2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质练习(含解析)新人教A版选修2_3

1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A基础达标1 .若x3 + J nCNj的展开式中只有第 6项系数最大，则该展开式中的常数项为()A. 210B. 252C. 462D. 10解析：选A.由于展开式中只有第 6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展 开式项数为11,从而n=10,于是得其常数项为 C6o= 210.2.(1 +x) n(3 x)的展开式中各项系数的和为1 024 ,则n的值为()A. 8B. 9C. 10D. 11解析：选B.由题意知(1 +1)n(3 1) = 1 024,即2n+1= 1 024 ,所以n= 9.故选B.3.(2019 烟台高二检测)已知(1

2、 +x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则 奇数项的二项式系数和为()A. 212B. 211C. 210D. 29解析：选D.因为(1 +x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C3=Cn,解1得n=10,所以二项式(1 +x)1的展开式中奇数项的二项式系数和为-X210= 29.4.已知(3 x) n= 2。+ax+a2x2+ anxn,若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则 a。一& + %+ ( 1)nan=()A. 32B. 64C. 128D. 256解析：选D.由题意可得Cn=Cn,所以n = 4.令 x = 1,则(3 x) = (3 + 1

3、) = a a1 + a2 a3+ a4=256.所以 a a + &+ + ( - 1) nan= 256.5.设(1 + x+x2) n=ao+ ax + a2x + a2nx ,2n则 a0+ a2+ a4+ + a2n 等于()nA. 2B.3= 12C. 2n 1D.3n+ 12解析：选 D.令 x= 1 得 3n= a+a1 + a2+ a2n1 +a2n.令 x= 1 得 1 = a0a1+a2一a2n1 + a2n.+得 3n+ 1 = 2(a0+a2+ a2n),3n+1 二所以 ao+&+ + a2n=-2.故选 D.6 .已知(a x) 5= ao+aix+&x2+ as

4、x5,若 a2=80,则 ao+ai+a2+ as=解析：展开式的通项为Tr+i = (-1)rC5 a5 r - xr,令 r = 2,则 a2=( 1)2C . a3=80,即 a= 2,故(2 x) 5= a0+a1x+a2x2+ asx5,令 x=1,得 a0 + a1 + a5= 1.答案：17 .若(1+，2)5=a+W2(a, b 为有理数)，则 a+ b=.解析：因为(1+m)5=d()0+(i(m)1+反乖)2+&乖)3+&、)4+戊乖)5= 1 + 5+ + 20+202+20 + 4/2 = 41 + 292,由已知可得41 + 29，2=a+by2,所以 a+b=41

5、+ 29 = 70.答案：708 .( x +1)( x2) =a0+a1(x 1) + a2(x 1) + a3(x 1) + an(x 1),则 a+a2+a3 + an的值为.解析：令x = 1,得a0= - 2.令 x=2, 得 a0+a+a2+ an = 0.所以 a1+&+a3+ + a*=2.答案：29.设(2 ，3x)100= ao+ax+a2x2+ + a100x100,求下列各式的值：(1) a。；(2) a1 + a2 + a3 + &+ + a100；(3) a + a3+a5+ + a99；(4)( a0+a2+ a100) 一(a + a3+ + a99)；(5)|

6、 a| + | a1 + | a100|.解：(1)令 x= 0,可得 a= 2100.(2)令x= 1 ,可得ao+ a1 + a2+ + a = (2 f3), (*)所以 a + &+ + a100= (23) 100 a.(3)令 x= - 1.可得 a0 a + a2 a3 + + 2以=(2 + 木)100.与(*)式联立相减得ai+a3+ a99=(2后 100 (2 + 通曲(4)原式=(ao+ a2+ + aioo) + (ai + a3+ a99) ( a0 + & + + aioo) 一( a + a3 + +a99)= (a0 +a1+a2 + a100), (a0 a

7、1 +a2a3 +a98 a99 + a10。)= (2 3)(2+ rJ3)1100=1.(5)因为 Tr + 1=( 1)rCr002100 r(5)rxr.所以 a2k 10(k Nj.所以 |ao|+ |al|+ |a2|+ , , + | a10o| =a0 al +a2 a3+ , , +a100= (2 + -3).10.已知n的展开式的各项系数之和等于4强5b5的展开式中的常数项,-6 -求:3/a ”展开式的二项式系数和;(2)n展开式中含 I1项的二项式系数.解:依题意，令a=1,得-3-3/an展开式中各项系数和为(3-1)n=2n, 4折一扁5展开式中的通项为 1+1

8、= 4(4 3/b)5 r看( 1)&5 r .5 2b卡若Tr + 1为常数项，则10 6 5r =0,即r=2,故常数项为 T3=( -1)2C5 - 43- 5 1=27,于是有2n=27,得n=7.3 n c 73/a展开式的二项式系数和为2n= 27= 128.(2)373 7 r 3aa的通项为 Tr + 1 = C7 ja- ( 一 a) = C7( 1) , 3 - a5r 21 6-所以所求a一项的二项式系数为 C3=35.B 能力提升11.若(12x)2017 = a+a1x+ a2 017x2 017 (xCR),则a!+ |2黑的值为(A. 2B. 0C. -2D. 1

9、解析：选 D. (1 2x)2 017 = 20+aix + a2 017X2 017,令 x=-1,1 2 017a1 a2a2 017 _则(1 2x 2)= a0+万+亍+ 22 01/=0,a12222 017.其中 20= 1 ,所以5 + 22+ 22 017 = 11.12.( a+x)(1 +x)4的展开式中x的奇数次哥项的系数之和为32,则a=.解析：设(a+ x)(1 + x) 4= a0+ ax+ &x2+ a3x3+ a4x4+ a5x5.令 x = 1,得(a+1)X2 =20+21 + 22+23+24+25.令 x= - 1 , 得 0= 20- 21+ 22 2

10、3+ 24-25.一，得 16( 2+ 1) = 2( 21+ 23 + 25)=2 X 32,所以 2=3.答案：3213.已知(x3+ 3x2) n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.解：(1)令x=1,则展开式中各项系数的和为(1 +3)n=22n,又展开式中二项式系数的和为2n,所以 22n-2n=992,解得 n = 5,所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，2所以 F= C5(x3) 3(3x2) 2=90x6,T4= C5(x3)2(3x2)3= 270x 3 .(2)设展开式中第r

11、 +1项系数最大，210+4r则 Tr+ 1 = C5( x3) 5 r(3x?) r = 3Cx3,3rs广口，79所以 3联3+1昌+1 ? 2r2,又 r C N,所以 r = 4.即展开式中第5项系数最大， 226T5=C5(x3)(3 x2) 4= 405x 3 .14.(选做题)在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示.1 1I 2 L33464IU11笫I行 第班 箫3行 笫4行 第5行1(1)利用杨辉三角展开(1 x)6;(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3 ： 4 ： 5?解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是 1,其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，可写出第6行的二项式系数为1, 6, 15, 20, 15, 6, 1,所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2 + 20a3b3+15a2b4+6ab5+ b6.令 a=1, b= x,得(1 x) 6= 1 6x+15x220x3+15x4 6x5+x6.(2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是3 ： 4 ： 5,并设这三个数分别是 d-, CS, Ck+1,3 4则有