计算机仿真实验：万有引力常数的测定

1、实验简介页码，12/12实验简介测量万有引力常数G的物理意义是极大的。然而在自然界中万有引力非常微小，对于G勺 测量需要非常精确的方法。1798年卡文迪许(S. H. Cavendish )用扭秤法测量了两个已知质 量球体之间的引力，成为精确测量万有引力常数第一人。19世纪，坡印亭(Poy nting)和坡 依斯(Boys)又对卡文迪许的实验做了重大改进。随着科学技术的发展，现在公认的万有引力 常数G的值为。测量引力常数G勺意义是极大的。例如，根据牛顿运动定律和万有引力定律可以推算出 太阳系中天体的运动情况(与天文观测结果几乎完全一致)；可以根据万有引力定律和卡文 迪许实验所算出的G值来确定地

2、球的质量，算出地球的质量和体积，就可以推断出地球内部的 物质密度，获得地核性质方面的知识等。因为G勺数值非常微小，所以在地球表面上物体之间的引力很微小，以至于通常可以忽 略。因此卡文迪许扭秤法测量万有引力常数G勺实验是一个非常精致的实验。时至今日，这个 实验的思构思、思想、实验方法仍具有现世的指导意义，并被广泛使用。本实验要求学生：1.掌握在扭秤摆动中求平衡位置的方法。2.掌握如何通过卡文迪许扭秤法测量万有引力常数实验原理根据牛顿万有引力定律，间距为r,质量为mj和m2的两球之间的万有引力F方向沿着两球中心连线，大小为其中G为万有引力常数。u图1卡文辿许扭秤法捺理图实验仪器如卡文迪许扭秤法原理

3、图所示。卡文迪许扭秤是一个高精度的仪器，非常灵 敏，为保护仪器和防止外界干扰影响实验测量，扭秤被悬挂在一根金属丝上，装在镶有玻璃 板的铝框盒内，固定在底座上。实验时，把两个大球贴近装有扭秤的盒子，扭秤两端的小球受到大球的万有引力作用而 移近大球，使悬挂扭秤的悬丝扭转。激光器发射的激光被固定在扭秤上的小镜子反射到远处 的光屏上，通过测量光屏上扭秤平衡时光点的位置可以得到对应的扭转角度，从而计算出万 有引力常数Go假设开始时扭秤扭转角度匚1，把大球移动贴近盒子放置，大小球之间的万有引力为F，小球受到力偶矩N =2 Fl而扭转，悬挂扭秤的金属丝因扭转产生与力偶矩N相平衡的反向转 矩N' K（

4、/2），扭秤最终平衡在扭角的位置：F =G M m / d22F l= K( -72)二_ l八-其中K是金属悬丝的扭转常数，M是大球的质量，仃是小球的质量，d是大 d2球小球的中心的连线距离，I是小球中心到扭秤中心的距离。由转动方程可求得悬丝的扭转常数：通过转动惯量I和测量扭秤扭转周期T就可以得到金 属丝的扭转系数K假设小球相对大球是足够轻，那么转动惯量_二因此扭转角GMT2丄八.当大球转动到相反的对称位置后，新平衡位置是-,因此平衡时的总扭转角为通过反射光点在光屏上的位移S可以得到悬丝扭转角度。由于万有引力作用很弱，使得扭秤平 衡时扭转角很小，此时可以认为：-D，其中D是光屏到扭秤的距离。

5、因此万有引力常数 '.'.J. _!。万有引力常数G计算公式的修正：由卡文迪许扭秤法原理图可知，小球受到大球 M|作用F的同时也受到斜后方另一个大球 M2的作用力 仁考虑f作用时，g值应修正为门和-皿咕加“£'- 口；，其中。图2扭秤的偏移和时间曲线实验仪器卡文迪许扭秤，激光发射器，光屏，米尺，秒表，电源卡文迪许扭秤：卡文迪许扭秤被放在镶有玻璃板铝盒内，固定在底座上们，内部主体结构见图长约16cm勺青铜材料悬丝通过连接片与上、下螺杆连接。扭丝转角调整螺母用于调节 扭秤平衡中心的位置，上面的刻度可读出平衡点偏离中心角度。在下螺杆上装有反射激光的镜子盒相距10cm

6、质量20g的两个小球。仪器的侧面有一个 锁紧螺钉，逆时针转动可向上举起扭秤，使悬丝处于松弛休息状态，顺时针松开时扭秤被放 下，可以自由转动,通过鼠标双击切换螺钉状态。底座上有放置大球的可旋转支撑架，可使大 球靠近或离开小球。需要调节大球的位置时，在大球上单击鼠标左键，支撑支架带动大球一 起向左转动，单击鼠标右键则使得向右转动。底座下面装有调整仪器水平的三个调节旋钮。激光器:通过鼠标单击“ Power ”按钮使得激光器打开或者关闭秒表:电子停表的机芯采用电子元件组成，利用石英振荡频率为基准。其显示装置通常有6位液晶显示，计时时分别显示分、秒、百分之秒各位的数值。电子停表通常有Start/stop

