人教版高中数学必修1知识点总结及习题

1、高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1 .集合的含义2 .集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY勺字母组成的集合H,A,P,Y(3)元素的无序性：如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3 .集合的表示：如：我校的篮球队员, 太平洋，大西洋，印度洋，北 冰洋(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z有理数集Q实数集R4 .集合的表示方法1)列举法：a,b,c 2)

2、描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x R| x-3>2 ,x| x-3>23)语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4) Venn 图：5、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：x|x 2=5二、集合间的基本关系1 .“包含”关系一子集注意：A B有两种可能(1) A是B的一部分，；(2) A与B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2 .“相等”关系：A=B (5 >5,且 5&5,则 5=5)实例：设A=x|x 2-1

3、=0 B=-1,1“元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。A A真子集：如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作 A B(或B : A)如果A B, B C ,那么A C如果A B 同时B A那么A=B3 .不含任何元素的集合叫做空集，记为规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算交集并 集补集定 义由所后属于 A且属 于B的元素所组成 的集合，叫做A,B的 交集.记作A B(读由所有属于集合 A或 属于集合B的元素所 组成的集合，叫做A,B 的并集.记作：A B设S是一个集合，A是

4、 S的一个子集，由S中 所后不属于A的兀素组 成的集合，叫做S中子 集A的补集(或余集)记作CSA,即例题：1 .下列四组对象，能构成集合的是()A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2 .集合a , b, c 的真子集共有 个3 .若集合 M=y|y=x2-2x+1,x R,N=x|x >0,则 M与 N 的关系是 4 .设集合A= x i x 2 , B= x x a ,若A B,则a的取值范围是正确得有40人，人。的 集 合x2-mx+m-19=0,5 .50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得化学实验做彳#正确得有31人，两种实验都做

5、错得有4人，则这两种实验都做对的有 6 .用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成M=.7 .已知集合 A=x| x 2+2x-8=0, B=x| x 2-5x+6=0, C=x|若BA Cw,AH C=D ,求m的值二、函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f,使对 于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那 么就称f: A- B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x) , x A.其中， x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做 函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做

6、函数的值域.注意：1 .定义域：能使函数式有意义的实数 x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)； 定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2 .值域：先考虑其定义域(

7、1)观察法(2)配方法(3)代换法3 .函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x e A)中的x为横坐标，函 数值y为纵坐标的点P(x, y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x e A)的图象.C 上每一点的坐标(x, y)均满足函数关系y=f(x),反过来，以满足y=f(x)的每一 组有序实数对x、y为坐标的点(x , y),均在C上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4 .区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.5 .映射一般地，设A、B是两个

8、非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应， 那么就称对应f: A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“ f (对应关系)： A (原象) B (象)”对于映射f： 2B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6 .分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况.(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.补充：复

9、合函数如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),则 y=fg(x)=F(x)(x A) 称为 f、g 的复合函数。二.函数的性质1 .奇偶性(1)定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义 域内的任意x都有f(- x)=f(x),则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：d函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对

10、于定义域内的任意一个x,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。( 2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f( x)与f(x)的关系；作出相应结论：若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0 ,贝U f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x)或 f( x) + f(x) = 0 ,则 f(x)是奇函数。( 3)简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；设f(x), g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们

11、的公共定义域上：奇 + 奇 =奇，奇奇 = 偶，偶+ 偶 =偶，偶偶 =偶2单调性(1)定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 xi,x2,当xi<x2时，都有f(xi)<f(x2) (f(xi)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数)；注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间 D内的任意两个自变量 xi , x2；当xi<x2时，总有f(xi)<f(x2)(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间

12、具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。(3)设复合函数y= fg(x),其中u=g(x) , A是y= fg(x)定义域的某个区间，B是映射g : x-u=g(x)的象集：若u=g(x)在A上是增(或减)函数，y= f(u)在B上也是增(或减)函数，则函数 y= fg(x)在A上是增函数； 若u=g(x)在A上是增(或减)函数，而 y= f(u)在B上是减(或增)函数，则函数 y= fg(x)在A上是减函数。 ( 4)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 f(x)在给定白区间 D上的单调性的一般步骤：任取 xi , x2 D ,且 xi<x2； 作差 f(xi)-f

13、(x2)； 变形(通常是因式分解和配方)； 定号(即判断差f(xi) f(x2)的正负)；下结论(即指出函数 f(x)在给定白区间D上的单调性)。( 5)简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数 f(x) 增函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) 减函数 g(x) 是减函数；增函数 f(x) 减函数 g(x) 是增函数； 减函数 f (x) 增函数 g(x) 是减函数。3最值(I)定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数 M满足：对于任意的 xC I,都有f(x)WM；存在xo I,使得f(xo) = M

14、。那么，称 M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数 M满足：对于任意的 xC I,都有f(x)RM;存在xo I,使得f(xo) = M。那么，称 M是函数y=f(x)的最大值。注意：函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在xoCI,使得f(xo) = M;xC I,都有 f(x)w M (f(x)M)。 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法：利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值；利用图象求函数的最大(小)值；利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函

15、数y=f(x)在区间a, b上单调递增，在区间b, c上单调递减则函数 y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a, b上单调递减，在区间b, c上单调递增则函数 y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；4 .周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T尸f(x),则称f(x)为周期函数；(2)性质：f(x+T尸f(x)常常写作f(x f f (x 1),若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；若周期函数f(x)的周期为T,则f(cox) (cow 0)是周期函数，且周期为5 .对称性6、函数的解

16、析表达式(1) .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法例题：1 .求下列函数的定义域： y qX2_2X_15(2)y Ji (j2y |x 3 3x 172 .设函数f(x)的定义域为0, 1,则函数f(x2)的定义域为3 .若函数f(x 1)的定义域为2, 3,则函数f(2x 1)的定义域是 x 2(x1)4 .函数 f(x)x2( 1 x 2)，右 f(x) 3，则 x=2x(x 2)5 .求下列函数的值域： y x2 2x 3

