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文档简介

1、2020-2021备战中考数学易错题精选-圆的综合练习题含答案解析一、圆的综合1.在平面直角坐标中,边长为 2的正方形OABC的两顶点 A、C分别在y轴、x轴的正 半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕。点顺时针旋转,当 A点一次落在直线 y X上 时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y x于点m , BC边交x轴于点N (如图).C(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积;(2)旋转过程中,当 MN和AC平行时,求正方形 OABC旋转的度数;(3)设 MBN的周长为p ,在旋转正方形 OABC的过程中,P值是否有变化?请证明 你的结论.【答案】(1) k2 (2) 22.5。(3)周长不会变

2、化,证明见解析【解析】试题分析:(1)根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积;(2)解决本题需利用全等,根据正方形一个内角的度数求出/AOM的度数;(3)利用全等把4MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析:(1) ; A点第一次落在直线 y=x上时停止旋转,直线 y=x与y轴的夹角是 45°,,OA 旋转了 45 °. OA在旋转过程中所扫过的面积为4522360(2) MN /AC,/ BMN=Z BAC=45 ,° / BNM=Z BCA=45 :Z BMN=Z BNM,,BM=BN.又,. BA=BC, .1. AM=CN.又

3、. OA=OC, /OAM=/OCN, . OAM OCN.Z AOM=ZCON=- (/AOC-/ MON) =- (90 -45°) =22.5 .22,旋转过程中,当 MN和AC平行时,正方形 OABC旋转的度数为45 22.5 =22.5 .(3)在旋转正方形 OABC的过程中,p值无变化.证明:延长BA交y轴于E点,贝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 -Z AOM=45 -/ AOM ,/ AOE=Z CON.又 OA=OC, / OAE=180 -90 =90° = / OCN.OAEAOCNI.,OE=ON, AE=CN又 /

4、MOE=Z MON=45 , OM=OM ,.OMEAOMN. . MN=ME=AM+AE.MN=AM+CN ,.尸MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.,在旋转正方形 OABC的过程中,p值无变化.考点:旋转的性质.2.如图,AB为。的直径,点 E在。上,过点E的切线与 AB的延长线交于点 D,连接BE,过点。作BE的平行线,交。于点F,交切线于点 C,连接AC(1)求证:AC是。的切线;(2)连接EF,当/D= 。时,四边形FOBE是菱形.【答案】(1)见解析;(2) 30.【解析】 【分析】(1)由等角的转换证明出OCA二OCE ,根据圆的位置关系证得 AC是。的切线

5、.(2)根据四边形 FOBE是菱形,得到 OF=OB=BF=EF得证 OBE为等边三角形,而得出 BOE 60 ,根据三角形内角和即可求出答案 .【详解】(1)证明:.CD与。相切于点E,OE CD , CEO 90 , 又.OC PBE ,COE OEB, /OBE=/ COA .OE=OB,OEB OBE , COE COA,y., oc=oc oa=oe OCA0 OCE(SAS , CAO CEO 90 ,又 AB为。O的直径,.AC为。O的切线;(2)解:二四边形FOBE是菱形,OF=OB=BF=EF,OE=OB=BEOBE为等边三角形,BOE 60 ,而OE CD,D 30 .故答

6、案为30.【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题,熟练掌握圆的性质是本题的解题关Ir3.如图,已知 4ABC中,AB=AC, ZA=30°, AB=16,以AB为直径的。与BC边相交于点D,与AC交于点F,过点D作DEL AC于点E.(1)求证:DE是。的切线;(2)求CE的长;(3)过点B作BG/ DF,交。于点G,求弧BG的长.【答案】(1)证明见解析(2) 8-4 J3 (3) 4兀【解析】【分析】(1)如图1,连接AD, OD,由AB为。O的直径,可得 AD± BC,再卞据AB=AC,可得 BD=DC,再卞K据 OA=OB,则可得 OD/ AC,继而

