2019届高考数学二轮复习专题一第1讲基本初等函数、函数图象与性质学案

1、第1讲基本初等函数、函数图象与性质1 .以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2 .利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题；3 .函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法；4 .掌握二次函数、分段函数、哥函数、指数函数、对数函数的图象性质；5 .以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；6 .能利用函数解决简单的实际问题.1.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：若f(x)

2、是偶函数，则f(x)=f(x).若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0) =0.奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.周期性：若y = f (x)对xC R,f (x+ a) = f (x a)或f (x+ 2a) =f (x)( a>0)恒成立，则y = f (x)是周期为2a的周期函数.若y=f(x)是偶函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数.若y=f(x)是奇函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数.1 一一一一, 若f(x+a) = - f(x)或f (x

3、+a) =f(X),则y=f(x)是周期为2| a|的周期函数.易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“U”连接，可用“和”或连接.2.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.(3)函数图象的对称性若函数y=f (x)满足f(a+x) =f (ax),即f (x) = f (2 a - x),则y=f (x)的图象关于直线 x= a对称；若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(ax),

4、即f (x) = f (2a x),则y= f (x)的图象关于点(a, 0)对称.3 .指数与对数式的七个运算公式(1) am an= amn；(2)( am)n = amn；10ga(MN=10g aM+ log aN；(4)1ogM .aN= log aM- log aN；lognaM= nlog aM(6) alogaN=N ;一 log bN、10g aN= 10g 阳(汪:a，b>0 且 a, bw 1, M>0, N>0).4 .指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y=ax(a>0, awi)与对数函数y=logax(a>0, awi)的图象和性质

5、，分 0<a<1, a>1两种情况，当 a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数.3.函数的零点问题 (1)函数F(x) =f (x) g(x)的零点就是方程f(x) = g(x)的根，即函数y=f(x)的图象与函数 y= g(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零点存在性定理；数形结合，利用两个函数图象的交点求解.5.应用函数模型解决实际问题的一般程序读题 建模 求解 反馈文字语言?数学语言?数学应用?检验作答热点一 函数的图象及应用ex e x【例1】(1)(2018 全国II卷

6、)函数f x2一 的图像大致为()x(2)(2015 全国I卷)设函数f (x) =ex(2x-1) -ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数 x0使得f(x0)<0,则实数a的取值范围是()A. , 12e'B.332ei, 4C.3 32e? 4D. 3, 12e'解析(1) . x0,x xe e2xx为奇函数，舍去A,0,，舍去D;ex e1 f x x2ex e x 2x4xxx 2 e, . x3x2,所以舍去C;因此选B.(2)设g(x) =ex(2x1) , h(x)=ax a,由题知存在唯一的整数xo,使得g(xo)vh(xo),因为 g'

7、 ( x) = ex(2 x+ 1),可知 g(x)在 一8,1 ,412上单倜递减，在2, +°0上单倜递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示,1 :y ,h (0) >g (0), 故h (1) Wg (1)a< 1,即3所以;3wa<1.- 2a w 2ee答案 (1) B (2)D探究提高 1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2. (1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所

8、能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练1】(1) (2018广东测评)设函数f xx 12e ,x210g3 x1一，则一2的值为()A.B. 1C.D. 3(2)已知函数f (x)-x2+ 2x, x< 0,若|f(x)| >ax,则实数a的取值范围是( ln (x+1) , x>0.A.(巴 0B. ( 8, 1C. -2, 1D. -2, 0解析(1) f f 2f 10g33 f 12 e0 2 ,选 C.(2)函数y=|f(x)|的图象如图.y= ax为过原点的一条直线，

9、当a>0时，与y=|f(x)|在y轴右侧总有交点,不合题意；当a=0时成立；当a<0时，找与y=| -x2 + 2x|( xw。)相切的情况，即 y' = 2x-2,切点为(0 , 0),此时 a=2X0 2=- 2,即有2w a<0,综上，a -2, 0.答案(1)C(2)D热点二函数的性质与应用【例 21(1) (2018 全国 II卷)已知f x是定义域为的奇函数,满足f 1 xf 50()A. 50B.C. 2D. 50(2)(2017天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x) =xf (x).若 a=g( log 25.1)0.8,b=g(2 ),c

10、=g(3),则 a, b,c的大小关系为()A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. b<c<a解析因为f x是定义域为的奇函数，且f 1所以4,因此5012因为0,f 50(2)法易知g(x) = xf(x)在R上为偶函数,奇函数f(x)在R上是增函数，且 f(0) =0.g(x)在(0 , +00)上是增函数.又 3>log 25.1>2>20.8,且a=g(log25.1) =g(log25.1), .1. g(3)> g(log25.1)>g(20.8),则 c>a>b.法二(特殊化)

