再议平面向量中三点共线定理

1、再议平面向量中三点共线定定理三点共线向量定理：已知平面内一组基底OA , OB及任一向量OP , OP = 1OA+ OB ,8提出问题：当入+ % W1时，点P应在什么位置呢?1 R, 2 R ,则A,B,P三点共线，当且仅当 1+ % =1 .如图(1)所示.预备知识：点P的位置是随着 入，的变化而变化的.如图(2)所示，点P在直线AB上,uuu等价于APuuuAB,uuuR,所以，OPuuu uuuOA OBuuuuuruuuOA,所以 OP1 OAuurOB所以1 = 11=1(1)当入 0,即1=11,20时点P在线段AB的反向延长线上;(2)当入=0,即1=1=1, 2=0时点P与

2、点A重合;(3)当 0 入1 ,即 1=10,1 , 20,1时点P在线段AB的内部;(4)当入=1 ,即 1=1=0, 2=1时点P与点B重合;(5)当人 1 ,即1=10, 2问题分析1时点P在线段AB的延长线上.uuuuuurAB OBuuuOA ,uuu(1)当OP在直线AB的同侧且OPAB时，如图(3)所示，OP此时，1 =过点。直线OE/AB当点P位于直线OE与直线AB之间时，如图（5）所示，uuiruuruuuruuuuuruuuOPOPo1OA 2OB1OA2OB , 01，且 1+ 2 = 1此时，1=1 , 22，1+ 2:=1+ 2=0,1 .当点 uur OPP位于直线

3、uuurOPoOE上方时，如图uuuuur1OA2OB(6)所示， uuu1OAuuir2OB，0，且 1 + 2=1，此时，1 =1 , 2+ :2，12=1+ 2=0.(3)当OP在直线AB的两侧且OPAB = Po时，如图（7）所示uuruuurOPOPouuuuuruuuuuir1OA2OB1OA2OB ,1,且 1+ 2=1（2）当OP在直线AB的同侧且OP AB = P0时，如图（4）所示此时,i =1,22 ,1+ 2 =1+ 21.此时，1=1 , 2uuu10Auur2OB,综上讨论可知,已知平面内一组基底OA, OB及任一向量OP，OP= .OA+ aOB ,1 R, 2

4、R .(1)当 1 +2 1时，点O,P在直线AB的同侧;1+ 2 1时，点O,P在直线AB与OE之间;(2)当结论应用2=0时，点P在直线OE上;2 0时，点O,P在直线AB的同侧，且不在直线2 = 1时，点P在直线AB上;21时，点O,P在直线AB的两侧;uuu例1.已知点P为 ABC所在平面内的一点，且AP的内部，如图（8）所示，则实数t的取值范围是（1 uuuOA 3)AB与OE之间;uuu tOB, tR,若点P落在 ABCA. 0, 34B 1 3B.一，一2 4C. 01D.uuu解析1.如图（9）, AP当点P与点D重合时,1 uuu uuu uuur -OA tOB=OC 3

5、2 .uuu uuu uuuCP ,则 CP=tOB，当点P与点C重合时，t = 0 ,t =,故0 < t < 一,答案为D.33解析2.因为点O,P在直线AB的同侧，所以1 t 30,所以答案为D.例2.如图（10）已知A,B,C是圆O上的三个点,CO的延长线与线段AB交于圆内的一点 D,uuur uur 若 OC xOAuuuyOB，则x y的取值范围是（A. 01B. 1,+C.D. 1,0uuu uuu10A 2OBuuu uuu10A20B ,121,uuur uuuuuiruuur解析 1.OC xOA yOB = OD1,所以答案为C.例3.如图（11） OM AB ,点P由射线OM线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OP = xOA+ yOB ,则实数对x,y)可以是（A（1,3）2 2-B. ( 2,2) C.3 34。 D.解析：因为点O,P在直线AB的同侧，所以xy 1,排除A,D,而B选项中x y=0uuu uuu此时OP / /AB ,不符合题意，故答案选 C.例4.如图（12） OMAB,点P由射线OM线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不一 .1含边界）.且OP = xOA+ yOB，当x 3时，y的取值范围是uuu uuur uuiruur uuryOB OA AP