用微元法建立物理规律的数学表达式

1、用微元法建立物理规律的数学表达式物理竞赛中，常有一类求解物理规律的数学表达式的问题，例如求某质点运动的轨迹，光传播的路径，具有某种物理性质的界面的方程，一个物理量随另一个物理量变化的函数关系式，等等这类问题通常是先根据相应的物理定律建立起物理量之间的某种局部的间接的关系，而后将这种关系推至直接与全体从数学的角度而言，前者是建立被积表达式或微分方程，后者则是求原函数或微分方程的特解这样的数学背景，使不具备高等数学知识的中学生难以处理本文作者在对我省理科班进行数理方法教学的探索时，为拓展物理微元方法在中的应用，多有关于高等数学的“降解”问题的研究，以期达到只须借助中学数学工具，在以微元方法解决物理

2、问题的基础上，通过求和、求积、反推或数学归纳等数学过程，即可求出对应为抛物线、正弦曲线、圆乃至以为底的指数函数等物理规律的表达式本文对此作一初步介绍，与同行交流例1一个装有液体的圆柱形容器，固定在一个旋转的水平圆板中心，圆板旋转的角速度是一定时间后，液体表面呈凹面型，试求液面与过转轴的竖直平面的交界线之形状解法一求和法如图1所示，曲线C为题述交界线，O为转动轴，O为水平方向曲线上任一点的坐标为（，）求出（）的函数式即可确定曲线的形状将横坐标均匀细分成等分，对应地，曲线C上有无穷个分点（0，0）、（，）、（，）（，）（，）由于曲线被无穷分割，故每相邻两分点间的曲线可近似看做直线段，取其中第小段微

3、元它是一极小液元来考 察设其质量为，它受到内部液体的弹力、重力的作用而做角速度为 的匀速圆周运动对该微元，由牛顿第二定律，可得 图1（·），式中（）（）于是有（）（）·此式为一个等差数列的通项式，对该式求和后取极限便可得到对的函数即曲线C的方程，即这是一个抛物线的标准方程于是可知容器中液体表面与过转轴的竖直面之交界线呈抛物线，整个液面为一抛物面解法二反推法本题中如若将纵坐标均匀细分成等分，即取（），对曲线上第小段质量为的微元，有·，则（）（）上式给出了曲线C上某一微元对应的斜率与自变量之间的关系，实际上是一个微分方程通过观察，我们看到未知函数的斜率（）（）是的一次

4、函数，原函数可猜测为抛物线，令原函数为，用微元法求所设函数的斜率，有将此式与式相对照可知，（2），于是所求曲线的方程为（2）·例2已知光学纤维的折射率沿径向依（1）分布，式中为光纤中心的折射率，为比1小得多的正数试求光线在光纤中传播的轨迹解析光学纤维是一种带涂层的透明细丝，涂层的折射率小于芯层的折射率，使进入纤维端面的光线能在涂层与芯层的界面上经多次全反射而传播到另一端由于光学纤维可以对光按所需途径进行导播，被用于传播图像本题讨论的是光纤内光线的轨迹，由对称性，只需分析光纤轴截面内的光线路径即可由折射定律确定在某折射层面的路径，进而用反推法求出光传播的轨迹取如图2所示坐标，光纤轴线为

5、轴，横截面的径向为轴，将平面均分成（）层平行于轴的窄条，每一条的厚度为设光从O点进入芯层，入射角为，各层中的折射率依次为，各层界面上光的入射角依次为，由折射定律,即可得图2由于折射率的分布沿径向递减，开始一段，光传播的路径大致如图2所示现在来考察第层中光的路径：由于极小，光在这薄层中的路径可视作一段直线，由几何关系可知，将和（1）的物理条件代入上式并整理，得=这样，我们便得到待求的表示光传播路径的函数（）与其斜率之间关系的方程观察并推测该方程，若令（），斜率变化（即导函数)为一余弦函数，（）即为一正弦函数，即（），此为正弦函数标准方程，振幅为（），尚待确定值用微元法对所设函数（）求斜率，有（）

