《高等数学二》期末复习题及答案

1、高 等 数 学 （二） 期 末 复 习 题一、选择题1、若向量b与向量a （2, 1,2）平行，且满足a b 则b （）2、3、(A)( 4, 2,(C)( 4, 2,4)在空间直角坐标系中，方程组（A）直线(B)抛物线(B)(D)2,4,4 )4, 4, 2 ).1z 0代表的图形为(C)圆 （D）圆柱面设 I(x2Dy2)dxdy ,其中区域a2所围成,则2(A)0 d2 .a rdr(B)0aa2adr2(C) 0 dar2dr0(D)rdr4、设l为：x1,0 y3的弧段2(A) 9(B) 6(C) 3(D)5、级数（1）n 1的敛散性为 （(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛(D

2、)敛散性不确定n6、二重积分定义式f(x,y)d lim f( i，i) i中的 代表的是()D0i 1(A)小区间白长度(B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对*11 x7、设f(x, y)为连续函数，则二次积分0dx0 f(x,y)dy等于()1 1 x11 y(A) 0dy0 f(x,y)dx(B) 0dy 0 f (x, y)dx1 x 111(C) 0 dy 0 f (x, y)dx(D)0dy0f(x, y)dx8、方程2z x2 y2表示的二次曲面是 ()(A)抛物面(B)柱面(C)圆锥面(D)椭球面9、二元函数z f(x, y)在点(x0,y°)可

3、微是其在该点偏导数存在的().(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)无关条件10、设平面曲线L为下半圆周y /x2,则曲线积分L(x2 y2)ds ()(A)0(B)2(C)(D)411、若级数an收敛，则下列结论错误的是()n 1(A)2an收敛(B)(an 2)收敛(C) 为收敛 (D)3a0收敛n 10012、二重积分的值与(A)函数f及变量x,y有关； (B) 区域D及变量x,y无关;(函数f及区域D有关;(D)函数f无关，区域D有关。13、已知 ab 且 a (1,2, 1),b(x,4, 2),则 x =()(A) -2(B)(C)-3(D) 314、在空间直角坐标系中，

4、方程组2y代表的图形为1(A)抛物线 (B)双曲线(0圆(D)直线15、设 z arctan(x y),则=(y2 /x(a) sec (x y)1 (x y)2(B)1 (x y)2(C)1(x y)2(D)1 (x y)21116、二重积分0dy y2f (x, y)dx交换积分次序为1(A)dx0Jx0 f(x,y)dy(B)y210 dx 0 f (x,y)dy1(C) dx010 f (x,y)dy(D)1dx ox20 f(x, y)dy17、若已知级数un收敛,n 1是它的前n项之和，则此级数的和是(C) lim Snn(D)lim un n(A) &(B)u n(C)

5、1(D)0-z,则该直线必()0 1218、设L为圆周：x2 y2 16,则曲线积分(A)1(B) 219、设直线方程为(A) 过原点且 x轴(Q 过原点且 z轴20、平面2x y z 6 0与直线x 2 y 3 11(A) (1, 1, 2)(B)(2, 3, 4)21、考虑二元函数的下面 4条性质：I?2xyds 的值为()(B)过原点且y轴(D)过原点且/x轴一的交点坐标为()2(C) (1, 2, 2)(D)(2, 1, 1)f(x, y)在点(xo, y°)处连续；f (x, y)在点(x°, y°)处的两个偏导数连续;f(x, y)在点(xo,yo)处

6、可微；f(x, y)在点(x°, y°)处的两个偏导数存在若用“ P Q”表示可由性质P推出性质Q,则有 ()22、下列级数中绝对收敛的级数是 ()°1_(A)( 1)n-(B)n 1. n 11，-、tan 2 (C)n 1 n1)n7(D)2n 3n 11 ln(1 ) n23、设 z xsin y ,贝_z y=i,_4（A）等（B）仔(C) <2(D) 2224、设a为常数，则级数 （i）n 1 cosa （）n 1n（A）发散（B）条件收敛（C） 绝对收敛 （D）收敛性与a的取值有关25、设常数k0,则级数 （1)nyn（A）发散 （B）条件收敛（

