2020版高考数学一轮复习课后限时集训52圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题理(含解析)北师大版

1、课后限时集训(五十二)圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题(建议用时：60分钟)1. (2018 北京高考)已知抛物线C: y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛 物线C有两个不同的交点 A, B,且直线PA交y轴于M直线PB交y轴于N(1)求直线l的斜率的取值范围；、一八八一 11,(2)设O为原点，Q限入QO QNkQO求证：+ 一为定值.人解(1)因为抛物线y2=2px过点(1,2),所以2p= 4,即p= 2.故抛物线C的方程为y2= 4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为 0.设直线l的方程为y=kx+1(kw0).y2= 4x,由得 k?x?+(2 k4)x

2、+1 = 0.y = kx + 1,依题意 = (2 k4)2 4X k2X1>0,解得k<0或0vkv 1.又PA PB与y轴相交，故直线l不过点(1 , -2).从而kw 3.所以直线l斜率的取值范围是(8, - 3) U(-3,0) U(0,1).(2)证明：设 A(xi , y1) , B(x2, y2).2k-41由(1)知 Xi + x2 = k, XiX2 =片.r , r、一、yi、，y1 2直线PA的万程为y-2 = -一-(x- 1). xXi -1人/口 1八 r ”,上一、r y1 + 2 kx 1 + 1令 x= 0,得点 M的纵坐标为 yM="

3、 + 2=" + 2.X1 -1Xi- 1 , kx2+ 1同理得点 N的纵坐标为 yn=- + 2.X2 1由 QMh 入 QO QN= wQO 得入=1 yM, w=1 yN-1111所以7+7=亏+ 口NX1 1X2 1k-1 xi+ k-1X212x1X2 X1 + X2-k 1X1X22 2k42 + -p-1 k kk 1 .1=2.k2 , 11所以 -I为 7E 值.入 (122.已知椭圆 Q X2+y2=1(a>1) , F1, F2分别是其左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与椭圆Q有且仅有两个交点.(1)求椭圆Q的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直

4、线l交椭圆于A, B两点，线段AB的垂直平分线与 X1c，轴交于点P,点P横坐标的取值范围是一4, 0 ,求|AB的最小值.解(1)由题意可知c=b=1,则a="3 A、，X22故椭圆的方程为 2+y2=1.一 .、一.X22(2)设直线l万程为y= k(X+ 1)( kwo)，代入+y = 1,得(1 +2k2) X2+4k2X+2k2- 2=0.设 A(X1, y1) , RX2, y2), AB中点 N(X0, y0),.,4k22k2-2. X1+ X2= - -X1X2= 2.1 + 2k，1 + 2k2.12k_k- X0= 2(X1 +x2) = 1 +2/，y0= k

5、(X0+ 1) = 1 +2k2.AB的垂直平分线方程为y-y0=- 1(X-X0).11令 y= 0, 4Xp=X° + ky0=_ 2+家+2，一 1八. xp e 4, 0 ,1 w44k2+2V 0.-0< k2<2.| AB =1 + k21 X2-X1|=y1-l-k2 ,416k44 2k2+12k2 22k2+1,1 ,13 2-2也 2 + 22k2+ 1> 2，| AB的最小值| AB min= I.3.已知椭圆C的两个焦点为Fi( 1,0) , F2(1,0),且经过点E，3,平.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A,

6、 B两点(点A位于x轴上方)，若AF=入F1B,且2W入 <3,求直线l的斜率k的取值范围.22解 根据题意，设椭圆C的标准方程为a2 + b2 = 1( a > b > 0),则2a= | EF| + | EF =4, a2= b2+ c2, c= 1,a= 2,解得c= 1,b= 3f3,所以椭圆C的方程为:+'=1. 43(2)根据题意可设直线l的方程为y=k(x+1)( k>0),y= k x+1 ,联立方程，得 x2 y2消去x,得，4 y2-ky-9= 0,7+3=1,144+ 144>0.-5 -设 a(xi, y1),6k不Rx2，y2),

7、则 y1 + y2 = 3+ 4卜2, 9k2y1yA 3T?又AF=入F1B,所以y1 =入y2.，、广一6入k6k、，、八c把代人得y1=-Lk2，y2=;，并结合可得yy21 人 3十4k1 人 3十4k-X -6k2_9k2皿 1124 口r 14=-272工=r_2r,贝f -=7-2,即 入+ 、 - 2=T-2.1一 入 3+4k 3 + 4k入 3 + 4k入 3+4k1 -1 一 4因为2W入<3,所以方w X + 2< , 2 入 3即;w 2二v J，且k>0,解得0vkw坐. 2 3 I 4 k 32故直线l的斜率k的取值范围是 0,乎.4. (201

8、9 四川模拟)设抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l .已知以F为圆心, 半径为4的圆与l交于A, B两点，E是该圆与抛物线 C的一个交点，/ EAB= 90° .(1)求p的值；(2)已知点P的纵坐标为一1且在抛物线 C上，Q R是抛物线C上异于点P的另两点，且 满足直线PQ直线PR的斜率之和为1,试问直线 QR是否经过一定点，若是，求出定点的 坐标；否则，请说明理由.解(1)由题意及抛物线定义，得| AF = | EF =1 AE = 4,11 AEF为边长为4的正三角形，设准线 l与x轴交于点D, |AD =p = ,| AE =±X4= 2.(2)设直线QR勺方程为x=m什t , 点 Qxi, y1), Rx2, y2).x = my t ,由2,y =4x,22又点vp y1P在抛物线C上,则kPQ=出yp22.,yp y1yp+ y1y1一 144同理可得kpR=4y2 1.得 y4my 4t =0,则 A = 16m+16t >0, y1 + y2=4rm y1y2=4t.因为 kpo+ kpR= 1,所以447 +7y1 1y2 14y1+y2 8yy2ydy2 +116m- 8717 = 1,4t