N维空间几何体质心的计算方法.

1、N维空间几何体质心的计算方法摘要:本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题，通过微积分方面的知识来求解，从平面推广到空间，问题也由易到难。首先提出质心或形心问题，然后给出重心的定义,再由具体的例子来求解相关问题。关键字:质心重心坐标平面薄板二重积分三重积分一.质心或形心问题:这类问题的核心是静力矩的计算原理。1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心：静力矩的微元关系为dMx yudi dMy xudi其中形如曲线L(,=的形状体对x轴与y轴的静力矩分别a yf x S(by aM u f x=?设曲线ABL的质心坐标为（,x y,则,y xM Mx yxM M其中（baM u x d x

2、u l为ABL的质量丄为曲线弧长。若在式yMM与式xMyM两端同乘以2n则可得ftp到22(ba yxl f x S冗n22(yl f x S,其中 x分别表示曲线 AB绕 x 轴与 y 轴旋转而成的旋转体的侧面积。2.均匀密度平面薄板的静力矩与质心 :设 f(x 为,a b上的连续非负函数 ,考虑形如区域(,0(=<<<<的薄板质心，设M为其密度，利用微元法，小曲边梯形MNPQ的形心坐标为(,(,当分割无限细化时 ,可当小曲边梯形 MNPQ 的质量视为集中于点(,(处的一个质点，将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有(dM u f x f x dx2xdM uxf x

3、dx.两个静力矩为 2M u f x dx=?x aM u xf x dx=? .设质心坐标为 (,x y,则有(x xf x dx=?y f x dx=?.其中M u f x dx MA为该均匀密度薄板的质量 ,A 为面积。 二.平面图形的重心 : 给定一个曲线12(,(,y f x y f x x a x b = 围成的图形 ,它是一个物质平面图形 ,我们考虑均匀的面密度，即单位面积的质量为常数，它在图形的各部分都等于 S将所给图形用直线1,n x a x x x x b = ,划分成宽为 12,n x x x ? 的窄条,每个窄条的质量等于它的面积和密度 S的乘积。如果每个窄条用以i x

4、 ?为底，高为21(i i f f -的EE矩形来代替 ,其中i x x -+=12i i,则这窄条的质量将近似等于21(1,2,-?=，这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重心上:21(,(2i i i i i c f f x y现在把每个窄条用一个质点来代替 ,它的质量等于对应窄条的质量 ,并且集中于该窄条的重心处 ,我们来求整个图形的重心坐标的近似值。2(iic iii21ESEE?沁 E-?EE,1221211(2(i i i i i i c i i iEE-?EESEE +-?EI当max 0#(b ax f x f x dx x f x f x dx-?,2121211(2(ba

5、f x f x f x f x dx y f x f x dx+-=-?.这些公式任何均匀的平面图形都适用，可看出重心的坐标是与密度无关的。例：求抛物线与直线所围成的重心的坐标（如图解:在这种情况下,Vttv,Ja21(f x f x =因此05202350c y =.三. 重心1.物体的重心是指物体各部分所受重力的合力的作用点 ,在生产实际中 ,常常要确定物体的重心。例如 :炼钢用钢水包的包轴位置 ,就与钢水包的重心有关 ,如果包轴低于重心 ,用天平调动钢包时就会翻转 ,如果包轴高于重心过多 ,则倒出钢水时翻转困难。因此 ,我们总是将包轴安装于略高于重心的地方 ,这时显然需要确定重心的位置。

6、 本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置 ,显然 ,若于其重心处支持之 ,则此薄板必保持水平平衡而不倾斜。设均匀薄板是由曲线1(y y x =,2(y y x =和直线 x b =围成的平面图形 ,我们要求此平面的重心 (,G x y ,用 u 表示此薄板单位面积的重量 ,则微面积s d 的重量为 12(u y y dx -,其重心 G 的坐标为#(,2y y x +, 显然整个薄板的重量为 12(b a u y y dx -? ,由力学知 ,合力对任一轴的力矩 ,等于各分力对该轴力矩之和 ,取对 y 轴的力矩 ,得1212(b b a a u y y dx x ux y y

7、dx ? -?=-? ? ,取对 x 轴的力矩得121212(2b ba a y y u y y dx y u y y dx +? ? -? =-? ? ,由此两式 ,即得确定薄板重心坐标的公式 :1212222121212(111(22(b b a aa x y y dx x y y dxx s y y dxy y dx y y dx y s y y dx? -?-? -?=?-?其中 s 标薄板的面积 ,由公式 (1 知均匀薄板的重心只与薄板的形状有关 ,而与薄板单位面积的重量无关。特别,若2(0y x则得曲边梯形薄板重心坐标公式：b a xydx x ydx =?212b ab a y

8、dx y ydx =?.例:试求半径为R的半圆形均匀薄板的重心。解:由于2R s n =,iy =2y =故知重心G的坐标（,x y为:J/?' - r* I Jff- 一 、丽(222(40.42332x y y dxR R nnn-=-?習？,22121(20y y dx y s -=?四. 利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心设有非均匀平面薄板D，其上每点的密度为(,x y )设薄板D的重心坐标为(,x y，考虑D中微面积dD，它的微质量为：(,dm x y dD它)关于y轴与x轴的力矩分别为 :(,xdm x x y dD与(，予dm y x y dD)二把这些微质量的力矩加

9、起来 ,即得薄板 D 关于 y 轴与 x 轴的力矩为:(,(,Dxdm x x y dD x x y dxdypp =?与(,(,Dydm y x y dD y x y dxdypp =?薄板的总质量 ,于是根据重心的定义 ,得求重心坐标的公式 :(,(,(2(,(,DD D D xdm x x y dxdy x mx y dxdy ydm y x y dxdy y m x y dxdy? pppp? =?特别，若薄板是均匀的，即（,X y常数,则得求均匀薄板重心坐标公式：XdXdy? , JydXdy? .对于均匀薄板 ,我们有21(21(y X bXdXdy dX Xdy X y X y

10、X dX=-? , J(32211(222121(2b a y ydxdy dx ydy dx y x y x dx ? ? = ?=-? 故(21b ax y y dx22112b ay y dx y D -=五. 设一立体在空间占据区域 T ,那么立体的体积为=?设(,x y z pp =,(,x匪z是立体在点(,x y z的密度，其中T是它所占据的空间区域,那么该立体的质量为(,TM x y z dxdydz?p?立体重心的坐标公式为 :1Tx xdxdydz? ,. ,1Ty ydxdydzV? ,1Tz zdxdydz? .这里 x ,y ,z 是区域 T 的几何重心的坐标。例:求平面 0x =,0z =,1y =,3y =,23x z +=所围之棱柱的重心坐标。 解:先求棱柱的 体积3332013330103203(32(3292V dxdydz dx dy dzdx dy x dx x x?现在求重心的坐标33899xT x xdxdydz xdx dy dz -=?, 33899x T y ydxdydz dx ydy dz -=?, 3382010221992x T z zdxdydz dx dy zdz -=?参考文献：微积分与解析几何 电子工业出版社， 1. ， 1985 年 11 月出 版，作者