7、可得 DEX OD,问题得证;(2)如图2,连接BF,根据已知可推导得出 DE=- BF CE=EF根据/A=30°, AB=16,可2得BF=8,继而得DE=4,由DE为。的切线,可得 ED2=EF?AE即42=CE? (16-CE),继 而可求得CE长;(3)如图3,连接OG,连接AD,由BG/ DF,可得/ CBG=Z CDF=30 ,再根据 AB=AC可 推导得出Z OBG=45 ,由OG=OB,可得Z OGB=45 ,从而可得/ BOG=90 ,根据弧长公式即 可求得?G的长度.【详解】(1)如图1,连接AD, OD;.AB为。的直径,/ ADB=90 ;即 ADXBC,

8、.AB=AC,BD=DC, .OA=OB, .OD/AC, .DEXAC, DEXOD,/ ODE=/ DEA=90 : .DE为。O的切线;(2)如图2,连接BF,.AB为。的直径,/ AFB=90 ,° .BF/ DE, .CD=BD,1 _ _. DE=- BF, CE=EF2 / A=30 ,° AB=16,.BF=8,.DE=4,. DE为。O的切线,ED2=EF?AE.-42=CE? (16-CE),.CE=8-4 收 CE=8+4/3 (不合题意舍去);(3)如图3,连接OG,连接AD, 1. BG/ DF,/ CBG=Z CDF=30,°.AB=A

9、C,/ ABC=Z C=75 ;/ OBG=75 - 30 =45 ; ,.OG=OB,/ OGB=Z OBG=45 ;/ BOG=90 ; BG的长度=901808一=4 兀.【点睛】本题考查了圆的综合题,涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等,正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键4.如图,四边形ABCD是。的内接四边形,AB=CD.(1)如图(1),求证:AD/ BC;(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG/ AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF;在(2)的条件下,若DG平分/ ADC,GE=5/3 ,tan / ADF=43,求。O

10、的半径。0(3*网【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3) JT29【解析】试题分析:(1)连接AC.由弦相等得到弧相等,进一步得到圆周角相等,即可得出结论.(2)延长AD到N,使DN=AD,连接NC.得到四边形 ABED是平行四边形,从而有 AD=BE, DN=BE.由圆内接四边形的性质得到Z NDC=Z B,即可证明 MBE ACND,得到AE=CN,再由三角形中位线的性质即可得出结论.(3)连接BG,过点A作AHLBC,由(2)知/AEB=/ANC,四边形ABED是平行四边 形,得到AB=DE.再证明ACDE是等边三角形,ABGE是等边三角形,通过解三角形 ABE, 得到AB,

11、 HB, AH, HE的长,由EC=DE=AB,得到HC的长.在 RtAHC中,由勾股定理 求出AC的长.作直径AP,连接CP,通过解4APC即可得出结论.试题解析:解:(1)连接 AC. AB=CD, 弧 AB视 CD, z. ZDAC=ZACB, .AD/ BC.(2)延长 AD至ij N,使 DN=AD,连接 NC. .AD/ BC, DG/ AB, 二.四边形 ABED是平行四边形,AD=BE,,DN=BE. ABCD是圆内接四边形,./NDO/B. / AB=CD,1.MBECND,AE=CN. / DN=AD, AF=FQDF=-CN, ,AE=2DF.H (7)(3)连接BG,过

12、点A作AHBC,由(2)知/AEB=/ANC,四边形ABED是平行四边 形,AB=DE. DF/CN, ,/ADF=/ ANC, . / AEB=/ADF, ,tan/AEB= tan Z ADF=4>/3 , DG 平分/ADC, . / ADG=/CDG. AD/ BC,/ ADG=/CED,/NDC=/DCE . / ABO/NDC, . / ABC=/DCE. . AB/DG, . . / ABC=/DEC, / DEC=Z ECD=Z EDC,工DE是等边三角形, . AB=DE=CE -/ GBC=Z GDC=60 ;/G=/DCB=60; . ABGE 是等边三角形,BE=

