(word完整版)高中数学导数练习题(分类练习)讲义

1、导数专题经典例题剖析 考点一：求导公式。1 3例1. f (x)是f(x) -x 2x 1的导函数，则f( 1)的值是。 3解析：f' xx解析：y' 3x 4x 4, 点(1, 3)处切线的斜率为k 3 4 45,所以设切线方程为y 5x b,将点(1, 3)带入切线方程可得 b 2,所以，过曲线上点(1, 3)处的切线方程为：5x y 2 0答案：5x y 2 0 2,所以 f' 11 2 3答案：3考点二：导数的几何意义。1例2.已知函数y f (x)的图象在点M (1, f(1)处的切线万程是y -x 2 ,则 2f(1) f (1) 。1 ,1,1 解析：因为

2、k 一,所以f' 1-,由切线过点 M (1, f (1),可得点M的纵坐标为225 5一,所以f 1 一,所以f 1 f' 136 2答案：37 2.例3.曲线y x 2x 4x 2在点(1, 3)处的切线方程是 。V。3X。y直线过原点，则k xo0X由点Xo, yo在曲线C上，则3xo22xo,y。Xo22xo3xo 2。又 y' 3x 6x 2,xo, yo 处曲线 C 的切线斜率为k f' xo_2_-3xO 6xO 22xo3xo(舍)，此时,23 ,、2 3x0 6xo 2,整理得：2x0 3xo o,解得：xO 或 x° o23 .11

3、yo - , k - 0所以，直线l的万程为y - x ,切点坐标是844答案：直线l的方程为y133x ,切点坐标是 一，一428点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不 是必要条件。考点四：函数的单调性。. 一3. 2.一 .一 . 一例5.已知f x ax 3x x 1在R上是减函数，求 a的取值范围。2解析：函数f x的导数为f' x 3ax 6x 1。对于x R都有f' x 。时，f x17答案：a 3点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数

4、单调性问题， 要有求导意识。考点五：函数的极值。一一一3 一 2例6.设函数f (x) 2x 3ax 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。(1)求a、b的值；2(2)右对于任思的x 0,3,都有f (x) c成立，求c的取值范围。2解析：(1) f (x) 6x 6ax 3b ,因为函数 f (x)在x 1及x 2取得极值，则有6 6a 3b 0, 一f (1) 0 , f (2) 0 .即，解得 a24 12a 3b 0.3, b 4。(2)由(I)可知，f (x)32一22x 9x 12x 8c, f (x) 6x18x 12 6(x 1)(x 2)。当 x (0 1)时，f (x)

5、0;当 x (1,2)时，f (x) 0;当 x (2,3)时，f (x) 0。所以,当 x 1 时，f(x)取得极大值 f(1) 5 8c,又 f(0) 8c, f (3) 9 8c。则当 x0,32时，f(x)的最大值为f (3) 9 8c。因为对于任意的 x0,3 ,有f(x) c恒成立，所以 9 8c c2,解得 c 1或c 9,因此c的取值范围为(，1)U(9,)。答案：(1) a 3, b 4 ； (2) (, 1)U(9,)。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f x的极值步骤：求导数f' x ;求f' x 0的根；将f' x 0的根在数轴上标出

6、，得出单调区间，由 f' x在各区间上取值的正负可确定并求出函数f x的极值。考点六：函数的最值。例7.已知a为实数，f xx2 4 x a。求导数 f' x ； (2)若 f' 1在区间2,2上的最大值和最小值。32.解析：(1) f x x ax 4x 4a ,1 f' 13 2a 4 0, a 。2f' x3x2 2ax 4。2f' x 3x x 4 3x 4 x 14.令f' x 0 ,即3x 4 x 10 ,解得x 1或x ,则f x和f' x在区间 2,23上随x的变化情况如下表:x22, 1141,34343,22f

7、' x十0一0十f x0增函数极大值减函数极小值增函数0502750一一一一 4。所以，f x在区间 2,2上的最大值为f 273小值为f5027-24答案:3x 2ax 4 ； (2)最大彳1 为 f 一3点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f x在区间a,b上的最值，要先求出函数f x在区间a,b上的极值，然后与f a和f b进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8.设函数f(x) ax3 bx c (a 0)为奇函数，其图象在点(1, f (1)处的切线与直线x 6y 7 0垂直，导函数f'(x)的最小值为 12。(1)求a, b, c的

