第五章 矩阵的特征值和特征向量矩阵对角化

1、第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化振动问题、稳定性问题和许多工程实际问题的求解，最终归结为求某些矩阵的特征值和特征向量的问题。本章主要讨论：矩阵的特征值和特征向量；矩阵在相似意义下化为对角阵；实对称矩阵的对角化。第一节 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵内容要点一、特征值和特征向量的基本概念定义5.1 设为阶方阵，如果存在数和非零维向量，使得 （5.1）就称是矩阵的特征值，是的属于（或对应于）特征值的特征向量。注：1、特征向量；特征值问题是对方阵而言的。2、1是单位阵的唯一特征值，任意非零维向量都是单位阵的特征向量。3、0是零矩阵的唯一特征值，任意非零维向量都是零矩阵的特征向量。由定义得，特

2、征值为方程有非零解的值，即满足方程 （5.2）的都是矩阵的特征值。定义5.2 设阶矩阵，则 （5.3）称为矩阵的特征多项式，称为的特征矩阵，式（5.2）称为的特征方程。例1 求矩阵的特征值和特征向量。解：矩阵的特征多项式为.故的特征值为，（二重特征值）。当时，由，即得其基础解系为，因此，（数）是的对应于的全部特征向量。当时，由，即得其基础解系为，因此，（数）是的对应于的全部特征向量。例2 主对角元为的对角矩阵或上（下）三角矩阵的特征值为个主对角元。二、特征值和特征向量的性质定理5.1 设和都是的属于特征值的特征向量，则也是的属于特征值的特征向量 (其中，是任意常数，但。记，称为特征值的特征子空

3、间，它的维数为.定理5.2 设阶矩阵的个特征值为，则（i）， （ii）.注：1、的主对角元之和称为矩阵的迹，记作. 2、注意多项式系数与根之间的关系。性质1 设是矩阵的特征值，是的属于的特征向量，则（i）是的特征值（是任意常数）；（ii）是的特征值（是正整数）；（iii）当可逆时，是的特征值；且仍是矩阵，的分别对应于特征值，的特征值向量。性质2 矩阵和的特征值相同。证：因为，所以因此，矩阵和有完全相同的特征值。例3 设.（i）求的特征值和特征向量；（ii）求可逆矩阵，使为对角阵。解：（i）.故的特征值为（二重特征值），。当时，由，即，得基础解系，因此，（其中数，不全为零）是的对应于的全部特征向

4、量。当时，由，即得基础解系为，因此，的对应于的全部特征向量是（数）.（ii）将（）排成矩阵等式，取， ，则，且，因此为对角阵。三、相似矩阵及其性质定义5.3 对于矩阵和，若存在可逆矩阵，使，就称相似于，记作.相似关系是一种等价关系，满足一下三条性质：（i）反身性：.（ii）对称性：若，则.（iii）传递性：若则相似矩阵具有以下性质：（1）（其中，为任意常数）.（2）.（3）若，则.（4）若，则，其中，.定理5.4 相似矩阵的特征值相同.证：定理的逆命题不成立，例如， ，对于任意的可逆矩阵，都有，故与不相似。课堂练习1.求矩阵的特征值和特征向量.2. P248. 3第二节 矩阵可相似对角化的条件

5、一、可相似对角化的充要条件1定理5.5 阶矩阵与对角阵相似的充要条件是有个线性无关的特征值。证：“”设即 .将按列分块，即令 ，则，即 于是， （）.故是的分别对应于的特征向量。由于可逆，所以是线性无关的。“”上述过程可逆，从而充分性成立。注：若不计特征值的排列顺序，则对角阵是唯一的，称之为相似标准形。定理5.6 矩阵的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。证：利用数学归纳法容易证明。推论 若阶矩阵有个互不相同的特征值，则与对角阵相似。注：上面推论的逆命题不成立，如上节中的不能相似于对角阵。二、可相似对角化的一个充分条件刚讲过的推论：（i）推论 若阶矩阵有个互不相同的特征值，则与对角阵相似。下

6、节将要讲到的（ii）实对称矩阵可相似对角化。三、可相似对角化的充要条件2定理5.9 阶矩阵与对角阵相似的充要条件是：的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数（即的每个特征子空间的维数等于特征值的重数）。例题选讲例1 设实对称矩阵.问是否与对角阵相似？若与对角阵相似，求对角阵及可逆矩阵，使得。再求（为正整数）。解：的特征多项式为.故的特征值为，（三重特征值）。当时，由，即得对应的特征向量为 由，即得基础解系为，.有4个线性无关的特征向量，故与对角阵相似。取，则.由，可得例2 设是主对角元全为2的上三角矩阵，且存在，问是否与对角阵相似？解 的特征多项式为,即是的重特征值，而，

7、所以的基础解系所含向量的个数个，即的线性无关的特征向量的个数为个，因此，不与对角阵相似。例3 （书上例4）设阶幂等矩阵（即）的秩为. 证明：，其中1有个。证明：略。课堂练习1. P249. 182. P249. 19第三节 实对称矩阵的对角化一、复矩阵与复向量定义5.4 元素为复数的矩阵和向量，称为复矩阵和复向量。定义5.5 设为复数，是的共轭复数，则称是的共轭矩阵。注：，当是实对称矩阵时，.复矩阵的基本性质：（1）（为复数）；（2）；（3）；（4）；（5）若可逆，则；（6）.维复向量性质：，等号成立当且仅当.证：.二、实对称矩阵的特征值和特征向量虽然一般实矩阵的特征多项式是实系数多项式，但其

8、特征根可能是复数，相应的特征向量也是复向量。然而实对称矩阵的特征值全是实数，（在实数域上）相应的特征向量是实向量，且不同特征值的特征向量是正交的。定理5.10 实对称矩阵的任一个特征值都是实数。证 设是的任一个特征值。由，和，有，.又，所以，即为实数。定理5.11 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的。证 设，(，不妨设是实向量，则.由于，所以，即对应于不同特征值的特征向量是正交的。注：对复向量也可证明。三、实对称矩阵的对角化定理5.12 对于任一个阶实对称矩阵，存在阶正交阵，使得证 用数学归纳法。 时，结论显然成立。假设对阶实对称矩阵成立，即存在阶正交阵，使得. 下面证明，对阶实对称矩阵也成立。设，其中是长度为1的特征向量。现将扩充为的一组标准正交基，其中不一定是的特征向量，于是有， （1）记 （为正交矩阵），式（1）可写为矩阵形式.由于为正交矩阵，从而为实对称阵，因此且.由归纳假设，令，有.取即得结论。例题选讲例1 设.求正交矩阵，使得为对角阵。解：的特征多项式为.故的特征值为（二重），.当时，由，即得其基础解系为，. 用施密特正交化方法，先正交化，得，再单位化，得，.当时，由，即得其基础解系为，单位化，得. 取正交阵，