7、C）绝对收敛（D）敛散性与k的取值有关11226、0 dx xey dye 1_1e 1_1(A) F (B) e 2(C) F (D) e 2、填空题1、12、二兀函数z sin (2 x 3y),贝U 卫 x3、积分Iex2 y2 d的值为x2 y2 44、若a,b为互相垂直的单位向量，则a b1x25、交换积分次序°dx ° f(x,y)dy 6、级数 J L的和是n1 2n 3n7、.2 ,4 xy limx 0 xyy 08、二元函数 z sin (2x 3y),则一z y1 x9、设f(x, y)连续，交换积分次序dx 2 f (x, y)dy0 x10、设曲线

8、 L:x2 y2 a2,贝U ?(2sin x 3ycosx)ds L11、若级数(un 1)收敛，则lim un n 112、若 f (x y, x y) x2 y2贝f (x, y) 1 .1 xy13、lim x 0 xy y 014、已知 a b 且 a (1,1,3), b (0,x, 1)，则 x =15、设 z ln( x3 y3),贝U dz (1,1) 1 y16、设f(x,y)连续，交换积分次序dy 2 f (x,y)dx 0 y17、级数Unn 1Un Un 1的和是 n 118、设L为圆周：x2R2 ,则曲线积分I? xsin yds的值为19、lim(x,y) (0.

9、0)21 cos(xy2)(x22 x2y2 y )e20、已知v vr rrj ,bk ,21、lim邺必x 0 y a22、已知向量a、r2,则a23、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则24、22.x ylim .=(x,y) (0,0) ,x2 y21125、3,r r4 , a与b的夹角是一,则226、已知三角形的顶点 A(1,1, 1), B(2,1,0),C(0,0,2)，则ABC的面积等于27、点Mi 2,3,1到点M2 2,7,4的距离 M1M228、若 a 3i j 2k,b i 2 j k,则 a b29、xy 1 1 lim x 0 xyy 030、函数 f

10、(x,y) x2( y 3) (x 1)exy ,求 f x(1,3)三、解答题1、（本题满分12分）求曲面z ez 2xy 3在点（1,2,0）处的切平面方程。 x2、（本题满分12分）计算二重积分eydxdy，其中D由y轴及开口向右的抛物线Dy2 x和直线y 1围成的平面区域。3、（本题满分12分）求函数u ln（2x 3y 4z2）的全微分du。 2x y /c c、4、（本题满分12分）证明：函数f（x,y）丁y2, （x,y） （0,0）在点（0, 0）的两个0,（x,y） （0,0）偏导数存在，但函数f（x,y）在点（0, 0）处不连续。5、（本题满分10分）用比较法判别级数（）n

11、的敛散性。n 1 2n 16、（本题满分12分）求球面x2 y2 z2 14在点（1,2,3）处的法线方程。7、（本题满分 12 分）计算 I （x2 y2）dxdy,其中 D （x,y）1 x2 y2 4。 Dx t, 一 . .ur一一一 一，8、（本题满分12分）力F x, y,x的作用下，质点从（0,0,0）点沿L y 2t移 z t2至ur ,（1,2,1）点，求力F 所做的功 W o9、（本题满分12分）计算函数u xsin（ yz）的全微分。10、（本题满分10分）求级数_J的和。n in（n 1）11、（本题满分12分）求球面x2y2 z2 14在点（1,2,3）处的切平面方程

12、。12、（本题满分 12 分）设 z ln （x2 xy y2），求 xz y z 0 x y2 213、（本题满分12分）求（1 x y）dxdy,其中D是由y X, y 0, x2 y2 1 D在第一象限内所围成的区域。x 014、（本题满分12分）一质点沿曲线 y t从点（0,0,0）移动到点（0,1,1）,求在此z t2过程中,力F <1 x4i yj k所作的功W。15、（本题满分10分）判别级数n sin 的敛散性n 1 n16、（本题满分20分）求一条过点A（ 1,0,4）与一平面相交的直线方程.:3x 4y z 10 0平行，且与直线17、（本题满分20分）求椭球面x2

13、2y2 3z2 21上的点M ,使直线守心二在过M点的切平面12上.n 118、（本题满分12分）计算二重积分Ixy dxdy。|x y 119、（本题满分12分）已知yz zx xy 1 ,确定的z z（x, y）,求dzx y20、（本题满分12分）设z f（x, y）是由方程ez ez2e所确定的隐函数，求zx、zy.r 乙1yc21c21、（本题满分10分）计算一次积分 dy y cosx2 dx dy ycosx2 dx .2222、（本题满分10分）计算函数z 2esinxy的全微分.23、（本题满分10分）计算二重积分-2Ld其中D: 0<x< 1,0 <y&l