8、值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值。解析： (1) ;f(x)为奇函数，f ( x)f (x),即ax3bx c ax3 bxc2c 0, f (x) 3axb 的最小值为12, b12,又直线x 6y 701的斜率为 1,因此，f '(1) 3ab 6, . a 2, b 12, c 0.6 f(x) 2x3 12x。 f'(x) 6x2 12 6(x 72)( x J2),列表如下：x(,两五(石，丘)沂，)f'(x)00f(x)增函数 极大 减函数 极小 增函数所以函数f（x）的单调增区间是（，J2）和（J2,）,

9、f（ 1） 10 ,f（J2）8"，f（3） 18, f（x）在1,3上的最大值是f （3） 18,最小值是f（2）8 Jo答案：（1） a 2, b 12, c 0; （2）最大值是 f（3） 18,最小彳1 是 f（J2）8 J2。点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练（一） 选择题x11 .已知曲线y 的一条切线的斜率为 一，则切点的横坐标为（ A ） 42A. 1B. 2C. 3D. 42 .曲线yx3 3x2 1在点（1, 1）处的切线方程为（B ）A. y 3x 4 B. y 3x 2 C. y 4x

10、 3 D. y 4x52 -3 .函数y (x 1) (x 1)在x 1处的导数等于(D )A. 1 B. 2 C. 3 D. 45.C. f(x)函数f (x)(A) 2(x 1)22(x 1)2 ax3(x 1)D. f (x) x 1B.3x 9,已知f (x)在x(B) 3f(x) 2(x1)3时取得极值，则(C) 4a=( D )(D) 54 .已知函数“*）在* 1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为 （A ）-3_26 .函数f（x） x 3x 1是减函数的区间为（D(A) (2,)(B) (,2) (C) (,0) (D) (0,2)7 .若函数f x x2 bx c的图象的

11、顶点在第四象限，则函数 f' x的图象是（ A ）x8.函数f(x)32 A. 321 3 ,、一2x2 -x3在区间0,6上的最大值是(3B. C. 12339.函数y x 3x的极大值为 m ,极小值为n ,则m n为D. 9A )A. 0B. 110.三次函数f x ax3 x在xA. a 0B. a 0C. 2D. 4内是增函数，则 (A )C. a 1D, a -3311.在函数y x8x的图象上,是A. 3B. 2其切线的倾斜角小于（DC. 1的点中，坐标为整数的点的个数4D. 012.函数f（x）的定义域为开区间（a,b）,导函数 f （x）在开区间（a, b）内有极小值

12、点（ A ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个f （x）在（a,b）内的图象如图所示，则函数（二）填空题13.曲线yx3在点1,1处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为8一 。31 3 4，一, 14.已知曲线y -x 一，则过点P（2,4） “改为在点P（2,4） ”的切线 方程是33y 4x 4 0_15 .已知f(x)是对函数f(x)连续进行n次求导，若f (x) x6 x5 ,对于任意x R,都有f(x) =0,则n的最少值为 7。16 .某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则

13、 x _20_吨.(三)解答题17 .已知函数f xx3 ax2 bx c,当x 1时，取得极大值7；当x 3时，取得极小值.求这个极小值及 a,b,c的值.2J 解析：f' x 3x 2ax b。据题意,1, 3是方程3x22ax b 0的两个根，由韦达定理得2a3 b3f x x218.已知函数 f (x) x 3x 9x a.(1)求f(x)的单调减区间;(2)若f (x)在区间 2, 2.上的最大值为20,求它在该区间上的最小值解析：(1)f (x) 3x2 6x 9.令 f (x) 0,解得 x 1或x 3, 3x2 9x c极小值 f 3333 32 9 3 225;极小值

14、为一25, a3,b9, c 2所以函数f (x)的单调递减区间为(1),(3,).(2)因为 f(2) 8 12 18 a 2 a, f(2)8 12 18 a 22 a,所以f(2) f ( 2).因为在(一1, 3)上f (x) 0 ,所以f (x)在1, 2上单调递增，又由于f (x)在2, 1上单调递减，因此f(2)和f( 1)分别是f(x)在区(02,2上的最大值和最小值.于是有22 a 20,解得a 2. 32故 f(x) x 3x 9x 2.因此 f( 1) 1 3 9 27,即函数f (x)在区(02,2上的最小值为7.3219.设t 0,点P (t, 0)是函数f (x)

