2020届江苏省常州市高三上学期期末学业水平监测数学文试题

1、常州市教育学会学业水平监测高三数学文科一、填空题：1 .已知集合 A=1,0,1, B =x|x2 A0,则 AcB=2 .若复数z满足z,i =1 -i,则z的实部为 3 .右图是一个算法的流程图，则输出的S的值是/输出占/辖束4 .函数y = J2x -1的定义域是 5 .已知一组数据17,18,19,20,21 ,则该组数据的方差是 6 .某校开设5门不同的选修课程，其中 3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是 7.已知函数f(x)=-,x<0,，x1 则 f (f (8)=2-x3,x>0,冗8 .函数y=3sin(2x

2、+ ),xW0,叼取得最大值时自变量x的值为9 .等比数列 Qn 中，若a1 二 1,4a2, 2a3, a4成等差数列，则a1a7 =cos. a10 .已知=V2,则 tan2a =cos 二22x y11 .在平面直角坐标系 xOy中，双曲线C :二一七=1(a >0,b >0)的右顶点为A,过A做x轴 a b的垂线与C的一条渐近线交于点 B,若OB=2a,则C的离心率为12 .已知函数f(x) = lg(x2)，互不相等的实数a,b满足f(a)= f(b),则a+4b的最小值为一2_2_213 .在平面直角坐标系 xOy中，圆C:x 2ax + y 2ay+2a 1 = 0

3、上存在点P到点(0,1)x R, xAC AB _ ADAD AB'恒的距离为2,则实数a的取值范围是 14 .在AABC中，/A=±，点D满足AD =2AC,且对任意 33成立，则 cos ZABC =、解答题:15.在&ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知 a =1,cos B =- 3(1)(2)若A = '，求sinC的值;3若b =、.2,求c的值.16.如图，在四棱锥 PABCD中，PA_L平面ABCD ,四边形ABCD是矩形，AP= AD ,点M , N分别是线段PD, AC的中点。求证：(1) MN /平面 PBC ;(2) PC

4、 _ AM.22x y17.如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C :=+彳=1(a Ab >0)的左右焦点分别为 E,F2, a b椭圆右顶点为 A,点F2在圆(x 2)2+y2=1上。(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 点M在椭圆C上，且位于第四象限，点N在圆A上，且位于第一象限，已知.13AM =AN ,求直线FiM的斜率。218.请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10j2cm的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在?&虚线折起，使得 A, B,C,D四个点重合于图2中的点P,正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(图2所示)，设正四棱锥P-EFGH的底面边长

5、为 x (cm).2(1)若要求包装盒侧面积 S不小于75cm ,求X的取值范围；(2)若要求包装盒容积V (cm3)最大，试问 x应取何值？并求出此时包装盒的容积。2a 219 .已知函数 f(x)=(ax +2x)ln x+x +1(aw R). 2(1) 若曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为 2,求函数f(x)的单调区间;(2) 若函数f(x)在区间(1, e)上有零点，求实数 a的取值范围。20 .设m为正整数，若两个项数都不小于 m的数列入, Bn满足：存在正数L,当nMm时， 都有An -Bn| <L ,则称数列An, Bn是“(m, L)接近的"。已知无穷数

6、列an满足8a3=4a2=1,无穷数列仇的前n项和为Sn,b1=1,且Sn(bn，-bn) 1 n N*bnbn 12，.(1) 求数列QJ的通项公式；(2) 求证：对任意正整数 m,数列a/，a2+1是“(m,1)接近的"；12(3) 给定正整数m(m至5),数歹U卜，(bn + 6 (其中k= R)是“(m, L)接近的"，求anL的最小值，并求出此时的k(均用m表示)。(参考数据ln 2定0.69)高三数学I参考答案 2020年I月一、境空题，本大题共14小题.每小JBS分.共计70分.2.-13.104.囚 + 8）5.26.看 7.-| 哈 9.6410.-2 1

