(word完整版)高中文科数学导数练习题

1、专题8:导数(文)经典例题剖析考点一：求导公式。一 .1 .1 3_.一一. ，一一例1. f (x)是f(x) x3 2x 1的导函数，则f( 1)的值是。3解析：f' x x2 2,所以 f' 11 2 3答案：3考点二：导数的几何意义。1一例2.已知函数y f(x)的图象在点M (1, f(1)处的切线万程是y -x 2,则2f(1) f (1) 。1 .1 .解析：因为k ,所以f' 1 一,由切线过点 M (1, f(1),可得点M的纵坐标为 225 、，5一,所以f 1 一,所以f 1 f' 136 2答案：3例3.曲线y x3 2x2 4x 2在点

2、(1, 3)处的切线方程是 。解析：y' 3x2 4x 4,点(1, 3)处切线的斜率为k 3 4 45,所以设切线方程为y 5x b,将点(1, 3)带入切线方程可得 b 2,所以，过曲线上点(1, 3)处的切线方程为：5x y 2 0答案：5x y 2 0点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。7 2例4.已知曲线 C： y x 3x 2x ,直线l : y kx ,且直线l与曲线 C相切于点x0, y0 x00 ,求直线l的方程及切点坐标。解析： 直线过原点，则k 区x0 0。由点x0, y0在曲线C上，则V。3 xo3x。22x。，yoXox0

3、2 3x0 2。又 y' 3x2 6x 2,xo, Vo处曲线 c 的切线斜率为k2f' xo3xo6xo 2xo2 3xo(舍)，此时，2 3八23xo6xo2,整理得：2xo3xoo,解得：xo一或 xoo23 1 1，一一yo-, k一。所以，直线l的万程为y-x ,切点坐标是844答案：直线l的方程为y133x ,切点坐标是 一,一428点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在 切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R

4、上是减函数，求 a的取值范围。解析：函数f x的导数为f' x 3ax2 6x 1。对于x R都有f' x 。时，f x2a o为减函数。由3ax2 6x 1 o x R可得，解得a 3。所以，36 12a o当a 3时，函数f x对x R为减函数。318(1)当 a 3时，f x3x3 3x2 x 1 3 x - o39由函数y x3在R上的单调性，可知当 a 3是，函数f x对x R为减函数。(2) 当a 3时，函数f x在R上存在增区间。所以，当a 3时，函数f x在R上不是单调递减函数。综合(1) (2) (3)可知a 3。答案：a点评：本题考查导数在函数单调性中的应用

5、。对于高次函数单调性问题， 要有求导意识。考点五：函数的极值。32例6.设函数f (x) 2x 3ax 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。(1)求a、b的值；(2)若对于任意的x 0,3,都有f(x) c2f 132a40 , a 。 f' x3xx 4 3x4 x 1 成立，求c的取值范围。解析：(1) f (x) 6x2 6ax 3b ,因为函数 f (x)在x 1及x 2取得极值，则有66a 3b 0f (1) 0, f (2) 0.即，解得 a 3, b 4。24 12a 3b 0(2)由(I)可知，f(x) 2x3 9x2 12x 8c,f(x) 6x2 18x 12

6、6(x 1)(x 2)。 当 x (0 1)时，f (x) 0;当 x (1,2)时，f (x) 0;当 x (2,3)时，f (x) 0。所以， 当 x 1 时，f(x)取得极大值 f(1) 5 8c,又 f(0) 8c, f (3) 9 8c。则当 x 0,3 时，f(x)的最大值为f (3) 9 8c。因为对于任意的 x0,3 ,有f(x) c2恒成立，所以 9 8c c2,解得 c 1或c 9,因此c的取值范围为(，1)U(9,)。答案：(1) a 3, b 4; (2) (, 1)U(9,)。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f x的极值步骤：求导数f' x ;求

7、f' x 0的根；将f' x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由 f' x在各区间上取值的正负可确定并求出函数f x的极值。考点六：函数的最值。例7.已知a为实数，f x x2 4 x a。求导数f'x； (2)若f' 10,求fx在区间2,2上的最大值和最小值。322_解析：(1) f xxax 4x 4a , f' x3x2ax4。4令f' x 0 ,即3x 4 x 10 ,解得x 1或x ,则f x和f' x在区间 2,23上随x的变化情况如下表:x22, 114392f' x十0一0十f x0增函数极大值减函数极小