15、xax与g(x) bx c的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P处有相同的切线。(1)用 t 表示 a, b,c ;(2)若函数y f (x) g(x)在(1, 3)上单调递减，求t的取值范围。解析：(1)因为函数f(x), g(x)的图象都过点(t, 0),所以f(t) 0, 322即 t at 0.因为 t 0,所以 at . g(t) 0,即bt c 0,所以 c ab.又因为 f(x), g(x)在点(t , 0)处有相同的切线，所以 f (t) g (t).而 f (x) 3x2 a, g (x) 2bx,所以3t2 a 2bt.2.32.33x2 2tx t2(3x t)(x t

16、).将a t代入上式得b t.因此c ab t .故a t , b t, c t .(2)y f (x) g(x)x3 t2x tx2 t3, y当y (3x t)(x t) 0时，函数y f (x) g(x)单调递减.由y 0,若t Q则 -x ，若1 0,则t x -. 33由题意，函数y f (x) g(x)在(1, 3)上单调递减，则(1,3)(二。或(1,3)(t,-).所以 t 3或 - 3.即t9或t3.333又当 9 t 3时，函数y f (x) g(x)在(1, 3)上单调递减.所以t的取值范围为(，93,).3.220.设函数 f x x bx cx(x R),已知 g(x

17、) f (x) f (x)是奇函数。(1)求b、c的值。(2)求g(x)的单调区间与极值。解：322(1)f xx bxcx,f x 3x 2bx c。从而32232g(x)f (x)f (x) x bxcx (3x 2bx c) = x (b3)x (c 2b)x c是一个奇函数，所以g(0) 0得c 0,由奇函数定义得b 3；32(2)由(I)知g(x) x 6x,从而g (x) 3x 6,由此可知，(,J2)和(J2,)是函数g(x)是单调递增区间；(72, J2)是函数g(x)是单调递减区间；g(x)在xJ2时，取得极大值，极大值为4J2, g(x)在x J5时，取得极小值，极小值为

18、4&21.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2： 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方彳的宽为 x (m),则长为2x (m),高为0< x<-218 12x h 4.5 3x(m)4故长方体的体积为._ 2_2_33_3V x2x 4.53x9x6x m0x -22 ,从而V(x) 18x 18x (4.5 3x) 18x(1 x).令V x0,解得x 0 (舍去)或x 1 ,因此x 1.,1x3 c当 0 x 1 时，V x 0 ；当 2 时，V x 0,故在x 1处V x取得极大值，并且这

19、个极大值就是 V x的最大值。23从而最大体积V V x 9 16 13m ,此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m,高为31.5 m时，体积取大，取大体积为 3m 01 31222.已知函数f(x) - x - ax 32bx在区间1,1), (1,3内各有一个极值点.(1)求a2 4b的最大值;(2)当a2 4b 8时，设函数yf(x)在点 A(1,f(1)处的切线为l ,若l在点A处穿过函数y f (x)的图象(即动点在点A附近沿曲线yf (x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧)，求函数 f(x)的表达式.解析：(1)因为函数 f(x)1x3

20、 1ax2 bx在区间 321,1) , (1,3内分别有一个极值点，所以2,f (x) x ax b1,1), (1,3内分别有一个实根,设两实根为x1, x2 ( x1x2)于是0 Ja2 4b < 4,04b W 16 ,且当 x11, x23 ,即 a2, b3时等号成立.故a2 4b的最大值是16.(2)解法一：由f (1)f (x)在点(1,f (1)处的切线l的方程是y f(1) f (1)(x 1),即 y (12 a b)x 一3因为切线l在点A(1, f(x)处空过yf (x)的图象,所以 g(x) f (x) (1 a b)x1 一 a在 x 21两边附近的函数值异号，则x 1不是g(x)的极值点.bx(11 312而 g(x) x axg (x)x2 ax b (1b)ax a1 (x 1)(x 1 a).a都是g(x)的极值点.2,又由21 3a 4b 8 ,得 b 1 ,故 f (x) - x 3解法二：同解法一得 g(x) f (x)2