2021江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案

1、2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研一数学I试题一、填空题：本大题共14个小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题. 卡相应位置上.1. 集合 A 1,1，B 3,0,1，那么集合 AI B .2. 复数z满足z i 3 4i i为虚数单位，那么| z .2 23. 双曲线X y 1的渐近线方程为434. 某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n人,其中高二年级被抽取的人数为21，那么n .5. 将一颗质地均匀的正四面体骰子每个面上分别写有数字1，2，3，4 先后抛掷2次,观察其朝下一面的数字，那么两次数字之和等于6的概率为.6. 如

2、图是一个算法的流程图，那么输出 S的值是.开始S I7. 假设正四棱锥的底面边长为 2cm，侧面积为8cm2，那么它的体积为 cm3.8. 设Sn是等差数列%的前n项和，假设a22，S2 S4 1，那么印。 .239. a 0， b 0，且一:：ab，那么ab的最小值是 .a btan A 3c b10. 设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么tanB bcos Aa ex,x 111.函数f(x)4( e是自然对数的底).假设函数y f (x)的最小值是4,x -, x 1x那么实数a的取值范围为.uiuuurACB ，那么312.在 ABC中，点P是边AB的中点， CP

3、 J3，CA 4， ULW UUUCP CA2 213. 直线I : x y 20与x轴交于点 A，点P在直线l上，圆C : (x 2) y 2上有且仅有一个点 B满足AB BP，那么点P的横坐标的取值集合为 .14. 假设二次函数f(x) ax AD 平面 ABN . bx c (a 0)在区间1,2上有两个不同的零点， 那么的取a值范围为.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域 内作答，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.向量 a ( 2sin ,1), b (1,sin().4(1)假设角 的终边过点(3,4)，求a b的值；(2)假设a/b，求锐角的大小.

4、16.如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的高为6，其底面边长为2.点M，N分别是棱AG，AC的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点求证：(1) B1M /平面 ABN ；x2 v21J317. 椭圆C ： -21 (a b 0)经过点(3丄)，(1,),点A是椭圆的下顶点ab22(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 过点A且互相垂直的两直线11 与直线y x分别相交于E , F两点，OE OF，求直线11的斜率.18. 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC AB.在0C上2有一座欣赏亭Q，其中 AQC .方案在BC上再建一座欣赏亭 P，记3POB (0AO8(1 )

5、当一时，求 OPQ的大小；3(2)当 OPQ越大，游客在欣赏亭 P处的欣赏效果越佳，求游客在欣赏亭P处的欣赏效果最正确时，角的正弦值.3219.函数 f(x) x ax bx c，g(x) ln x.(1 )假设a 0，b 2，且f(x) g(x)恒成立，求实数c的取值范围；(2 )假设b 3，且函数yf (x)在区间(1,1)上是单调递减函数求实数a的值；当c 2时，求函数h(x)f (x), f (x)g(x)的值域.g(x), f (x)g(x)20.Sn是数列an的前n项和，a1 3，且2Sn an 1 3(n N*).(1)求数列an的通项公式；(2)对于正整数i , j，k(i j

6、 k)，aj，6a，ak成等差数列，求正整数的值;(3) 设数列bn前n项和是Tn,且满足：对任意的正整数 n，都有等式T彳aibn玄2 0 i玄30 2anbi 3 3n 3成立.求满足等式的所有正整数n .an 32021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学(附加题)21.【选做题】在A, B, C, D四小题中只能选做两题，每题 10分，共计20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1 :几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过点D作圆O的切线交AB的延长线于点 C , 且满足DA DC .(2)假设AB

7、2，求线段CD的长.B. 选修4-2 :矩阵与变换4 01 2a矩阵A， B，列向量X.0 10 5b(1)求矩阵AB ;5(2 )假设 B 1A 1X ，求 a，b 的值.1C. 选修4-4 :坐标系与参数方程sin(-),3与极轴的交x2)9.在极坐标系中，圆 C经过点p(22,)，圆心为直线4点，求圆C的极坐标方程.D. 选修4-5 :不等式选讲2x，y都是正数，且xy 1，求证：(1 x y )(1 y【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，PD

8、垂直于底面 ABCD，PD AD 2AB，点Q为线段PA (不含端点)上一点(1 )当Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值；2 PQ(2)二面角 Q BD P的正弦值为三，求 的值.3 PA23.在含有n个元素的集合An 1,2, ,n中，假设这n个元素的一个排列(ai，a2，an)满足a i(i 1,2, ,n)，那么称这个排列为集合 An的一个错位排列(例如：对于集合A3 1,2,3，排列(2,3,1)是A3的一个错位排列；排列(1,3,2)不是A3的一个错位排列) 记集合An的所有错位排列的个数为Dn.(1 )直接写出D1，D2，D3，D4的值；(2) 当n 3时，试用