7、1.212.14 可产.。卜年二、解答题3本大题共6小题,共计90分.15 .（本小即满分14分） 忸:（I）在 A/I8C 中，0<8vw.则§in8>0.因为cosB ，所以$inB Jl-cos： 8 - Jl. 3分在 A/l6c中./”* = >所以toC=sto0r-（彳8» = sin（/ + BC S 分所以§inC = §ia： + 8） = §in：cos8*cos,8m8 -"". 333232 368分（2）由余弦定理W-ZaccosH+r2,则诉，=1-本坐/,10分所以9_召献

8、+ 乎） = 0,12 分因为c.半>0.所以c60.即cJL14分16 .（本小时湎分14分）证明：（”取氏二 反、的中点£尸，连结的£ EF. FN.三角形PC0中 EXPD. K的中点所以£WCD. £V/ = 1CD：三角影46C中,R N为8C/C的中点.所以& TH，FN、囚为四心形48CD是矩形.所以A8Cn ABCD.就学I答案 W I页共7页从而打V , £W = £V 所以皿边影EHVF是平行四边形.所以MV灯,又印u平面Q6C. MVa平面取J所以MV平面战，6分(2)因为 AMJ,平面 48c。，

9、COu 平面 46CD,所以E41CO.因为四边膨4雨75是矩形，所以山？188分乂因为4/0 = /, /Mu平面/MO/Ou平面夕/O,所以CD J.乎面1。, 又4Mu平面240,所以(")，/!”10分因为4/>=/) W为P。的中点,所以4ML/7).又囚为叩尸Du平面火刀.a)uT而/CD. 所以4MJ_平面PCD.】2分又Cu甲而/W.所以14分17 .(本小逾湎分14分)M： (1)眼田口2)、产1的回心/(2.0)半诧/ = 1与x轴交点里标为U.0M3.0)点广?在册/：(x2V1上.所以8(1.0)从而。2. c«1.所以b. .J Mi 

10、9;6所以朝WIC的标准方程为二十二=1.4分43(2)由四,设点0<x, <2,X) <0：点 N(A1.y9, x2 >0.y2 >0.则工i/(Xi.R , AN -(x, -2,y2).由 10和加点 4 M, N 共线.5 分口腹4W的斜率存在，可设为A (AX),则向我4杉的方程为，=粼1-2),7分-2 卜? £科(3.4/*-I6*S6*L|2 = O.的存74T-x = 2->0或所以“(汽卷T).3,4&, 3W代入而=_季和阳”二-且(叵三巫E). 23+4T3/4V2 1'(44-9X52*2+5l) = 0

11、,又Q).丹人弓8*2-6 x =3 + 4*:-12*>' = -3 ) 4T10分13分3所以“(L-：), 乂 £(-1.0),可得直找不守的斜率为一J = -2. 14分21-(-1)418.(本小圆满分16分)监 (I)在图1中连结AC.BD文/点O.设BD与FG交卜点M,在伯2中连结OP,因为"CD是边改为loVJon的正方影，所以0870 (cm).由尸G=x,得。廿=工.月3 = 8.”=10-22分22y r闪为PA/ >QW,即 10-±>±，所以0<.rvl0.4 分2 2M>j5 = 4x1f

12、G AW =2x(IO-y) = 2Ox-x 6 分由20i/N75. «5<x<15.所以SWxvlO.答：x的取值葩第是54k<10.8分(2)因为在RTAOMP 中,OMrOP'PM2.m OP=Vpa/2 -OMz = J(io -f VlOO-JO.r , r =jFG:OP = 1.rV100-10.v =-jV100.?-10x5 0<x<10.10 分设，(幻=100-10.d, 0<x<10,所以 f(x) = 400x' 50x4 = 50/(8 - x).令/'(x) = 0得n = 8或x =