8、值增函数09450 一，、一 450 一f 1 f -。所以，fx在区间 2,2上的最大值为 f，最2327327，八9小值为f 1902答案：(1) f' x 3x22ax 4； (2)最大彳I为f 450,最小彳1为f 1-03272点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f x在区间a,b上的最值，要先求出函数f x在区间a,b上的极值，然后与f a和f b进行比较，从而得出函数的最大最 小值。考点七：导数的综合性问题。例8.设函数f(x) ax3 bx c (a 0)为奇函数，其图象在点(1, f (1)处的切线与直线x 6y 7 0垂直，导函数f'(x)的最小值为

9、 12。(1)求a, b, c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值。解析： (1) ; f(x)为奇函数，f ( x)f (x),即ax3 bx c ax3bxcc 0, f'(x) 3ax2b 的最小值为12,，b12,又直线x 6y701 一 一 一的斜率为，因此，f'(1) 3ab 6, . a 2, b 12, c 0.6 f(x) 2x3 12x。 f '(x) 6x2 12 6(x J2)( x J2),列表如下：x(,亚石(V2,正)正昕，)f'(x)00f(x)增函数极大减函数极小增函数所以函数f(

10、x)的单调增区间是(,用和(点,), f( 1) 10 , f(J2)8豆,f(3) 18, f(x)在1,3上的最大值是f(3) 18,最小值是f(扬 8近。答案：(1) a 2, b 12, c 0; (2)最大值是 f(3) 18,最小彳1 是 f (42)8 J2。点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以 及推理能力和运算能力。导数强化训练(一) 选择题x11 .已知曲线y 的一条切线的斜率为 一，则切点的横坐标为( A )42A. 1B. 2C. 3D. 4322 .曲线y x 3x1在点(1, 1)处的切线万程为(B)A.y 3x 4B. y 3

11、x 2 C. y 4x3 D. y 4x53 .函数y (x 1)2(x 1)在x 1处的导数等于 (D )A. 1 B. 2 C. 3 D. 44 .已知函数“*)在* 1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为(A )A. f (x) (x 1)2 3(x 1)B. f (x) 2( x 1)C. f (x) 2(x 1)2 D. f (x) x 1 一. 325 .函数f (x) x ax 3x 9,已知f (x)在x3时取得极值，则 a = ( D )(A) 2(B) 3(C) 4(D) 56 .函数f (x) x3 3x2 1是减函数的区间为(D )(A) (2,) (B) (,2)

12、(C) (,0) (D) (0,2)27 .若函数f x x bx c的图象的顶点在第四象限，则函数 f' x的图象是( A )8.329：函数yC.B.12D.43 xx10.三次函数3ax内是增函数，则A. aB. a 0C. aD.311.在函数y x是A. 38x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数4B. 2(DC. 1D. 012.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a, b)内有极小值点( A )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个(二)填空题 -.313.曲线y x在点1,

13、1处的切线与x轴、直线x 2所围成的三角形的面积为 O1 3 414 .已知曲线y -x3 一,则过点P(2,4) “改为在点P(2, 4) ”的切线 方程是 3315 .已知f(n)(x)是对函数f(x)连续进行n次求导，若f(x) x6 x5 ,对于任意x R,都有f(x)=0,则n的最少值为 。16 .某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 吨.(三)解答题17 .已知函数fxx3 ax2 bx c,当x 1时，取得极大值7；当x 3时，取得极小值.求这个极小值及 a,b,c的值.3_2-

14、18 .已知函数 f (x) x 3x 9x a.(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f (x)在区间 2, 2.上的最大值为20,求它在该区间上的最小值 .19 .设t 0,点P (t, 0)是函数f (x)x3 ax与g(x) bx2 c的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P处有相同的切线。(1)用 t 表示 a,b,c ;(2)若函数y f(x) g(x)在(1, 3)上单调递减，求t的取值范围。20 .设函数 f xx3 bx2 cx(x R),已知 g(x) f (x) f (x)是奇函数。(1)求b、c的值。(2)求g(x)的单调区间与极值。21 .用长为18 cm的钢条围成一