9、Dn 2，Dn 1表示Dn，并说明理由；(3) 试用数学归纳法证明：D2n(n N*)为奇数.2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研一数学I试题参考答案一、填空题1. 1 2.53.yx4.635.32166. 257.連8.389.Z 610.1311. a e 412.613.,514.0,1)3二、解答题15.解：1由题意sin4,cos355，所以 a b 、2 sinsin (a-)2 si nsin cos4cos sin44&4.23J3.2552522 .2因为a/b，所以 2sinsi n(a才1,即2 sin(sin cos cos4sin ) 1 ,4所以

10、sin2sincos1 ,贝V sin cos12 sin2 cos ,对锐角有cos0,所以tan1,所以锐角一.416.证明：1连结MN，正三棱柱 ABC中，AA,/CG且AA, CC,，那么四边形AAQC是平行四边形，因为点 M、N分别是棱AG，AC的中点，所以MN /AA且MN AA1，又正三棱柱 ABC AB1C1 中 AA/BB1 且 AA1 BR，所以 MN/BB1 且 MN BBj，所以四边形 MNBBj是平行四边形，所以 DM /BN，又B1M 平面ABN，BN 平面ABN，所以B1M /平面ABN ；(2)正三棱柱 ABC A1B1C1中，AA 平面ABC ,BN 平面AB

11、C，所以BN AAi,正 ABC中，N是AB的中点，所以BN AC，又AA1、AC 平面AACQ ,AA I AC A,所以BN 平面AAC1C，又AD 平面AAC1C ,(2)由题意知A(0, 1)，直线11，12的斜率存在且不为零,所以AD BN ,由题意，AA(&，AC 2，AN 1，CD6，所以 AA1 AN J3AC CD 、 2又 aanACD,所以2A1AN 与ACD相似,那么AA1NCAD，所以 ANA1CADANAAAN2，那么 AD A1N，又BNI A1NN，BN，AN平面A,BN，所以AD 平面ABN .11，解得114b 所以椭圆C的标准方程为y2 1 ； a2431

12、114b23217.解：(1)由题意得 a12 ay k1x 111设直线li : y kix 1,与直线y x联立方程有，得E( ,),y xk1 1 k1 1设直线l2 : y1 1 1x 1，同理 F，k1丄1丄1k1k|因为OEOF ,所以|1k1 111k1-I，111 1，k10无实数解;k1 1 1k1k11k1 11Tk1k11k12， k1 2k1 1 0，解得 k1综上可得，直线i1的斜率为1-、2.18.解：1设 OPQ，由题，Rt OAQ 中，0A 3，AQCAQO所以 0Q ,3，在 OPQ 中，0P 3， POQ -2由正弦定理得OQsin OPQOPsin OQP

13、sinsin(，所以 3sin6sin(sing6.5sin cos65 .cos sin61cos2三sin ，所以3 sin2cos因为为锐角，所以cos0，所以tan，得6 ；(2 )设 OPQ，在 OPQ 中，OP 3，POQ -由正弦定理得92sin OPQ一，即一:sin OQP sinsin(f()cos. 3 sin，f(1 v 3 sin(.3 sin )2 (%);f()0, sin33存在唯一 0(0,)使得 sin 0-23所以当(0,)时 f(f 单调增，当0,)时 f ()0 , f ()单调减,0 时，f (最大，即tan OPQ最大,所以、3si nsin(-)

14、si n()cos()cos cossinsin ,从而.3sin)sincos cos ,其中.3sin0, cos 0,所以tancossin又 OPQ为锐角，从而 OPQ最大，此时sin答：欣赏效果到达最正确时,的正弦值为3f (x) x3 2x c ,19.解：1函数y gx的定义域为0, 当f(x)(x)(x)(x)g (x)恒成立， x3 2x c In x恒成立,In xx3即 c In xx3 2x.2x，贝U (x)- 3x221x1,.x在0,1上单调递增,1,二(x)在1,上单调递减,2x 3x3(1 x)(1 3x 3x2)(2)当b3 时，f(x)x3 ax2 3x

