BABA)()(BABBAA (分配律分配律)()(BBABBAAA )()( ABBAA(因因ABA )ABA (2)BABABABABABABA .A (2)BABABABABABABA BABABABA (交换律交换律)()(BABABABA (结合律结合律)()(BBABAA .ABAB (对偶律对偶律)(2)BABABABABABABA 完完课堂练习课堂练习1. 设当事件设当事件A