11、取f (x) = x，则g(x) =x2为偶函数且在(0,+°°)上单调递增，又3>log 25.1>2 0.8,从而可得c>a>b.答案(1)C(2)C探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.3 - a (x>0),【训练2】(1)(2017 淄博诊断)已知奇函数f(x)=则f(2)的值等于g (x) (x<0),(2)(2017 西安质检)已知定义在 R上的函数f(x)满足f(x1)

12、 = f(x+1),且当xC 1, 1时，f(x) =，2x1 E，贝U()5555A.f( 3)<f(2)< f 2B . f 2 <f(3)<f (2) C,f (2)< f ( 3)<f 2D , f(2)< f 2<f ( - 3)解析 (1)因为函数f(x)为奇函数，所以f(0) =0,则30-a=0,a=1.，当 x>0 时，f(x) = 3x 1,则 f(2) =32-1=8,因此 f ( 2) = f (2) = 8.(2) f(x- 1) =f(x+ 1),则函数 f(x)的周期 T= 2. .2ex1当 xC 1, 1时

13、，f(x) = x1ex；pi =x exzpi，e.e x11 ex ex 1 则 f ( x)= - x e乂+1 =- x - 1 + ex=x- eq = f (x),则函数 f (x)为偶函数， 5.1. .一因此 f 2 = f 2 , f ( 3) = f ( 1) = f (1) , f (2) = f (0) .,一 222一，当0wxwi时，函数y=x与y= 1 最十彳均为增函数且都不小于0,所以f (x) =x 1 e，+1在区间0 , 1上是增函数.1 .5 . f (1)> f 2 >f (0),即 f ( 3)>f 2 >f (2).答案(1

14、)8 (2)D热点三基本初等函数的图象与性质【例3】（1）（2017 郑州一模）若函数y = a1x'（a>0,且aw1）的值域为y|y>1,则函数y= log a| x|的图象大致是（）（2）（2018 襄阳联考）设函数f x ln 2 x ln 2 x f x ,则f x是（）A.奇函数，且在 0,2上是增函数B.奇函数，且在0,2上是减函数C.偶函数，且在 0,2上是增函数D.偶函数，且在0,2上是减函数解析（1）由于y= a|x1的值域为y| y>1,，a>1,则y = logax在（0 , +8）上是增函数， 又函数y=log a|x|的图象关于y轴对

15、称.因此y=loga|x|的图象应大致为选项B.（2）因为f x ln 2 x ln 2 x f x ,所以函数f x是偶函数，2又f x ln 2 x ln 2 x ln 2 x 2 x ln 4 x 在0,2上是减函数，故选 D.答案（1）B（2） D探究提高1 .指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f（x）=ln（ x23x + 2）的单调区间，只考虑 t =x2-3x+2与函数y=ln t的单调性，忽视t>0的限制条件.【训练3】（1） （201

16、8德州一模）函数y x 2 ln x的图象大致为（）A.B.3x+5. x<i.(2)(2017 成都冲刺)设函数f(x)= 44 则满足f (f (t) =2的t的取值范围是2x, x>1,解析(1)令y x 2 1n冈0,解得x 2,1, 1,该函数有三个零点，故排除B;当 x 2时，x 2 0, |x| 2,1n|x|1n2 0,当x 2时，y x 2 1n|x| 0,排除C D.故选A.t <1,一八t >1 , i 1(2)若f (t) >1,显然成立，则有35 或t 解得t>个4t + 4>l 2 > 1,3若 f(t)<1 ,

17、由 f (f (t) =2f(t),可知 f(t)=- 1,所以 3t+4= 1,得 t = 3.1综上，实数t的取值范围是t t = 3或t>三. 3-1答案(1) A (2) t t=- 3或t>a3热点四函数的零点与方程【例4】(1) (2018屯溪一中)已知xox0是函数f (x)1n x的一个零点，若 a0, x0 ,x0,1 ,则()A.f(a) 0, f (b)B.f(a) 0, f(b)C.f(a) 0, f (b)D.f(a) 0, f(b)(2)(2017历城冲刺)已知函数f(x)",若函数y= f (x)+f(kx2)有两个零点,则实数k的取值范围是

18、(一 1A 4,+ OOB.14, 0C.1-24'解析(1)因为在0,1和1,上单调递增，由题知,f x00,函数在0,1上单调递增，若0,x0 ，x0,1 ,所以f(a)0, f (b)0 ,故选 C.：3在区间(一1, 1)上单增,e、r ,1 + x且是奇函数;(2)因为 f(x) = ln1x + x令 y = f(x) + f(k x2) =0,则 f (x) = f(kx2) =f (x2k),由函数 y= f (x) + f (kx2)有两个零点，等价于方程x2 xk=0在区间(一1, 1)上有两个根, >0,令 g(x) = x2x k,则满足 g (1) &g