13、0 (舍去).12分所以当x=8时.y的鼓大位为1一. 籽，当*=8«11时包装盒赤枳;,拉大为生£ （cmM . 16分列我用，V(0. 8)8(8. 10)JXx)+0Xx)/极大tft、所以当18时,函数/（X）取得极大（fi.也是足大值. 14分319,(木小题湎分16分)(I)函数幻的定义域为(0.2)./(x) = (%r + 2)lnAf+(ar' + 2x),+ 3 = 2(ax + l)lnK+2ar + 2 = 2(oK + l)(lnx+1) 2分xW/(1)-2(a 1)-2.所以“=0,3 分此时，(x) = Zdn"l,定义域为

14、他就)/3 = 2(帖/1), 令/、外0.解汨k：令/（刈0,解得月所以的数，口)的单调墙区间为单间减区间为(0)6分ee由数n=5-2v加|+ ?在区间U©上的图象是一条不间斯的缉.由(I)知ra> = 2(3 + l)(lnx+l)1)当。20时，对任愈xwQc), av + l>O,lnx*l>O,则(外>0所以函数八外在区 间【Lcl上单调通增.此时对任意xw。©,都有=? + 1>0成电，从而函数“X) 在区间ao上无零点X8分2)当a<0时.令/'(x)0.御h = 1或-其中!<1 c a c苦一WI即aW-

15、l,则对任意xw(l.c).八幻<0,所以函数幻在区间U©上 a单调递的阳患谷/= / + l>0 fl/(C)= OC2+2C4.yC2+l<0t解用-2<q<-2,2cn.其中-2 飞：)- 31-4c 二2 > 0-2(2c-kl)>13e*3e*3e*3e.所以。的取侦越时是-2<a-l：10分若2eH|IWa<0,则对任意八幻>。所以函数/在区间U© ac上单调递埴.此时对任意Nwa.e1都句/(幻>1) = £*1>0成立.从而曲数/(外在 区向化上无零点,12分表14一L<

16、c,即_1<。<一1.则对任意xwa,_L), r(x»o：所以的敷“外在区 aca间儿匕上单调递增，对任意xwQ-工,郝行“外1)9.1>0成立； aa2对任点*6-1.。，八、)<0.内数/a)在区间-Lw上单调诩m,由题。得 aaf(c) = ac2 4>2e + c +1 <0 .解存 a< _ 二: I).23c*12(2c*I) I 3c-4c-2 y-20 2(2c + l)1J VP(一一) = ：= T-<0. U|.<H-)，3u c 3c*3c*女。 c所以。的取依慈国足1<。华抖.15分女.嫁上可得实

17、数。的取值瓶围是-2<。<一哗» 16分20.(本小鹿湎分16分) 解，(1)设等比数列4公比为g .由&14%1得心/=4闯=1解用。l=g=g,故q=/. 口一(01|)|=|-(;+1)|=|(3-;尸4|=(5-;尸吟.24224 Z Z 4对任意正整数当/IWN旦<m时j0< < <1.2" 29 2则(7""J)+；<； + ：】即 14(" 】)|W 1 成七，故对任意正整数加数以MJ。：川)是“(江1)接近的'. (3)由2(%)-',制到flA.她“2sd当 =

18、1时.S、2他一外.=1.解得4=2.当>2时bjW“晨2 M.i-幻2他一%).又仇了0.整理得".aa7 = 2所以d.i-d=d-dT因此数列“为等基数列.又因为4=1,生=2,则数列四的公茏 1.II分根枢条件.对于给定正整数M<m>5) -当wN时.都行一S；M)H2 一八外区人成必12分即L + 2' V A W ，2。一 对 =1,2,3,/n 都成必考察函数/U) = 2“-./ /r(x) = 2¥ln2-2x .令鼠x) = 2"n2-2x 则g'(x)=2Fn2尸一2,当C5时,gx)>0,所以gpr)在»,+«)上是培西机