13、 GE=5,3 . / tan Z AEB= tan / ADF= 4 J3 ,设 HE=x,贝U AH=473x .ZABE=Z DEC=60 °, ,/BAH=30 °, . . BH=4x, AB=8x,,4x+x=5 石,解得:x=T3 .AB=8V3, HB=4T3, AH=12, EC=DE=AB=8>/3, HC=HE+EC= 73 83 = 9J3.在 RtA AHC 中,ac= Jah2 hc2 J122 (9峋2 =3而.AC作直径A巳连接CP,/ ACP=90°,/ P=ZABC=60 ,sin/ P=,APm ACAP - sin60

14、 oo的半径是J129 .5.已知:如图, ABC中,AC=3, /ABC=30°.(1)尺规作图:求作 ABC的外接圆,保留作图痕迹,不写作法;试题分析:(1)按如下步骤作图: 作线段AB的垂直平分线; 作线段BC的垂直平分 线;以两条垂直平分线的交点 。为圆心,OA长为半圆画圆,则圆 。即为所求作的圆. 如图所示(2)要求外接圆的面积,需求出圆的半径,已知AC= 3,如图弦AC所对的圆周角是/ABC=30。,所以圆心角/AOC=60。,所以?AOC是等边三角形,所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积. . AC=3, /ABC=30,°Z AOC=60 ; .AOC是

15、等边三角形,圆的半径是3, 圆的面积是S=nt2=9兀6.如图所示,以 RtABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点 D, E为BC边上的中 点,连接DE.(1)求证:DE是。的切线;(2) 连接OE, AE,当/CAB为何值时,四边形 AOED是平行四边形?并在此条件下求 sin/CAE 的值.【答案】 见解析;(2) _10.10【解析】分析:(1)要证 DE是。的切线,必须证 ED± OD,即/EDB+/ ODB=90(2)要证AOED是平行四边形,则 DE/ AB, D为AC中点,又BD± AC,所以 ABC为等 腰直角三角形,所以 /CAB=45,再由正弦的概

16、念求解即可.详解:(1)证明:连接O、D与B、D两点,.BDC是RtA ,且E为BC中点,/ EDB=Z EBD. ( 2 分)又 OD=OB且/ EBD+Z DBO=90 , / EDB+Z ODB=90 : .DE是。O的切线.(2)解: / EDO=Z B=90°,若要四边形AOED是平行四边形,则 DE/ AB, D为AC中点,又 ; BD± AC, .ABC为等腰直角三角形./ CAB=45 :过E作EHI±AC于H,设 BC=2k,则 EH=(k, AE=/5k,EH 10 sin / CAE .AE 10点睛:本题考查的是切线的判定,要证某线是圆的切

17、线,已知此线过圆上某点,连接圆心 和这点(即为半径),再证垂直即可.7.如图,ABC 中,ZA=45°, D 是 AC边上一点,。经过 D、A、B 三点,OD/ BC. (1)求证:BC与。相切;(2)若 OD=15, AE=7,求 BE的长.【答案】(1)见解析;(2)18.【解析】分析:(1)连接OB,求出/ DOB度数,根据平行线性质求出/CBO=90,根据切线判定得出即可;(2)延长BO交。于点F,连接AF,求出/ABF,解直角三角形求出 BE.详解:(1)证明:连接OB.-.1 / A=45 ,°/ DOB=90 :1. OD/ BC, / DOB+/ CBO=1

18、80 :/ CBO=90 : 直线BC是。O的切线.(2)解:连接BD.则ODB是等腰直角三角形,/ODB=45; BD=/1OD=15/l, . /ODB=/ A, /DBE=/ DBA,.-.DBEAABD,BD2=BE?BA(15'g 2= (7+BE) BE, .BE=18 或-25 (舍弃), .BE=18.点睛:本题考查了切线的判定,圆周角定理,解直角三角形等知识点,能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键,题目综合性比较强,难度偏大.8.如图, ABC内接于OO,弦ADLBC,垂足为H,连接 OB.(1)如图 1,求证:/DAC=/ ABO;(2)如图2,在弧AC上取点

