函数与导数常考问题的破题技法

1、函数与导数常考问题的破题技法为()1.设函数y=f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f' (x)的图象可能选D由题意得，当x<0时，函数y=f(x)单调递增，故f' (x)>0,排除A、当x>0时，函数y=f(x)先单调递增，然后单调递减，再单调递增，故导函数的符号先为正解析:C；然后为负再为正，排除 B,选D.2. (2020保定一中模拟)函数f(x)的定义域为 R, f(1) = 2,对任意xC R f (x)>2 ,则f(x)>2x +4的解集为()A. (-1,1)B. (1, +8 )C. ( 一00, 一 1

2、)D . (一00, +00 )解析：选 B 由 f(x)>2x+ 4,得 f(x) 2x4>0,设 F(x)= f(x)2x 4,贝U F' (x) = f' (x) 2,因为f' (x)>2,所以F' (x)>0在R上恒成立，所以 F(x)在R上单调递增.又 F(- 1)= f(-1)-2X (- 1)-4= 2+2-4=0,故不等式 f(x) 2x 4>0 等价于 F(x)>F(-1),所以 x>- 1.3.已知f(x)是定义在区间(0, +8)内的函数，其导函数为f (x),且不等式xf' (x)<

3、2f(x)恒成立，则()A. 4f(1)<f(2)C. f(1)<4f(2)B. 4f(1)>f(2)D. f(1)>4f' (2)则 g, (x)=x2f' x12xfxx解析：选B 设函数g(x)=fv(x>0), x ''xf' x 2fx7<0， x所以函数g(x)在(0, + 8)内为减函数, ,r f 1 f 2所以g(1)>g(2),即中>号,所以 4f(1)>f(2).4.函数 f(x)(x>0)的导函数为 f' (x),若 xf' (x)+f(x)=ex,且 f

4、(1) = e，则()A. f(x)的最小值为eB. f(x)的最大值为eC. f(x)的最小值为1D. f(x)的最大值为1ee解析：选 A 设 g(x) = xf(x)ex,所以 g' (x) = f(x) + xf' (x)ex=0,所以 g(x) = xf(x) ex为常数函数.因为 g(1)= 1 x f(1) - e= 0,所以 g(x) = xf(x)-ex=g(1) = 0, x .ex x 1所以 f(x) = e,f' (x)=e x? 1，当 0<x<1 时，f (x)<0,当 x>1 时，f' (x)>0,所

5、以 f(x)Af(1) xx=e. .15 .已知 y=f(x)是奇函数，当 xC (0,2)时，f(x)=ln x- ax a>2,当 xC(2,0)时，f(x)的最小 值为1,贝U a =.解析：由题意知，当xC(0,2)时，f(x)的最大值为一1.令 f，(x) = la=0, 得 x=-, xa当 0vxv1时，f' (x)>0;当 x>1 时，f' (x)<0. aa f(x)max= f = In a 1 = - 1,解得 a= 1. a答案：16 .若对任意a, b满足0<a<b<t,都有bln a<aln b,则t

6、的最大值为 .解析：.1 0<a<b<t, bln a<aln b, , 1nOavnbb，令 y=lnx, x (0, t),则函数在(0, t)上 单调递增，故y'=上岩>0,解得0<x<e,故t的最大值是e.答案：e7 .设定义在R上的函数f(x)满足f(1)=2, f (x)<1 ,则不等式f(x2)>x2+1的解集为 .解析：由条件式f' (x)<1得f' (x)1<0,待解不等式f(x2)>x2+1可化为f(x2)-x2-1>0, 可以构造F(x)=f(x)-x-1,由于F'

7、; (x)=f' (x)1<0,所以F(x)在R上单调递减.又因为 F(x2) = f(x2)-x2- 1>0 = 2- 12- 1= f(12)- 12- 1 = F(12),所以 x2<12,解得一1<x<1,故不等 式 f(x2)>x2+1 的解集为x|1<x<1.答案：x|-1<x<18 .若函数f(x)=x2- ex- ax在R上存在单调递增区间，则实数 a的取值范围是 .解析：,函数f(x)=x2ex ax在R上存在单调递增区间，f' (x) = 2x exa>0,即 av2x ex有解.设 g(x)