14、t; 1 .D 1 xr r 一24、（本题满分10分）已知向量a （1,1,1）, b 2j 4k,求b 和a b25、（本题满分10分）求曲面x xy xyz 9在点（1,2,3）处的切平面方程高等数学（二）期末复习题答案一、选择题,r1、A 解：利用平行向量对应的坐标成比例，设 b （2t, t,2t）,又因2、C 解：将z 1代入x2 y2 z 0得到x2 y2 1,此时图形为圆。3、D 解：用极坐标计算方便，4、A 解：利用曲线积分的性质，则 l6ds 6 Lds 6 （3 0） 95、B解：由莱布尼兹判别法可得到级数1)n工收敛，但nn 1(1)n1 n发散，所以(i)n1是条件收

15、敛。n 1n6、D解：二重积分定义式f(x,y)dDlim0 . If( I, l) I中的是分割细度，代表1的是n个小闭区域直径中的最大值。7、B解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得8、A 解：2z x2 y2在三维空间里表示的是抛物面。9、B解：z f(x,y)在点(刈,打)可微一定能推出偏导数存在，所以是充分条件。10、C解：利用曲线积分的性质，则沿着下半圆周yVTV的曲线积分221Jx2 y2)ds L1ds - 211、B解：若级数an收敛，由收敛的性质 A,C,D三个选项依然是收敛的，而n 1(an 2)未必收敛，或者排除法选择 Bo n 112、C解：二重

16、积分的值与函数有关，与积分区域有关，而与积分变量 D的字母表达没关系。13、B解：利用平行向量对应的坐标成比例，a (1,2, 1),b (x,4, 2),则x=214、B解：将y 1代入z2 x2 y2得到z2 x2 1代表的图形为双曲线。15、B解：对y求偏导时，x看作常数，z arctan(x y),则-z =12y 1 (x y)16、A解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得17、C解：利用级数收敛的定义可得un lim Sndnn 118、D解：利用曲线积分的性质，被积函数关于 x是奇函数，由对称性，可得则曲线积分I ?L2xyds 019、A解：直线方程为-则

17、原点坐标(0,0,0)满足方程，该直线必过原点，012直线的方向向量为(0,1,2) , x轴的方向向量为(1,0,0),又因为(0,1,2) (1,0,0) 0,所 以直线过原点且x轴。20、C解：将直线方程写成参数式，代入平面方程求交点坐标，或者代入法验证也x 2 t可。jx2 y3 z4 t y 3 t代入2x y z 6 0得t1 交点坐标为(1,112z 4 2t2, 2)21、A解：熟悉二元函数的概念之间的联系，偏导数连续可微 连续；或者偏导数连续可微偏导数存在22、B 解：tan tan绝对收敛。n n n 1 n23、B解：对y求偏导时，x看作常数，z xsin y xcosy

18、,代入点的坐标1,4224、C 解:2 a a 1 cos 2n 2n级数 (1)n 1 cos a绝对收敛 n 1nn k n n k n 125、B 解：(1) ( 1) ( 1) nnn级数(1)nLn条件收敛 n 1n26、C解：交换积分次序后计算简单二、填空题1、2解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。. xy .lim limxy( -1 xy 1)xy 1 X0(J xy 1)(, 1 xy 1)limx 0y 0xy( 1 xy 1)1 xylim JiXv 1 2 2、 x 0 -y 02cos(2x 3y)解：对

19、x求偏导时，y看作常数,3、(e4 1)解：用极坐标求解简单4、解：两个向量垂直，则点积为 0 a5、10dy1百 f(x,y)dx解:画出积分域，再确定积分限6、解:31n)1_2_1127、解：第一步分子有理化,第二步分子利用平方差公式,第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。8、3cos(2x 3y)解：对y求偏导时，X看作常数，9、 odyf(x,y)dx解：回出积分域，再确定积分限10、0 解：利用曲线积分的性质，奇函数在对称区域上的积分为011、J 解：(un 1)收敛 lim( un 1) 0lim un1n 112、xy 解： 设 x y u,x y v x2 y2