19、F使/CAF=/ BAD,在弧AB取点G,使AG/ OB,若/ BAC=6C0, 求证:GF=GD;(3)如图3,在(2)的条件下,AF、BC的延长线相交于点 E若AF: FE=1:9,求sin/ADG的值。,一一一一一11【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)【14【解析】试题分析:(1)延长BO交。于点Q,连接AQ.由圆周角定理可得:/AQ&/ACB,再由等角的余角相等即可得出结论;(2)证明4DFG是等边三角形即可;(3)延长GA,彳FQ±AG,垂足为Q,作ON,AD,垂足为N,作OM,BC,垂足为 M, 延长AO交。于点R,连接 GR/DP,AG, DK,AE

20、,垂足为 P、K.设AF=k,则FE=9k, AE=10k,在 4AHE 中,AH=5k.设 NH=x,贝(J AN=5k-x, AD=10k-2x.在 AQF中, AF=k, AQ=k , FQ=K3k.由(2)知:4GDF是等边三角形,得到 GD=GF=DF,进而得到 22AG=9k-2x.OM=NH=x, BC=2V3x, GF=BC=2V3x,在 AGQF中,GQ=AG+AQ=19 k-2x, QF=k, 227,-11,_ _ _GF=2V3x,由勾股定理解出 x -k ,得至ij AG=9k-2x=k, AR=2OB=4OM=4x=7k.在42 GAR中,由sin/ADG=sin/

21、R即可得出结论.试题解析:解:(1)证明:如图1,延长BO交。O于点Q,连接AQ. BQ 是。直径,./QAB=900. AD± BC,Z AHC=900.,弧 AB=M AB, . Z AQB=ZACB. / AQB+Z ABO=900, / ACb/ CAD=900/ ABO=Z CAD(2)证明:如图2,连接DF. AG/OB, . . / ABO=/BAG. / Z ABO=ZCAD, . / CAD=/BAG./ BAO600,/ BAD+Z CAD=Z BAD+Z BAG=600,即Z GAD=Z BAC=60 .° / BAD=/CAF. . . / CAF+

22、/CAD=60°,Z GAD=Z DAF=600,/ DGF=Z DAF=60 :弧 GD=MGD,ZGAD=ZGFD=600, . . / GFD=/DGF=600, . . DFG是等边三角形,.GD=GF.(3)如图3,延长GA,彳FQ, AG,垂足为 Q,彳ON± AD,垂足为N,作OMLBC,垂足为 M,延长 AO交。O于点R,连接GR/DPXAG, DK, AE,垂足为 P、K. AF: FE=1: 9, 设 AF=k,贝U FE=9k, AE=10k.在 AHE中,Z E=300, AH=5k.设 NH=x,贝U AN=5k-x. / ONXAD, . AD=

23、2AN=10k-2x又在 AQF 中, / GAF=1200, . / QAF=600, AF=k,AQ=- , FQ=j/lk22 ,由(2)知:4GDF是等边三角形,.-.GD=GF=DF,Z GAD=Z DAF=600,,DP=DK,AGPDA FKD, AAPDAAKDFK=GP, AP=AK, ZADK=300,,AD=2AK=AP+AK=AF+AG .AG=10k-2x-k=9k-2x.1c 作 OMBC, ON LAD,OM=NH=x. / Z BOD=- Z BOC=Z BAC=6002 .BC=2BM=2石x. Z BOC=ZGOF, . GF=BC=2V3x在AGQF中,G