7、（启动/停止）”和Reset（复位）”按钮。Start/stop ”按钮具有开始计时、停止计时和累加计时的功 能；Reset ”按钮用于将显示的计时复位为0。通过鼠标在按钮位置的单击显示按动按钮的动 作。实验内容1.选择主菜单中的“开始实验”选项开始实验2. 在开始实验显示的实验场景中，在卡文迪许扭秤位置鼠标左键双击打开扭秤调节窗口， 激光器位置双击打开激光器窗口，光屏位置双击打开放大的光屏读数窗口，场景中鼠标 右键单击实验窗口弹出选择菜单。備比碍商口 '瓮孔口 扭刊口选择“实验场景测量”显示实验场景示意图，通过读取鼠标的位置测量两个小球间距囚，反射镜和光屏之间距离D贴近盒子的大球中心

8、到对应小球中心之间距离 d3. 如卡文迪许扭秤法原理图所示，按下列方法调整扭秤位于盒子的中央。z 打开激光器电源：双击电源弹出放大的激光器电源面板。鼠标单击开关打开电源， 可以看见激光被镜子反射到远处的光屏上。z 确定平衡位置C:鼠标双击实验窗口中的卡文迪许扭秤进行调节。通过右键菜单可打开卡文迪许扭秤顶视图。通过的鼠标调节扭丝转角调节旋钮，可 对扭秤初始转角进行粗调。双击锁紧螺钉使得扭秤下落，并且作最大振幅的扭转振动(撞击玻璃板)。记录此时光点在光屏两端最远点的位置 x1，X2。Xc = ( x1+ X2)/2。z 确定实际平衡位置C'当扭秤振动衰减到不接触盒子两边玻璃板后，按 下图2

9、曲线记录下光屏两端光点运动的最远点位置z 平衡位置Xc '可以按照下面方法计算得到：(Xc' X-) / ( x1 -<c') = ( x3 -<c')/ (Xc ' X2)或 Xc ' ( X -<松3)/ (2 X2 -<1 -<3)兀图2测量扭秤平衡点和周期如果如果Xc = Xc',那么扭秤就基本平衡了.否则需要调整扭角度调整旋钮，直到Xc=Xc鼠标右键扭秤窗口弹出菜单，选择扭秤顶视图显示扭秤顶端。通过单击鼠标右键或者左键旋转扭角调整”旋钮到合适位置。4. 测扭秤的固有振动周期T:将大球放置在支撑架上，

10、支撑架旋转臂垂直于扭秤，此时扭秤 受力平衡。双击锁紧螺钉使得扭秤下落，等待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃 壁碰撞后，用秒表记录光点连续摆动4个周期所需时间。实验窗口鼠标右键弹出菜单，选 择显示秒表”。测量万有引力作用下光点的位移S5. 在扭秤窗口选择“前视图”，通过在扭秤上大球位置单击鼠标右键或者左键转动大球， 使得大球按照卡文迪许扭秤法原理图中黑线大球的位置贴近盒子。6. 等待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光 屏两端极值点的位置a“a2，a 3，a 4,a 5，a 6。则光点静止时位置坐标A可由下述平均法计24二扌（吗+比+厶+凡）7. 转动大

11、球到反向对称位置（卡文迪许扭秤法原理图中虚线大球的位置），等待扭秤振动 到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光屏两端极值点 的位置b1,b2,b3,b4,b 5,b6。则光点静止时位置坐标B可由上述平均法计算：B二扌（鸟+ % +场+跣）8. 在把大球转到卡文迪许扭秤法原理图中黑线大球的位置，等待扭秤振动到最大幅度时小a 1,a球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光屏两端极值点的位置求出A> > > >2，a 3，a 4，a 5，a 6由A,B,A'可算出2组位移量：尽=卜-,民=0 -団,平均值/ 二 '.：

12、.:9. 计算万有引力常数G实验指导z 实验重点、难点：1. 体会卡文迪许扭秤测量万有引力常数实验的设计思想，掌握利用转换法和光学放大 原理去测量微小力的方法。2. 实验中要校正好扭秤的平衡中心，使得整扭秤位于盒子的中央（扭秤反射的光点尽 量落在光屏的0点附近），避免给后续测量造成读数困难。3. 实验过程中避免外界震动的干扰，观测者不要碰、触放置扭秤的平台，特别在测量 中不能随意抬、落扭秤，避免损坏仪器。z 常见问题1. 为什么显示调节扭秤，光屏上的显示扭秤转动的光点不动？原因：可能是扭秤被扭秤侧面的锁定螺钉锁紧。解决：鼠标双击螺钉，松开扭秤即可转动。2. 为什么扭秤转动时，一边始终碰壁？原因：可能是扭秤初始转角偏离过大解决：在扭秤顶视图上，通过鼠标左右键转动扭丝转角调节旋钮，可减小扭秤初始转角偏 离。3. 为什么实验中的时钟速度比正常时间快很多，记录周期时以什么时间为准？原因：由于扭秤振动过程中阻尼很小，从开始振动衰减到两边都不和玻璃壁相碰的可测量状 态需要时间过长，因此实验中的时间被调快。解决：测量振动周期以实验中秒表读数为准。思考题1. 假设