19、t;0,解得4<k<0.g (1) >0,答案(1)C(2)B探究提高 1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.2.判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f(x) = 0,直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点 问题.一 .兀【训练4】(2017 石家庄倜研)已知函数f(x) = sin5*汽<0)与g(x) =logax(0<a<1, x>

20、;0)的图象有且只有 3对关于y轴对称的点，则实数 a的取值范围是()A. 1, 1B. (0, 1)C 0, 1D. 0, 19 559解析 由题意，设函数 f(x)图象上点P(xc, f(xc)( x0<0)关于y轴对称的点 P' ( x°, f (x。)必在函数g(x)，一 J ,I兀，、 1一，,，、兀,，的图象上，即 sin x0 = log a( - x0),将问题转化成 y1 = f (x) =sin _2x(x<0)x 与 y2= g1(x) =log a( x)( x<0)的图象有且仅有3个交点，作出函数图象如图所示.则g1(-5)>

21、f(-5)，即loga5>-1，解得Mg.所以实数a的取值范围是1- g1 (9) <f (9) ,log a9<- 1,9 59 5答案 A1 .1,（2018 全国出卷）函数yx4 x22,x x则满足f x2x的x的取值范围是（）A.B.0,1,0D.,03.(2018全国ID卷1og0.2 0.3 , b10g20.3,则()A.ab 0B. ab aC.0 ab4.(2017全国I卷)设x,y, z为正数,D. ab 02x=3y=5z,则（A.2x<3y<5zB. 5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<

22、5z5.(2018 全国I卷）已知函数x e , xln x, x若g x存在2个零点，则a的取值范围是（）A.1,0B.0,C.1,D.1,1 . （2018 甘肃调研）已知函数f xlog2 3 x ,x 2x 2 1,x 22，右 f 2 aB.1D. 22.（2018 彬州一模）已知函数y f x是奇函数，当x 。时，f x log 2 x 1 ,则f x 10的解集是（）A , 1 U 2,3B,1,0 U 2,3C, 2,3D., 3 U 0,13. (2018 贵州37校联考)已知函数f xex |lnx m x有两个零点，则 m的取值范围为()A e,B.1,C.1,D. 0,

23、e14. (2017 西安调研)若函数f x a2x4(a>0,且aw 1),满足f(1) =g，则f(x)的单调递减区间是() 9A. (8, 2B, 2, +00)C -2, +00) D. (8, 25. 已知函数 f(x)=x2 2ln x, h(x)=x2x + a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x) = f(x) h(x),若函数k(x)在1 , 3上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围.1. （2017 合肥二模）已知函数2,-x + 4x, x< 2, f(x)=有两个不同的零点，则实数log 2x -a, x>2,a的取值范围是（）A. -1

24、 , 0)B. (1 , 2C. (1 , +8)D. (2 , +00)2.（2018 内江一模）函数f x =ln x2x 1 .,.2 e 的图象大致是（）1,0 时，f x 2x ,且 f x 1 的3. (2018 贵州37校联考)已知定义在R上的偶函数f x满足：当x一 ,2019图像关于原点对称，则 f 丝9()2A. B.2C.2x x 14. (2018 银川一中)设函数f x, g x10g 2x,x 1D.2f x 2x a.若g x存在两个零点，则a的取值范围是.5. (2017 贵阳质检)已知函数 f(x) =1n( x+1)7x-(a>0).1 x当a= 1时

25、，求函数f(x)的单调区间；(2)若1<x<1时，均有f(x)wo成立，求正实数 a的取值范围.参考答案1 .【解题思路】 根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果【答案】函数过定点 0,2 ,排除A,B ,求得函数的导数f x4x3 2x 2x 2x2 1 ,22由f'x 0得2x 2x2 1 0,得x 或0 x ，此时函数单调递增，排除 C ,故选D.222 .【解题思路】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，2x 0从图中可以发现若有 f x 1 f 2x成立，一定会有，从而求得结果2x x 1【答案】将函数f x的图像画出来，

26、观察图像可知会有,解得x 0 ,所以满足f x 1 f 2x的2x x 1x的取值范围是 ,0 ,故选D.3 .【解题思路】11求出 一 log0.3°., 一 aba log 0.2 0.3 , b2，11 ，一e10g0.32,得到-的范围，进而可得结果.a b11og2 0.3 , . 一 a10g0.3 02, 1 10g0.3 2,b.11I c c 0.4. c11 门口 c1og0.3, 01 ,即 0a ba ba bab1,又a 0, b 0, ab 0 , IP ab ab 0,故选B.4 .【解题思路】 把指数式化为对数式求出x, y, z的值，再利用作差比较法