20、 uv f (u, v) uv f (x, y) xy13、 1 解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约2去公因子，第四步利用连续性求解极限。14、解：两个向量垂直，则点积为 0 a b 0 x 3 0 x 315、 3dx 3dy解：考查全微分的概念，先求两个偏导，求全微分，再代入定点 22C 2c 2z ln(x3 y3)zx 八3六又因为 dz zxdx zydy1- X16、 °dx * f (x, y)dy解：回出积分域，再确TE积分限17、 2S u1 解： un Sun 1 S u1un un 1 2S u1 n 1n 1n 118、 0 解:

21、利用曲线积分的性质，奇函数在对称区域上的积分为0,则I x xsin yds 019、 0解：本题用到了连续函数的性质，等价无穷小的替代,v r20、 i j解：本题用到向量积的求解万法v v r ra i j ,brrrrijrk ,则 v b1100u k0121、解:limx 0y asin(xy)limx 0 y asin(xy)xyr rr ra ba b cos25、12解:利用向量积的模的求解方法26、解：利用向量积的模的几何意义,a b sin 一 2三角形的面积3 4 1 121 UUlr UUUT S - AB AC 2一 jr r r22、 4 解：a b 023、72

22、解：L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，此线段的方程是x y线段的长度是22L(x y)ds L 1ds垃24、上解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。27、5 解：利用两点间的距离公式28、解：利用点积公式 a b (3, 1, 2) (1,2, 1) 3 2 2 329、1 解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约 2去公因子，第四步利用连续性求解极限。30、 封 解：对x求偏导时，y看作常数，求完偏导以后代入已知点的坐标f(x,y)x2(y3) (x1)exyfx(x,y)2x(y3) exy(

23、x 1) y exy 代入点的坐标fx(1,3)2 1(3 3)e3 (11) 3 e3e3三、解答题1、(本题满分12分)解：设 F(x,y,z) z ez 2xy 3贝U Fx 2y , Fy 2x , Fz 1 ez对应的切平面法向量n (Fx，Fy，Fz) (1,2,0)代入(1, 2, 0)可得法向量：(4, 2, 0)则切平面方程：4( x 1) 2( y 2) 0(z 0) 0或 2x y 4 02、(本题满分12分) xo x耳11 y 斛 ： eydxdy dy eydx00D解：因为上2u3z8z2x3y2'4zy 2x3y 4z22x 3 y 4z2x所以du22

24、 dx32 dy8z2 dz2x3y4z22x 3 y4z2x3y4z24、（本题满分12分）解：fx（0,0） lim f（0x，0） f（Q0） limQ 0x 0xx 0 x同理fy（Q0） 0所以函数在（0, 0）点两个偏导数存在。Hmi f （x,y）不存在 y 0因此函数在（0, 0）点不连续5、（本题满分10分）n nn n1 n解：（；二）（丁）（二），2n 12n2而（1）n是收敛的等比级数n 1 2原级数收敛6、（本题满分12分）解：设 F（x,y,z） x2 y2 z2 14贝U Fx 2x , Fy 2y , Fz 2z对应的法向量n (Fx，Fy，Fz) (1,2,3

25、)代入(1,2,3)可得法向量：(2, 4, 6)则法线方程：二J上二z_2 1237、（本题满分12分）22 八解：I d 2 d 018、（本题满分12分）9、（本题满分12分）Q ux sin yz , uy xz cos yz uz xy cos yz10、（本题满分10分）解:n(n 1)所以级数的和为1 n 1 n（n 1）11、（本题满分12分）解：设 F(x,y,z) x2 y2 z2 14对应的切平面法向量n （Fx，Fy，Fz） （123）y y,j代入（1,2,3）可得法向量：（2, 4, 6）则切平面方程：2（ x 1） 4（ y 2） 6（z 3） 0或 x 2y 3

26、z 14 012、（本题满分12分）解：因为二 22x y 2；-2x 2y 2x x xy y y x xy y22所以 x 二 y 二 2x 2xy xy 22y 2 x y x xy y13、(本题满分12分)解：令cos sin221所以(1 x y )dxdy 0 d 0 (1D2)1614、（本题满分12分）15、（本题满分10分）11解：设 un n sin -n.1 sin 于是 lim unlim n1 0n n n 1n故 Un发散。n 116、(本题满分20分)x t 1解：直线L的参数方程为 y t 3z 2t,、r,一一 ， ， r所求直线的万向向量为s (t,t 3,2t 4)与平面 的法向量n (3, 4,1)垂直，即3t 4(t 3) (2t 4) 0得 t 16所求直线为AJy