17、 (x R) y x2 2x 3 x 1,2(3) y x 1 2x(4)y-x24x56 .已知函数f(x 1) x2 4x,求函数f(x), f(2x 1的解析式7 .已知函数 f(x)满足 2f(x) f( x) 3x4,则 f(x) =8 .设f(R是R上的奇函数，且当x 0,)时，f(x) x(1 W)，则当x (,0)时f(x)=f(x)在R上的解析式为9 .求下列函数的单调区间： y x2 2x 3 y 1X22x3 y x2 6 x 110 .判断函数yx3 1的单调性并证明你的结论.211 .设函数f（x） 判断它的奇偶性并且求证：f（2）f（x）1 xx一、典型选择题1 .

18、在区间（一叫0）上为增函数的是（）A.D. F二心（考点：基本初等函数单调性）口2 .函数了 :工+启工+不（工已（一第1）是单调函数时，力的取值范围D.<_2（考点：二次函数单调性）3.如果偶函数在兄句具有最大值，那么该函数在一瓦f有A.最大值B .最小值（考点：函数最值）C .没有最大值D.没有最小值A.偶函数B.奇函数C.不具有奇偶函数D .与中有关（考点：函数奇偶性）5.函数/在（/司和都是增函数,若工逮出办啊巨（田,且占5那么（A. /（小丁氏） B. 7（工1）”（切 C.区） D.无法确定（考点：抽象函数单调性）6,函数，口）在区间-2,3是增函数，则了 = /（工+的递增

19、区间是 （）A,短B,C. 31d-23（考点：复合函数单调性）7,函数N=（2#+l）x + "在实数集上是增函数，则（）, I,1k > 一 A; < _ _A.2B,2C.由>0D.b>0（考点：函数单调性）8 .定义在R上的偶函数，,满足，（工+1）二寸（外，且在区间I口上为递增，则（）A -/一.I.B 1.一B .C.（考点：函数奇偶、单调性综合）9 .已知,a）在实数集上是减函数，若叮十七三口，则下列正确的是（）a.，（或+，矽）工一/（）+/3）B.，+/的D.（考点：抽象函数单调性）二、典型填空题1,函数“X）在R上为奇函数，且/（工）=J+

20、 Lx > 0 ,则当工工0 , / （<）=.（考点：利用函数奇偶性求解析式）2.函数¥±-工+1工1,单调递减区间为 ,最大值和最小值的情况为 .（考点：函数单调性，最值）三、典型解答题1. （ 12分）已知,3二1工一 2） ,式'-1，引，求函数，+1）得单调递减区间.（考点：复合函数单调区间求法）,八-2) = 10,求/.了5）二#.5+口/一巴一旧2. （12分）已知工（考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想）第二章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幕的运算1 .根式的概念：一般地，如果xn a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1

21、,且 _ *n e n .负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作U8 0a当n是奇数时，Van a,当n是偶数时，Ran |a| a2 .分数指数幕正数的分数指数幕的意义，规定：mman Vam（a Qm,n N*,n 1） , a n f=（a _ n m n aa n a(a 0)(a 0)0, m,n0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义3 .实数指数幕的运算性质(ar s(2) (a )rs a(a*N ,n 1)0,r,s R);0,r,s R);r r s(3) (ab) a a(a 0,r,s R).(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 y a

22、x(a 0,且a 1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1.2、指数函数的图象和性质a>10<a<1651 14312f1Li定义域R定义域R值域y>0值域y>0在R上单调递 增在R上单调递 减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过 定点(0, 1)函数图象都过 定点(0, 1)注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在a,b上,f(x) ax(a 0且 a 1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)；(2)若x 0,则f(x) 1； f (x)取遍所有正数当且仅当x R;(3)对于

23、指数函数f(x) ax(a 0且a 1),总有f(1) a；二、对数函数(一)对数1 .对数的概念：一般地，如果axN (a 0,a 1),那么数x叫做以a方底N的对数，记作：x log a N (a 底数，N 真数，log a N 对数式) 说明：d注意底数的限制a 0,且a 1; ax N log a N x ； 注意对数的书写格式.两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数lgN ; 自然对数：以无理数e 2.71828 为底的对数的对数ln N .指数式与对数式的互化幕值 真数ab = N log a N = b底数指数对数（二）对数的运算性质如果a 0,且a1,M 0, N0,那么：

24、d lOga（M N） log a M + log a N ； log a M log a M - log a N ； NC3）log a M n n log a M （n R）.注意：换底公式log a b 10g c b （a 0,且 a 1; c 0,且 c 1;b 0）. log c a利用换底公式推导下面的结论（1） logam bn log a b ； （2） log a b 1. mlogb a（二）对数函数1、对数函数的概念：函数y logax（a 0,且a 1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0, +00）.注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意

25、辨别。如：y 210g2 x, y 10g 5 X都不是对数函数，而只能称其为对数型函数. 对数函数对底数的限制：（a 0,且a 1）.2、对数函数的性质：a>10<a<12.5一 t r2=-1"21.5151一0.505010 I1-1:-5-2-2*'-251-_定义域x>0定义域x>0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都 过定点（1, 0）函数图象都过定点（1, 0）（三）幕函数1、幕函数定义：一般地，形如y x （a R）的函数称为幕函数，其中 为常数.2、幕函数性质归纳.（1）所有的幕函数在（0, +8）都有定义并且图象都过点（1,1）；（2） 0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间 0,）上是增函数.特别地，当1时，幕函数的图象下凸；当01时，幕函数的