15、c, f (x) 3x2 2ax 3.由题意,f (x)3x2 2ax 3 0 对 x ( 1,1)恒成立,0,即实数a的值为0.f(1) 3 2a 3。，. af( 1) 3 2a 3 0函数y h(x)的定义域为(0,).2 2f (x) 3x 3，令 f(x) 3x 3当 a 0， b 3， c 2 时，f(x) x3 3x 2.x(0,1)1(1,)f(x)-0+f(x)极小值0Z0，得 x 1 . 当 x(0,1)时，f(x)0 ,当x1时，f(x)0 ,当x(1,)时，f(x)0.对于 g(x) In x ,当x(0,1)时，g(x)0，当x 1时，g(x)0，当x (1,)时，g

16、(x)0.当 x(0,1)时，h(x)f(x) 0，当x1时,h(x) 0，当x(1,)时，h(x) 0.故函数y h(x)的值域为0,).20.解：(1)由 2Snan 13(n N*)得 2Sn 1an 23 ,两式作差得2an 1 ar1 2an 1 ,即an 23an 1 (n*N ).a1 3 ,a2233 9，所以an13an(n N*) , an0,那么an 13 (nN*)，所an以数列an是首项为3公比为3的等比数列，所以 an 3n (n N*)；(2)由题意aj ak 2 6ai，即3j 3k26 3i，所以3j i33 ,3k i99123j i3k i12，所以ji1

17、,k i2 ,(3)由 a1bna2bn 1a3bn 2arb3n 13n3得，ab1 a2bna3bn 1anb2an -ib13n23(n1) 3,ab13(a1bna2bn1an1b2anb-,)3n23(n 1)abn 11 3(33n3) 3n 23(n1)3,1;1所以1) 33,3n 3)，即 3bn 1nn23(n3b n 133(36n所以bn 1 2n1 (n1 1又因为Qbi33,1，所以bn 2n1 (n从而Tn 1 3 5(2n2n 1nn2 (nTnan2时T2上； a293时T3a3F面证明：对任意正整数3都有TnanTn 1an 1(n 1)2(n1)23n2)

18、n 1(2n2 2n 1),3时,2n22n(1n2)n(2Tn 13n 1Tn所以当n 3时，Tn递减，所以对任意正整数ann 3都有T-anT3a3综上可得，满足等式-an1的正整数n的值为1和3.32021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研数学U 附加题参考答案21.【选做题】A.选修4-1 :几何证明选讲证明：(1)连接0D , BD.因为AB是圆0的直径，所以 ADB 90, AB 2OB .因为CD是圆O的切线，所以 CDO 90o，又因为DA DC，所以 A C，是 ADB CDO，得到 AB CO，所以AO BC，从而AB 2BC .(2)解：由AB 2及AB2BC得

19、到CBCA3.由切割线定理,CD2 CB CA 1 3 3，所以CDB.选修4-2 :矩阵与变换 解:( 1)AB 40(2)由 B 1A1X，解得AB28，又因为5a，所以ba 28， b 5.C.选修4-4 :坐标系与参数方程解：在sin(-)3 中,0，得所以圆C的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C的半径PC(22)2222 2-2 2 cos4于是圆C过极点，所以圆的极坐标方程为4cosD.选修4-5 :不等式选讲证明：因为x，y都是正数，2 21 x y 1 y x 9xy，又因为 xy 1 ,所以1 x y21 y x29.【必做题】22.解：1以D为原点，DA , DC , DP

20、为坐标轴，建立如下列图空间直角坐标系；设AB t，那么 D(0,0,0)，A(2t,0,0) , B(2t,t,0)，C(O,t,O) , P(0,0,2t)，Q(t,O, t)；uuruuuuuu所以 CQ (t, t,t)，DB (2t,t,0)，DP (0,0, 2t)，ULUT LTITDB n10设平面PBD的法向量n (x, y, z)，贝V UULT LT，DP n10即 2tx ty2tz 0(1, 2,0),0，解得2x y 0，所以平面PBD的一个法向量ULT LUU cos n, CQ-tT-UUUHn1CQLT UUUTn1 CQ5那么CQ与平面PBD所成角的正弦值为z 01UUTuuuUULTUUUUULTPQPA ,DQ DPPQ (0,0,21)(2t,0, 2t)(2t,0,2t(1UULTuuUUTuuDQn20DB(2t,t,0)，设平面QBD的法向量n2(x,y,z)，那么UULTuuDBn20由1知平面PBD的一个法向量为(1, 2,0)(2),即，设PQ(01，那么x 2t(12tx ty 02t)z0，解得2：(1 y)z00，所以平面QBD的一个法向量UT