专题三：勾股定理与全等构造

1、勾股定理与全等构造【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计算。一、遇45° , 135°作等腰直角三角形构造全等1、如图， ACB 为等腰直角三角形，/ ACB=90 ° , CP=2, PB=1 ,/CPB=135° ,求 AP 的长。62、如图，在 ABD 中，AB=AD , / BAD=90° , PA=3, PB=4.(1)若点 P在4ABD 外，且/ APB=45 ,求PD的长；(2)若点 P在4ABD内，且/ APB=135 ,求PD的长.、遇60二，120二作等边三角形构造全等,AB=

2、3 , BC=5 ,以 AC 为边在 ABC3、如图，在 ABC 中，/ ABC=60 外作正 ACD ,则BD的长为.4、如图， ABC为正三角形，/ ADC=30° , AD=3 , BD=5 ,求CD的长.C三、将角度分解为 60 =, 90二或45 =的特殊角结合全等5、如图， ABE等腰直角三角形，/ ACB=90° , / APC=165° , PA=3, PC=V2 ,求 PB 的长。勾股定理与全等构造【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计 算。、遇45 : 135祚等腰直角三角形构造全等1、如图， A

3、CB 为等腰直角三角形，/ ACB=90 ° , CP=2, PB=1 ,/CPB=135° ,求 AP 的长。解：将 CPB绕点C旋转，使得BC与AC重合，点P与点D是对应点，PC=DC , / DCA= / CBP,/ DCP= / ACB=90 ° ,.CDP是等腰直角三角形，由勾股定理可知：DP=2 . 2 , PB=AD=1 ,. /CPB=/CDA=135 ° , / CDP=45° ,/ ADB=90 ° 由勾股定理可求得：AP=3.2、如图，在 ABD 中，AB=AD , Z BAD=90° , PA=3,

4、PB=4. (1)若点 P在4ABD 外，且/ APB=45 ,求PD的长； (2)若点 P在4ABD内，且/ APB=135 ,求PD的长.解：(1)如图所示，过点 A作AH XAP,且使AH=PA=3 ,连接PH、 BH,/ APH= / AHP=45 ,ph= Jah 2 + pa2 =弋3 + 32 =3 五, / HAP= / BAD=90 , / HAP+ / PAB= / BAD+ / PAB , 即/ HAB= / PAD, 在4AHB 与4APD中，AH=AP , / HAB= / PAD, AB=AD , . AHB APD , HB=PD. /APB=45 ,/ HPB=

5、 / APB+ / APH=90 , 在 RtAHPB 中，HB= PH 2 PB2 (3 2)2 42 = 34PD=HB= . 34 .(2)如图所示，作 AH LAP,且使 AH=PA=3 ,连接 PH、BH , / APH= / AHP=45 ,ph= Jah 2 + pa2 =、32 +32 =3 区 同(1)可证 AHB APD ,HB=PD. ./APB=135 , ./HPB= / APB-/APH=135 -45 =90°, 在 RtAHPB 中，HB= . PH 2 PB2 = (3、2)2 42 = 34PD=HB=34 .、遇60 °, 120彳乍等

6、边三角形构造全等 3、如图，在 ABC 中，/ ABC=60 ° , AB=3 , BC=5 ,以 AC 为边在 ABC 外作正 ACD ,贝U BD的长为.解：以AB为边作等边三角形 AEB,连接CE,如图所示, ,ABE与4ACD都为等边三角形，/ EAB= / DAC=60 ° , AE=AB ,3 / EAB+ / BAC= / DAC+ / BAC ,即/ EAC= / BAD , 在 EAC和 BAD中，AE=AB , / EAC= / BAD , AD=AC , .1.EACABAD(SAS),BD=EC ,4 / EBA=60 ° , / ABC=

7、60 ，/EBC=120° ,在 EBC 中，BC=5 , EB=3 ,过点E做BC的垂线交 BC于点F,易知/ EBF=60 ° , / FEB=305 .EF=池，FB=3, fc=5+3 = 13, 2222EC2=fc2+EF2=49BD=EC=7.4、如图， ABC为正三角形，/ ADC=30° , AD=3 , BD=5 ,求CD的长. 解：如图，将CD绕点C按顺时针方向旋转 60°得CE,连接DE、AE,则 CDE是等边三角形.ABC为等边三角形， CDE是等边三角形，AC=BC=AB , / ACB=60 , CD=EC=DE , / DCE= / CDE=60 , / ACE= / BCD.6 AC=BC , / ACE= / BCD , CD=EC ,. ACE BCD ,.AE=BD=5 ,7 / CDE=60 , / ADC=30 ,. /ADE=90 .8 / ADE=90 , AD=3 , AE=5 ,iiDE= . AE2 - AD2 =4. DE=CD , DE=4 , CD=4.三、将角度分解为 60工90二或45 '的特殊角结合全等5、如图， ABE等腰直角三角