2018-2019学年河南省高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

1、2018-2019学年河南省高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1 .设命题 p : Vx >0 , | x|二x ,则一1P 为A.Vx0,|x|#xB.三X0W0 ,| X0|=X0C.Vx<0,1 x | = xD .二刈 A 0 , | M | # x0【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则-P :三x0 A 0,址 0 x0 ,故选D.【点睛】本题主要考查含有全称量词的命题的否定，比较基础. 12 .已知抛物线的准线方程 x = 3,则抛物线的标准方程为（）A , x2= 2yB . x2 = - 2yC

2、. y2 = xD . y2= - 2x【答案】D【解析】由抛物线的准线方程求得P ,进一步得到抛物线方程.【详解】. 1解：丁抛物线的准线方程 x=1,2可知抛物线为焦点在 x轴上，且开口向左的抛物线，p 1,/且一=一，则 P =1 .22二抛物线方程为y2 = -2x .故选：D .【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，考查了抛物线方程的求法，是基础题.S6,、3.若等比数列an的前n项和为Sn，2a3+a6=0,则晟=（）S3A. -1B. 1C. -2D. 2【解析】由n项和公式,33 一 . a6 =a3q，代入2a3+a6=0,可以求出q = 2 ,然后利用等比数列的前可以得到 &

3、amp; Jq：,进而可以求出答案。【详解】设等比数列4的公比为q,S31-q3第6页共14页= 2a3 +a3q3 =a3(2 +q3) =0 ,因为a3 =0,所以2+q3=0,S61 -q则r =3S3a1 1 - q1 -q61 -q31 -41 -q故选A.本题考查了等比数列的性质及前n项和公式，属于基础题。4.函数f (x) = x3 ex的图象在x =1处的切线斜率为(A. 3C. 3 + eD. e求出函数的导数，将 X = 1代入即可求解切线的斜率._ 2 x一一f (x) =3x -e ,所以 f (1) =3 -e.故选：B本题考查函数的导数的应用,意在考查求导运算,是基

4、础题.5.在 MBC 中，A, B ,C所对的边分别为2-a , b , c,已知 c = 5, b = 3, A =3则sn小 sinC7A . 一5B.C. 37【解析】利用余弦定理求得 a,再利用正弦定理即得结果【详解】由余弦定理：a2 =b2 +c2 -2bccosA ,得 a = 7,由正弦定理:sinAa7sinCc5故选：A本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型6.若函数f (x) = ax - lnx在1 , 2上单调递增，则 a的取值范围是()【答案】B【解析】由于f(x)在1,2内单调递增，即(x)0对XW H,2恒成立，即a-(-)max,由 X此即可求解.【

5、详解】解：f(x)=a1,因为f(x)在h,2内单调递增，所以 (x)0对xw 1,2恒成立，即 xa1对x三1,2 恒成立，所以ay)max =1 ； xx即 a 1, ,二 故选：B .【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查学生的分析能力，计算能力，推理能力，转化能力；属于中档题.£7.若a=f2sinxdx，则函数f (x)=ax+ex，的图象在x=1处的切线方程为()0A. 2xy=0 b. 2x+y=0C. x2y = 0 D, x + 2y = 0【解析】由微积分基本定理求得a值，再根据导函数求切线方程【详解】2x 4xr/、ca = Jsin xdx =( -c

6、osx)|(2 =1，f (x) = x e , f (x) * e , f (1) = 2 ,0则切线方程为y 2=2(x1),即2xy = 0.【点睛】本题考查微积分基本定理和由导函数求切线方程，属于基础题8. 'a,b,c,d成等差数列”是a+d=b+c”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a, b, c, d成等差数列= a+d =b + c,而1+5=3+3，但1,3,3,5不成 等差数列，所以'a, b, c, d成等差数列”是a + d =b+c”的充分不必要条件，选A.点睛：充分、必要条件的三种判断