24、Q=AG+AQ=11k-2x, QF=3k, GF=2V3x GQ2FQ2GF22xx2会舍去11 .AG=9k-2x=k , AR=2OB=4OM=4x=7k, 2在 AGAR 中,/RGA=900,AG 11 . sin / ADG=Sin / R= = 一 .AR 14点睛:本题是圆的综合题.熟练掌握圆的基本性质和常用的辅助线做法是解答本题的关 键.9.如图,已知 BC是。O的弦,A是。外一点,4ABC为正三角形,D为BC的中点,M 为。上一点,并且 /BMC=60 .(1)求证:AB是。的切线;(2)若E, F分别是边AB, AC上的两个动点,且 ZEDF=120,。的半径为2,试问

25、BE+CFW值是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)证明见试题解析;(2) BE+CF的值是定值,为等边 ABC边长的一半.【解析】试题分析:(1)连结OB、OD,如图1,由于D为BC的中点,由垂径定理的推理得ODXBC, /BOD=/ COD,即可得到 / BOD=/ M=60° ,贝U / OBD=30°,所以 / ABO=90°,于 是得到AB是。的切线;(2)作DMXABT M, DNXACT N,连结AD,如图2,由4ABC为正三角形,D为BC 的中点,得到 AD平分/BAC, /BAC=60 ,利用角平分线性质得 DM=DN

26、,得ZMDN=120 :由/EDF=120得到 /MDE=/NDF,于是有 DME DNF,得到 ME=NF,得至I BE+CF=BM+CN 由 BM=1 BD, CN= OC,得至I BE+CF=1 BC 即可判断 BE+CF的值是定值,为等边 ABC边长的一半.试题解析:(1)连结 OB、OD,如图1,D为BC的中点,.-.OD± BC, / BOD=/ COD,,/ODB=90;/ BMC=1/BOC, . / BOD=/M=60 °, . . / OBD=30 ; . ABC为正三2角形,/ABC=60, .ABO=60+30 =90°,ABXOB, .

27、AB 是。的切线;(2) BE+CF的值是为定值.作口“,人8于”,DNLAC于N,连结 AD,如图2, 丁 4ABC为正三角形,D为BC的中 点,.AD 平分/BAC, /BAC=60, . DM=DN , / MDN=120 , ./EDF=120, . / MDE=/NDF,在 ADME 和 4DNF 中,/ Z DME=Z DNF. DM=DN, /MDE=/NDF, .DMEADNF, . ME=NF, . . BE+CF=BM- EM+CN+NF=BM+CN,在 RDMB 中,/DBM=60; .BM=1BD,同理可得CN=OC,BE+CF=1 OB+- OC=- BC,. . B

28、E+CF22222的值是定值,为等边 ABC边长的一半.俊1圉2考点:1.切线的判定;2.等边三角形的性质;3.定值问题;4.探究型;5.综合题;6.压轴题.10.如图1,等边4ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心,BA长为半径作 AC、 Cb、Ba,我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形,显然莱洛三角形仍然是轴对 称图形,设点i为对称轴的交点.(1)如图2,将这个图形的顶点 A与线段MN作无滑动的滚动,当它滚动一周后点A与端点N重合,则线段 MN的长为 ;(2)如图3,将这个图形的顶点 A与等边4DEF的顶点D重合,且AB± DE, DE=2tt,将它 沿等边4DEF的边

29、作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时,求这个图形在运动过程中 所扫过的区域的面积;(3)如图4,将这个图形的顶点 B与。的圆心O重合,。的半径为3,将它沿。的 圆周作无滑动的滚动,当它第 n次回到起始位置时,点I所经过的路径长为 (请用含 n的式子表示)【答案】(1) 3q(2) 27兀;(3) 2,3n兀【解析】试题分析:(1)先求出AC的弧长,继而得出莱洛三角形的周长为3兀,即可得出结论;(2)先判断出莱洛三角形等边 DEF绕一周扫过的面积如图所示,利用矩形的面积和扇形 的面积之和即可;(3)先判断出莱洛三角形的一个顶点和。重合旋转一周点I的路径,再用圆的周长公式即可得出.试题解析:解:

30、(1)二.等边 4ABC的边长为 3,Z ABC=Z ACB= / BAC=60°,603AC BC AB,"Ac 4*=村”.线段MN的长为lAc lBc lAB =3式故答案为3兀;(2)如图1.等边4DEF的边长为2兀,等边4ABC的边长为3, ,S矩形aghf=2兀X 3=6,兀2由题意知,AB± DE, AG±AF,/ BAG=120°,,S扇形 BAG=1203-=3 5图形在运动过360程中所扫过的区域的面积为3 (S矩形aghf+S扇形bag) =3 (6兀+3/=27兀;(3)如图2,连接BI并延长交 AC于D. I是4ABC

31、的重心也是内心,./DAI=30°,AD=-AC=- , OI=AI= AD2=J3,,当它第1次回到起始位置时,点I22 cos DAI cos30所经过的路径是以 。为圆心,OI为半径的圆周,.当它第n次回到起始位置时,点I所经过的路径长为n?2Tt?J3=2®nTt.故答案为2出门兀.点睛:本题是圆的综合题,主要考查了弧长公式,莱洛三角形的周长,矩形,扇形面积公式,解(1)的关键是求出 AC的弧长,解(2)的关键是判断出莱洛三角形绕等边4DEF扫过的图形,解(3)的关键是得出点I第一次回到起点时,I的路径,是一道中等难度的 题目.11.如图,AC是。的直径,OB是。的

32、半径,PA切。于点A, PB与AC的延长线交 于点 M , / COB= / APB.(1)求证:PB是。的切线;(2)当MB=4, MC=2时,求。的半径.【答案】(1)证明见解析;(2) 3.【解析】【分析】PB(1)根据题意/M + /P= 90°,而/COB=/APB,所以有/M + /COB= 90°,即可证明 是。的切线.(2)设圆的半径为r,则OM=r+2,BM=4,OB=r,再根据勾股定理列方程便可求出r.【详解】证明:(1) .AC是。的直径,PA切。O于点A, PAX OA在 RtA MAP 中,/ M + / P= 90 ;而 ZCOB= / APB,

33、/ M+/ COB= 90 °,/ OBM=90 °,即 OB± BP,.PB是。的切线;(2)设OO的半径为r,OM r 2 ,OB r ,BM 4Q OBM为直角三角形.OM2 OB2 BM2,即(r 2)2 r2+42解得:r=3,OO的半径为3.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径,另一种是证明半彳5垂直.12.如图,AB为eO的直径,C、D为eO上异于A、B的两点,连接CD ,过点 作CE DB ,交CD的延长线于点E ,垂足为点E ,直径AB与CE的延长线相交于点(1)连接 AC、AD ,求证: DAC ACF

34、180(2)若 ABD 2 BDC.求证:CF是e O的切线.3当BD 6 , tan F 时,求CF的长.420【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;CF .3【解析】【分析】(1)根据圆周角定理证得 /ADB=90,即AD± BD,由CH DB证彳导AD/CF,根据平行线 的性质即可证得结论;(2) 连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出/3=2/ 1,由已知/4=2/1,得到/4=/3,则OC/ DB,再由CH DB,得到OC, CF,根据切线的判定即可 证明CF为。O的切线; 由 CF/ AD,证出 ZBAD=ZF,得出 tan Z BAD=tanZ F=-BD-

35、=-,求出 AD=4 BD=8,利 AD 43oc 3 用勾股定理求得 AB=10,得出OB=OC= 5,再由tanF=OC=,即可求出CF.CF 4【详解】解:(1) AB是e O的直径,且D为e O上一点,ADB 90 ,QCE DB, DEC 90 ,CF /AD ,DAC ACF 180 .(2)如图,连接OC.Q OA OC ,12.Q 312,3 2 1.Q 4 2 BDC , BDC 1,4 2 1,43,OC /DB.QCE DB, OC CF .又QOC为e O的半径,CF为e O的切线.D由(1)知 CF /AD ,BAD F , 3 tan BAD tanF -, 4BD