6、将此式与式比较，有（）（），可得，（）（）·若光从O点向右下方入射，则轨迹方程为（）（）·可见，光在光纤中的轨迹为正弦曲线这样，我们成功地在初等数学范畴内处理了一个变量可分离的微分方程例3如图3所示，在匀强磁场区域与磁感应强度B垂直的水平面中有两根足够长的平行导轨，在它们上面放着两根平行导体棒，棒的长度均为、质量均为、电阻均为R，其余部分电阻不计导体棒可在导轨上无摩擦地滑动，开始时左棒静止，右棒获得向右的初速度试求右导体棒运动速度随时间的变化图3解析右棒向右运动产生感应电动势，回路中产生逆时针方向的电流，使左棒受到向左的安培力而加速，同时使右棒受向左的安培力而减速，右棒和左

7、棒的速度随时间的变化将分别按指数衰减和按指数增加这样一个复杂的物理规律，我们也可用微元法求出其数学表达式设从右棒起动始经过时间，右棒速度达到，左棒速度为由动量守恒可知两速度关系为，则，回路中的电动势为（）（2）取时间元（）（），某时间元内，右棒满足牛顿第二定律，有（2）（2）（）（2（）（2）（2）对上式整理可得（2（）（2）（2）（）（·），即（2（）（2）（1（）（·）上式等号左边表示右棒在第1时间元内相对于左棒的速度与第时间元内相对于左棒的速度之比，等式右边告诉我们这个比值为定值，也就是说两棒运动时，各时间元内的相对速度成一等比数列，那么。（2（）（2）1（）（

8、83;），（2）1（）（·）（·）（）·（）（）利用特殊极限，可知，于是有（2）（）（），由此可得右棒运动速度随时间变化的规律是（12）（1（）（）这里，我们先根据物理定律，在一个元过程中对右棒建立起速度与时间的关系，而后用初等数学的求积法替代原本用高等数学中解微分方程的积分运算，巧妙地求出了右棒运动速度随时间依指数递减的变化规律的数学式例4如图4所示，平板玻璃的折射率随变化的规律为（）1式中12，13光线从0处沿轴入射，经平板玻璃后从A点射出试求光线在平板玻璃中的轨迹图4解析与前面各例做法相仿，我们将平板玻璃分成与轴平行的个薄层（），各层的折射率可视为不变，光在

9、各层传播时遵循光的折射定律第层的折射率为，光在该薄层两界面上的折射角与入射角均为，在下一层的折射角与入射角均为，每经过一薄层，光传播方向改变，如图5所示由光的折射定律可得图5由题给条件（）1，可得（）1（），1（），则有（）（）（2（）2（-）2，当时上式有·由图5所示几何关系可知，光在第层轨迹曲线长度，即（·）（··）（·）以上结果表明，对于光传播路径上的任意一段都有相同的曲率半径，可知该轨迹是圆的一部分，考虑初始条件0处，0，则光线在平板玻璃中传播的轨迹方程为（13）169我们用初等数学方法，通过证明轨迹各处曲率相同因而为圆，得到了原本需通

10、过求解微分方程的结果这里，我们是将高等数学中弧微分问题“降解”了例5如图6所示，轴竖直向上，平面是一绝缘的、固定的刚性平面在（，0，0）处放一带电量为（0）的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端穿过位于坐标原点的光滑小孔，可通过它牵引小物块现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直于轴，与轴的夹角为设小物块和绝缘平面间的动摩擦因数，且静摩擦因数和动摩擦因数相同，不计重力现通过细线来牵引小物块，使之移动，不得沿轴向上移动；小物块移动得非常缓慢，在任何时刻，都可近似认为小物块处在力平衡状态若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程图6解析在本题中，小物块在绳拉力T、滑动摩擦力和电场力沿轴方向分力三力作用下，在平面运动我们取O点为极点，轴为极轴，在其运动的平面建立极坐标系，则初始时刻小物块的坐标为，0，轨迹曲线设为，如图7所示考察小物块运动过程中到达的任意一点M（，），均有如图7中所示的三力平衡的矢量关系，由于，不难得到图中标示的角度，这说明，小物块匀速移动的角度与矢径的角速度是相同的图7图8现在我们来建立与间的关系，取，当，得到小物体所在位置与极点所连的矢径、，相邻两矢径间夹角，相邻两位置间的曲线段长度，亦即小物体匀速移动所通过的