7、方法.1,定义法：直接判断 若p则q"、若q则p ”的真假.并注意和图示相结合，例如p ? q 为真，则P是q的充分条件.2 .等价法：利用p?q与非q?非P, q?p与非p?非q, p?q与非q?非p的等价 关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.3 .集合法：若 A? B ,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若 A = B ,则A是B的充要条件.1 29.函数f （x） =-x +x2lnx的最小值为（）2A. 1B. -C. 2D.-232【答案】D【解析】求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值即可.【详解】+x2lnx,定义域为 xW(0,g(

8、x 2)(x -1)x1 9解：函数f(x) x 22可得f (x) -x 1 x令 f (x) >0 ,解得 x >1 ;令 f '（x） <0 ,解得 0 < x <1 ;可知f（x）则（0,1）上是减函数，在（1,十无）上是增函数，3所以：f （x）min = f（1 ）=一 .2故选：D .【点睛】本题考查了函数的导数的应用，同时考查了函数的最值的求法，属于中档题.10.若 x>1,则2x x -1的最大值为(C.D.【解析】令t =x 1 ,换元，将原式转化为t的算式，结合基本不等式即可得到结果.角系：令 t =x _1 ,则 x =t +

9、1 , t >0 ,15 ,t t1原式"(t 1)2(t 1) -1 -t2 3t 1 1 t - 3t当且仅当t=1即x=2时等号成立,本题考查了基本不等式的应用， 主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题.11 .已知函数f (x)的定义域为 R,其导函数为f (x),对任意xCR, f (x) >f (x)恒成立，且f (1) = 1,则不等式ef (x) >ex的解集为()A . (1, +8)B , 1 , +8)C. ( - 8, 0)D .00, 0【答案】Af x【解析】首先根据 ef (x) > ex,构造函数F(x) =x对其求导

10、判断单调性即可。exf x ;一由题意得：令F x =.= F x =f x ex -ex f x f x ) - f x"、，'/1一因为f (x) >f (x),所以F (x )>0 ,即F (x )在R上为增函数，因为ef (x) > e一 f(x) 1即-V2 - F(x) F 1，所以 x -1 e e故选:A【点睛】本题主要考查了利用构造函数判断函数单调性的问题，解决此类问题的关键是构造出新的函数，属于中等题。2212.设双曲线M :，5=1 ( a>0, b>0)的上顶点为 A,直线y = Ja2 +b2与M a b交于B , C两

11、点，过B , C分别作AC , AB的垂线交于点 D ,若 D 到点(0,2 Ja2 +b2)的距离不超过8Ja2 + b2 - 7a，则M的离心率的取值范围是()第5页共14页A. "+1,依【答案】DB. "_1,依c. (1,77+1d. (i,V7-i【解析】由双曲线的对称性可知 d点在y轴上，设D(o,t),求得t =c2,、(c a) (c-a)进而根据题设条件得到关于 a, c的不等式，得出关于离心率 e的不等式，即可求解。【详解】 b2b2一一 由题意可知B( ,c) , C(_,c), 1. c=v,a2 +b2 ,由双曲线的对称性可知D点在y轴aac -

12、1 c - a上，设D(0,t),则b2.b2，所以t=cb4二 ca (c - a)，、2，、(c a) (c-a)一2ao o a a 2 2，所以 2c-c-(c a)2(c-a) <8Va2b2-7a=8c -7a，所以(c a) Jc-a) <7(c-a). aa因为 CAa,所以 c2 +2ac +a2 <7a2,即 e2 +2e 6 <0 ,解得-1 -77 <e<-1 +后',又 e>1 ,所以 ee(1,V7-1,故选 Do【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的取值范围，其中解答中熟记双曲线的标准及其简单的几何性质，根据题设条