8、 = 2x-ex,则 g' (x)=2ex,令 g' (x)=0,得 x=ln 2 ,则当 xv In 2时，g' (x)>0, g(x)单调递增，当 x>In 2 时，g' (x)<0, g(x)单调递减，当 x= In 2 时， g(x)取得最大值，且 g(x)max = g(ln 2)=2ln 22,.av21n 2 2.答案：(一8, 21n 2-2)19 .已知函数f(x)= 2ax2(a+1)x+ In x(a>0),讨论函数f(x)的单倜性.» ， ，、， i 1ax- 1 x- 1斛：f (x)= ax (a+

9、1) + -=(x>0),x x当 0<a<1 时，1>1 ,由 f (x)>0, a解得 x>l或 0<x<1 ,由 f' (x)<0,解得 1<x<1 aa当a=1时，f' (x)>0在(0, + 8)上恒成立.当 a>1 时，0<1<1 ,由 f' (x)>0, a解得 x>1 或 0<x<-,由 f' (x)<0,解得 1Vx<1. aa综上，当0<a<1时，f(x)在1, +8和(0,1)上单调递增，在 1,1上单调

10、递减；当a=1 aa时，f(x)在(0, +°°)上单调递增；当a>1时，f(x)在(1, +8)和0 1上单调递增，在 1, 1 aa上单调递减.10 .已知曲线f(x)=bex+x在x=0处的切线方程为 ax-y+1 = 0.(1)求a, b的值；(2)当 x2>x1>0 时，f(x1) f(x2)<(x1 x2)(mx-+mx2+1)恒成立，求实数 m 的取值范围.解：由 f(x)= bex+x得,f' (x)=bex+1,由题意得在x=0处的切线斜率为 f' (0)=b+1 = a,即 b + 1 = a,又 f(0)=b,可

11、得- b+1 = 0,解得 b= 1, a =2.(2)由(1)知,f(x)=ex+ x,f(x1)一f(x2)<(x1一x2)(mx- + mx2+1),即为 f(x1)一 mx2 x1<f(x2) mx2x2,由x2>x>0知，上式等价于函数 (f)(x) = f(x) mx2x=exmx2在(0,+8)为增函数，/(x)x .*exx-1= ex-2mx> 0,即 2mwx,令 h(x) = ?x>0), h' (x) = x2，当 0vx<1 时，h' (x)<0 时，h(x)递减；x>1 , h' (x)&

12、gt;0 时，h(x)递增，h(x)min= h(1)= e,e则 2mWe)即 m< 2,所以实数m的范围为 一°°, 2 .11.已知函数 f(x)=1 + ln x ax2.讨论函数f(x)的单调区间;(2)证明：xf(x)< ex+xax3. .1 一 2ax2解：(1)f(x)的定义域是(0, +8),，(x) =,x故aw0时，f' (x)>0, f(x)在(0, +8)上单调递增,当a>0时，令f' (x)=0,解得乂 =姿，2a故f(x)在0 运上单调递增，在 恒， 上单调递减.2a2a(2)证明：要证 xf(x)&l

13、t;22 ex+x- ax3, e即证 xln x<-22 ex, 也即证 ln-xv"2 ex e x ,2 ex2 ex x 2令 g(x)=e2 x2(x>0)，贝u g (x)=e2：-x3,所以g(x)在(0,2)上单调递减，在(2, + 8)上单调递增，1 故g(x)最小值=g(2) = 2,令k(x) = n*,则k' (x)=1劈，故k(x)在(0, e)上单调递增，在(e, 十 xx1故 k(x)最大值= k(e)= I， e.1<2,故 k(x)<g(x),即 In x<2e, e nx故 xf(x)<) ex+x ax

14、3. e12.已知函数 f(x) = axex(a R), g(x) = In x+ x+ 1.若 f(x)> g(x)恒成立，求实数解：f(x)> g(x)恒成立，即axex> In x+ x+ 1恒成立.由4 c 彳匚【、1、In x+x+ 1因为x>0,所以a>x.xe)上单调递减,a的取值范围.人/、 In x+x+ 1 mt,，/、x+ 1令 h(x)=x,则 h (x) =xeIn x x x2ex1. 一令 p(x) = In xx,则 p (x)=_1v0, x故p(x)在(0, + 8)上单调递减，又 p1=1-1>0, p(1)=- 1V0, e e1故存在 x° e, 1 ,使信 p(x0) = In