36、 3.AD 4Q BD 64AD - BD 8 , 3AB J6 82 10,OB 0c 5.QOC CF ,OCF 90 ,tanFOC CF解得CF20本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(2)中,需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果.13.结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答.题目:如图,RABC的内切圆与斜边 AB相切于点D, AD=3, BD=4,求 ABC的面积.解:设4ABC的内切圆分别与 AG BC相切于点E、F, CE的长为x.根据切线长定理,得 AE=AD=3, BF=BD=4, CF=CE=x根据

37、勾股定理,得(x+3),(x+4) 2= (3+4) 2.整理,得 x2+7x=12.所以 2abc=AC?BC21 , c、 ,=(x+3) (x+4)2(x2+7x+12)1,=X (12+12)2=12.小颖发现12恰好就是3X4即4ABC的面积等于 AD与BD的积.这仅仅是巧合吗? 请你帮她完成下面的探索.已知:4ABC的内切圆与 AB相切于点 D, AD=m, BD=n.可以一般化吗?(1)若/C=90,求证: ABC的面积等于 mn.倒过来思考呢?(2)若 AC?BC=2mn,求证 / C=90 .改变一下条件(3)若/C=60,用m、n表示4ABC的面积.42【答案】(1)证明见

38、解析;(2)证明见解析;(3) SaABC=J3mn;【解析】【分析】(1)设4ABC的内切圆分别与 AC BC相切于点E、F, CE的长为x,仿照例题利用勾股定 理得(x+m) 2+(x+ n)2=(m+n)2,再根据Saabc= :AC>BG即可证明&abc=mn.(2)由 AC?BC= 2mn ,得 x2+ (m+n) x=mn,因此 AC2+ BC2= ( x+ m) 2+ (x+n) 2= AB2,利用勾股定理逆定理可得 ZC= 90°. (3)过点A作AGBC于点G,在RtAACG中, 根据条件求出 AG、CG,又本!据BG=BC CG得到BG .在RtA

39、ABG中,根据勾股定理可得 x2 + (m + n) x=3mn,由此 Sabc= tBC?AG=馅mn.【详解】 设 ABC的内切圆分别与 AC BC相切于点E、F, CE的长为x, 根据切线长定理,得: AE= AD= m、BF= BD= n、CF= CE= x,(1)如图1,在RtABC中,根据勾股定理,得:( 整理,得:x2+ (m + n) x=mn,x+ m) 2+ ( x+ n) 2= (m+n) 2,(x+ n) = 2mn ,G,BG= BC- CG= (x+ n) - ; (x+ m),),CG= AC?cos60°=, (x+m),所以 S abc= AC?BC

40、 =-(x+ m) ( x+ n)工=-x2+ (m + n) x+ mn2=-(mn + mn)=mn;(2)由 AC?BC= 2mn ,得:(x+ m)整理,得:x2+ (m + n) x=mn, . AC2+ BC2= (x+m) 2+ ( x+ n) 2= 2x2+ (m+n) x + m2+n2= 2mn + m2+ n22=(m + n)= AB2,根据勾股定理逆定理可得 / C= 90。;(3)如图2,过点A作AG, BC于点(m + n)在RtABG中,根据勾股定理可得:(x+ m) 2+ (x+ n)(x+m) 2整理,得:x2+ (m + n) x=3mn,Sa abc= BC?AG=4X (x+ n) ?近 (x+ m)22=眄b2+ (m+n) x+mn4,3 -,-、=x (3mn+ mn)4=73mn .【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形,注意掌握方程思想与 数形结合思想的应用.14.已知:如图,以等边三角形ABC一边AB为直径的OO与边AC、BC分别交于点 D、E,过点D作DF,BC,垂足为F. (1)求证:DF为。的切线;(2)若等边三角形 ABC【答案】(1)见解析(2)曼32【解析】试题分析:(1)连接DO,要证明DF为O O的切线只

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