13、件，得出关于a,c的不等式，即关于离心率 e的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。二、填空题13.若函数 f(x)=x21,贝U f11 )=. x【答案】3【解析】根据题意，求出函数的导数，将x = 1代入导数的解析式，即可得答案.【详解】解：根据题意，一一 21函数 f (x) :x , x1则 f (x) =2x , x1则 f (1)=2父1 + »=3 ； 1故答案为：3.第8页共14页【点睛】 本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题.x - y _ 014.若x, y满足约束条件<x + y 2E0,则z = 2x

14、3y的最小值为y - 0【答案】-1【解析】画出可行域，通过向上平移基准直线2x-3y =0到可行域边界的位置，由此第18页共14页求得目标函数的最小值【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数z= 2x- 3y在点A( 1,1)处取得最小值,且最小值为z =2-3 - -1.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.在正方体ABCD - A1B1C1D1中，M,

15、N分别为AD, C1D1的中点，O为侧面BCC1B1 的中心，则异面直线 MN与OD1所成角的余弦值为 .【答案】16【解析】以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MN与OD1所成角的余弦值.解:如图以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DDi为z轴，建立空间直角坐标系,M (1,0,0 ), N (0,1,2),令 AB =2,则 Di(0,0,2 卜O(2,1,1),设异面直线MN与ODi所成角为0 ,则 cosQ =J | 二 L =一 .MN HODJ 6“1二异面直线MN与ODi所成角的余弦值为一.6- -1故答案为：6【

16、点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.16.若函数v= sin2x+cos3x+a- 1在区间一二,二上的最小值为0,则a=2 24【答案】27【解析】化简函数的解析式，利用换元法，结合函数的导数，求解函数的最值然后推出结果.【详解】解：函数 y =sin2 x+cos3 x+a1 =-cos2 x+cos3 x+a ,因为 x = ,-,所以 COSxW Qj 2 2令 t=cosx,贝U g(t) =t3-t2+a,g'(t)=3t2-2t =t(3t2), t0,11，g'(t), 0,

17、当 tw £,J时,gt)>0,-24. 一 4从而 g min =g() =a =0,斛倚 a = . 32727,4故答案为：.4 .27【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.三、解答题22，一 x y17 .已知椭圆 W： +L=i(m >0,n >0)的离心率为e,长轴为AB ,短轴为CD. m n(1惜W的一个焦点为(3,0), CD =6 ,求W的方程;一32盾AB=10, e=,求W的方程.5【答案】(1)见解析；(2)见解析；【解析】(1)由已知求得c与b的值，再由隐含条件求得 a,然后分类写出椭圆

18、方程;(2 )由已知求得a,结合离心率求得c,再由隐含条件求得 b,然后分类写出椭圆方程.(1 )由已知可得，c=3, 2b = 6 , b = 3.*. a2 =b2 +c2 =18.22若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为 今+E=1.18922若椭圆焦点在y轴上，则椭圆方程为 二十上=1； 918(2 )由已知可得，2a =10,则a = 5, c 3999又 e =一,二 c = 3,则 b = a -c =16 .a 522若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为 二+)-=1.25 1622若椭圆焦点在y轴上，则椭圆方程为 ±+L=1.16 25【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭

19、圆方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题18 .在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知2cos2 A cos2B =1 ,b +2acosC =0.(1)求 C;(2)若c = M，求AABC的周长.【答案】(1)彳；(2)J2+2+府.【解析】(1)由三角函数的恒等变换化简角，再运用正弦定理边角互化得解；(2)由余弦定理反映三角形的三边的关系求解三角形的周长【详解】(1)由 2cos2A+cos2B =1 ,得 2(1 -2sin2 A )-(1-2sin 2 B )=1 ,即 sin2 b =2sin2 A ,所以 b2 =2a2, b= J2a -23因为