15、个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2： 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？131222.已知函数f (x) -x -ax bx在区间1,1), (1,3内各有一个极值点. 32(1)求a2 4b的最大值；(1) 当a2 4b 8时，设函数y f(x)在点A(1, f (1)处的切线为l,若l在点A处穿过函数y f (x)的图象(即动点在点 A附近沿曲线yf (x)运动，经过点 A时，从l的一侧进入另一侧)，求函数 f(x)的表达式.强化训练答案：1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D12.A(四)填空

16、题813.14. y 4x 4015. 716. 203(五)解答题217.解：f' x 3x 2ax b。据题意,1, 3是方程3x22ax b 0的两个根，由韦达定理得2aT.a 3,b9f x x3 3x2 9x c极小值f 333 3 32 9 3 225;极小值为一25, a3,b9, c 218.解：(1) f (x)_ 23x 6x 9.令 f (x) 0 ,解得 x1或x 3,所以函数f(x)的单调递减区间为(，1),(3,).(2)因为 f(2) 8 12 18 a 2 a, f(2)8 12 18 a 22 a,所以f(2)f ( 2).因为在(一1, 3)上f (

17、x) 0 ,所以f (x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2, 1上单调递减，因此f(2)和f( 1)分别是f(x)在区(02,2上的最大值和最小值.于是有22 a 20,解得a 2. 32故 f(x) x 3x 9x 2.因此 f( 1) 1 3 9 27,即函数f (x)在区(02,2上的最小值为7.19.解：(1)因为函数f(x), g(x)的图象都过点(t,0),所以f(t) 0,一 322即 t at 0.因为 t 0,所以 a t . g(t) 0,即bt c 0,所以 c ab.又因为f (x) , g(x)在点(t , 0)处有相同的切线，所以 f (t) g (t).而

18、 f (x) 3x2 a, g (x) 2bx,所以3t2 a 2bt.2将a t代入上式得b t.因此c322(2)y f(x) g(x) x t x tx当y(3x t)(x t)0时，函数由y0,若t Q则 -x t3由题意，函数y f (x) g(x)在(1,3)( 3，t)或(1,3)(t,又当 9 t3时，函数y f (x)ab t3.故 a t2, b t, c t3.t3,y 3x2 2tx t2 (3x t)(x t).y f (x) g(x)单调递减.；若 t 0,则t x-.31, 3)上单调递减，则-).所以t 3或 -3.即t9或t3.33所以t的取值范围为,93,)

19、.g(x)在(1, 3)上单调递减.32220.解：(1)f xxbxcx, fx 3x 2bxc。从而 3.2一 2、32_, g(x)f (x)f (x)xbxcx (3x 2bx c) = x(b 3)x(c 2b)x c是一个奇函数，所以g(0)0得c 0,由奇函数定义得b 3；32 一(2)由(I)知g (x) x 6x,从而g (x) 3x 6 ,由此可知，(，衣)和(J2,)是函数g(x)是单调递增区间；(J2, J2)是函数g(x)是单调递减区间；g(x)在x衣时，取得极大值，极大值为4亚，g(x)在x J5时，取得极小值，极小值为 47221.解：设长方彳的宽为 x (m),

20、则长为2x (m),高为18 12x3h 4.5 3x(m)0Kx<-.42故长方体的体积为V x 2x2 4.5 3x9x2 6x3 m30x32从而 V(x) 18x 18x2(4.5 3x) 18x(1 x).令V' x 0,解得x 0 (舍去)或x 1 ,因此x 1.3当 0 x 1 时，V' x 0 ；当 1 x 时，V' x 0,2故在x 1处V x取得极大值，并且这个极大值就是 V x的最大值。2.33从而最大体积V V' x 9 16 1m,此时长方体的长为 2 m,高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m,高为1.5 m时，体积最大，最大体积为 3m3。1 31222.解：(1)因为函数f(x) x ax bx在区间1,1) , (1,3内分别有一个极值点，所以322f (x) x ax b 0在1,1) , (1,3内分别有一个实根，设两实根为x1, x2( x1x2)，则& x1 va24b ,且 0 x2 x1 < 4 .于是0 Va24b <4,0a24b016,且当 x11, x2 3,即 a 2,b 3 时等号成立.故2a 4b的最大值是16.(2)解法一：由f (1) 1 a b知f(x)在点(1, f (