27、比较2x, 3y, 5z的大小.【答案】令t =2x= 3y= 5： = x, y, z为正数，t>1.1gt1gt1g t贝U x =log 21= ,向理，y = j7-,z = Z-21g21g31g 52x 3y=21g t 31g t 1g t (21g 3 -31g 2 ) 1g t (1g 9 1g 8 )1g 2 1g 31g 2 x 1g 31g 2 x 1g 3>0,，2x>3y.又 2x-5z =21g t 51g t 1g t (21g 5 -51g 2 ) 1g t (1g 25 -1g 32 )1g 2 1g 51g 2 X 1g 51g 2x 1

28、g 5<0,，2x<5z,3y<2x<5z.故选 D.5.【解题思路】 首先根据g x存在2个零点，得到方程f xa 。有两个解，将其转化为f x x a有两个解，即直线 y x a与曲线yx有两个交点,根据题中所给的函数解析式，画出函数f x的图像（将ex x0去掉），再画出直线y并将其上下移动，从图中可以发现，当a 1时,满足y x a与曲线y f x有两个交点，从而求得结果【答案】画出函数f x的图像，y ex在y轴右侧的去掉,再画出直线y之后上下移动,可以发现当直线过点 A时，直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点,

29、即方程f xx a有两个解，也就是函数 g x有两个零点,此时满足a1 ,即a 1 ,故选1.【解题思路】分类讨论：当2 a 2,即a 0时，22 a 2 1 1 ,从而fa f 12；当2 a 2时，得a -,不成立，由此能求出结果. 2【答案】当2 a 2,即a 0时，22 a 2 1 1,解得a 1,贝U f a f 1 1og2 312 ,1.当2 a 2,即a 。时，log2 3 2 a 1 ,解得a 1 ,舍去. 2f a 2 .故选C.2 .【解题思路】 由题意，根题设条件，分别求得，当 x 0和x 0时，f x 0的解集由此可求解不等式 f x 10的解集，得到答案.【答案】由

30、题意，当x 0时，令f x 0 ,即log 2 x 10 ,解得1x2,又由函数y f x是奇函数，函数f x的图象关于原点对称，则当x 0时，令f x 0 ,可得x 2 ,又由不等式f x 10,则满足1 x 1 2或x 12 ,解得2 x 3或x 1 ,即不等式f x 10的解集为 ，1U 2,3 ,故选 A.0,3 .【解题思路】根据零点定义，令f x 0,可得-xx- m ln x ,构造函数g x -xx m ,求导并令g' x exex解得x 1 ,且根据导数的符号判断单调性，进而可得在x 1处取得最大值.1所以可得g x max g 1 - m ,进而根据极限值情况可得m

31、的取值范围.e【答案】令f x 0,可化为A m inx , e人x1 x .一令 g x m , g x ，令 g' x 0 ,得 x 1 , ee当 x ,1 时，g'x 0;当 x 1, 时，g'x 0 ,11所以g x m* g 11 m , g x先增后减，即从负无穷增大到1 m ,然后递减到m ,m maxee而函数y |lnx是0,1时由正无穷递减到 0,然后又逐渐增大，11一所以一 m 0,即m -，所以选B. ee4 .【解题思路】 由f（1） =1判断a的值，进一步判断其单调性. 9由 f (1)=",得 a2=1,解得 a=1 或 a=

32、1(舍去)，即 f(x)= 99331 |2x-4|3由于y=|2x-4|在(OO2上递减，在2, +8）上递增，所以f （x）在（8, 2上递增，在2, +8）上递减.故选 B.5 .【解题思路】（1）定义域一求导一f' （x）=0 一单调区间一极值点；（2）禾I用极值点和端点值结合函数的单调 性约束函数的图像，使其满足题意.2【答案】(1)函数f (x)的7E义域为(0 , + 8)令f ( x) = 2x -= 0,得x = 1.x当 x e(0 , 1)时，f'( x) v 0,当 x e(i , + 8)时，f'( x) > 0,所以函数f(x)在x =

33、 1处取得极小值为1,无极大值.(2) k(x) =f (x) h(x) =x 2ln xa(x>0),所以 k' ( x) = 1 2, x令k' (x)>0,得x>2,所以k(x)在1 , 2)上单调递减，在(2, 3上单调递增，所以当x=2时，函数k(x)取得最小值k(2) =22ln 2 -a.因为函数k(x) = f (x) h(x)在区间1 , 3上恰有两个不同零点，k (1) >0,1 -a>0,即有k(x)在1 , 2)和(2, 3内各有一个零点，所以k(2) <0,即有22ln 2 -a<0,k (3) >0,32ln 3 -a>0,解得22ln 2< a<3-2ln 3 .所以实数 a的取值