20、 b +2acosC 0 ,所以 cosC =,故 C =-冗.24(2)由余弦定理得 c2 =a2 +b2 -2abcosC ,所以 10 = a2 +b2 -2abcosC =a2 +b2 +V2ab 因为 b=72a，所以 a2+2a2+V2aM&a=10，a = &-于是 b = J2a =2 ABC的周长为 我+2+J10.【点睛】本题考查运用三角形的正弦定理和余弦定理，属于中档题19 .设函数 f(x) =(x+1)2+axex.(1)若a =1 ,求f (x)的极值；(2)若a = 1 ,求f (x)的单调区间.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)当a

21、=1时，对函数f (x)求导，利用导数性质，即可求出极值。(2)当a = -1时，对函数f (X建导，利用导数性质求出单调区间即可。【详解】(1)因为 a =1,所以 f '(X )=2(x+1 ) + eX(x+1 )=(x + 1)(2 +ex)当 x'-oo,)时，f'(x)<0,当 xw(1," ), f'(x)>0.1所以f (x )在x = -1处取得极小值，极小值为f(_1)=,无极大值.(2)因为 a = _1 ,所以 f '(x )=2(x+1 )ex(x+1 )=(x+1 )(2ex).令 f'(x )

22、= 0,得 x1 =1 , x2=ln2>0.当 x(-«,-1p(ln2,-ho)时，f'(x)<0,当 xj1,ln2 )时，f'(x»0.故f (x )的单调递增区间为(1,ln2 ).f (x )的单调递减区间为(-00, -1 卜(ln2, +【点睛】 本题考查了利用导数求函数极值与单调区间的问题，属于中档题。20 .设等差数列an的前n项和为Sn,且S5=5&, a6 = 6.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an?3an的前n项和Tn.【答案】(1) an=n； (2) Tn =2n -1 3n 1 3【解析】(1)设

23、等差数列an的公差为d ,首项为a1，根据已知条件构造方程组求出首项和公差，即可求出通项公式;(2)根据(1)的通项公式，代入利用错位相减法，求出解：(1)设等差数列2门的公差为d ,首项为 a1，由 S5 = 55 , a6 =6得曹y+d)得-1a15d = 6(2)由(1)知 an =nannan 3 =n 3,Tn =1 31 +2 32 +|+n 3n ,- 3Tn =1 32 +2 33 +| +n 3T两式作差，得：2T3 *32 * +3n n 3n+ 3(1-3 ) n¥ (1 -2n)3 * -32 I n =3 “33 - n 3= - n 3=，n1 -32丁

24、 (2n 1)3n 1 3. Tn 二4【点睛】考查等差数列的性质，错位相减法求数列的和，属于中档题.2,21 .已知函数 f(x)=(ab)x -x-xlnx .(1)若曲线y = f(x )在点(1,f (1 )处的切线与x轴平行，且f (1)=a,求a,b的值；若a=1, f (x)>0对xw (0,f)恒成立，求b的取值范围.a - 0【答案】(1) <； (2)b=3,0b = -1【解析】(1)对f (x )求导，f'(1) = 0, f (1 ) = a解方程组求出a , b即可。(2)将a = 11 lnx代入，利用参变分离可以将问题转化为b <1 -

25、 -在(0,十比)恒成立，求出x x1 lnx ,. 一g (x )=1 - 的最小值，令b M g(x)min即可。x x【详解】(1) f (x )=(ab )x2xxlnx , f <x )=2(ab)x lnx2 ,工 f 1 =a-b-1=a -La = 0由.，得f ,f 1 =2 a -b -2 =0 b = -12(2)因为 a=1, f(x)=(1b)x -x-xlnx,1 lnxf (x )之0等价于b £1 , x x人 , 1 lnxlnx令 g(x)=1一一一，g (x)= , xxx当xW(0,1时，g'(x)<0,所以g(x庭(0,1)上单调递减,当XW(1,+=c )时，gP(X)>0,所以g(X近(1,+=c廿单调递增，所以 g(X»in =g(1) = 0,所以b三卜二，。.【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题。22 .如图，在三棱柱 ABCA