(完整版)数列与解析几何综合—点列问题

1、专题：数列与解析几何综合点列问1.如图，直线 11 : y kx 1 k(k点P1,过点P1作X轴的垂线交直线|2于点 垂线交直线12于点Q2,，这样一直作下去,1、-11 »0,k一）与l2：y-X一相父于点P直线11与X轴父于222Q1,过点Q1作y轴的垂线交直线|1于点P2,过点P2作x轴的可得到一系列点的横坐标构成数列Xn(I )证明Xn（H）求数列Xn1，八工1 （Xn 1）,n N*;2k的通项公式；(m)比较 2| PPn |2 与4k2 | PP1 |2 5 的大小.【解析】（I）证明：设点Pn的坐标是（Xn,yn）,Pl、Qi、P2、Q2,，点 Pn (n=1, 2

2、,)2).由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是:(Xn,2Xn 2),(X1n 1,二 Xn2由Pn+1在直线|1上，得1一Xn2kXnk.一，1所以 1(xn 1) k(x 21),Xn1 (Xn 1), n2k(H)解:由题设知X11 k,X1所以数列Xn 1是首项为X11,公比为1 k12k0,又由（I）的等比数列.Xn 111 颔(Xn 1)'从而Xn1(kx12k1V1,即 Xn（出）解:k,得点1).所以 2|PPn |2_22(Xn 1)2(kXn2_1 k 1)8224k | PP1 |25 4k (1221)(0 1) 54k2 9.1 1当|k |1,即k1或k

3、221 ,2一时，4k2 1Ppi |225 >1+9=10.而此时0(ii)当 0而此时1 | | 1,所以 2|PPn|2 8 1 2 10.故2|PPn|2 4k21Ppi | 2k111o o1 |k| 一,即k ( 一,0)U(0,一)时，4k21Ppi |2 5 <1+9=10. 2221一I 1,所以 2|PPn|2 8 1 2 10.故2 I PPn I2 4k2 I PP1 I2 2k5.5.EX已知点Pn an,bn都在直线l：y 2X 2上，P1为直线l与X轴的交点，数列an成等差数列，公差为 1.( n N )16(1)求数列(2)求数列a n12bn(3)

4、求证:bn的通项公式；的前n项和Tn.， 2【解析】1,0,anP1P3PiPn(n 2, n N )2,bn 2n13nTn=2n12 bn=14 2n则它的前 n2(n 7)13n 84 n 7n项的和sn=13nC70(3)Pn n2,2n 2 ,Pi(1,0)PPn1)(n 2)P1P2RP3RPn1221321151-21151(n 1)(n 1)2、如图，曲线y2 x(y0)上的点P与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成一系列正三角形ORQ1,Q1PA,L ,QnFnQn,L.设正三角形Qn1PlQn 的边长为 an,nCN* (记 Q0 为 O),Qn.求a1的值;(2)求数列 a

5、n的通项公式1求证:当n 2时，工 an(1)由条件可得p(2)Q Sna1a2Sn3 24an12 an2an 12an 2工a1 , 一' a1 ，代入曲线221 一L an 八、Pn 1(Snan2*.，于是当n 2, n N时，an1即 2(an1一、3一an)(an 1 an ) (an 1 an)4Lx(y0)并整理得n 1)代入曲线SnSn1("an 14y2x(y,3 2 1.an -an)Qan1an 0, an 1an3(n2,n又当n3 91 时,S1-a241一 a2, a2243(I舍去)a2ai2,故a 31 an2-(n N3所以数列an是首项为

6、2 斗2、公差为32-2的等差数列，32-n ； 3(2)得an2时,1a2£a2n94n24(n 1)294 4n2(n1-1214n21n(n 1)n(n 1)2n(2n 1)(n1) n(1n2n)9(4 n12n)9(n 1),8n(n 1)'9(n 1)欲证-8n(n 1)3 一一3 ,只需证23n3 4n22_4n ,即证 4n 7n 30,2设 f (n) 4n7n 3,(n)递增.而当n3时，有f(n) 0成立.所以只需验证n=2时不等式成立.13分,9事实上，21695294 64 64 6461364214综上，原不等式成立.一_1-13、已知曲线 C：

7、y , Cn ： y -xx 2 nn N )。从C上的点Qn(Xn,yn)作x轴的垂线,交Cn于点Pn ,再从点Pn作y轴的垂线，Xi 1,anxn 1 xn,bnYn Yn 1。(I)求Qi,Q2的坐标；(II)求数列 an的通项公式；1(III)记数列an bn的刖n项和为Sn ,求证：Sn 交C于点Qn1人1, yn 1 ),设3(1)由题意得知 Q1(1,1), P1(1,2) , Q2(3,2 32 3Qn(Xn,yn), Qn 1 (Xn1,Yn1),点Pn的坐标为(Xn ,丫口i)Qn,Qn 1在曲线C上,1yn 一Xnyn 1Xn 1又Pn在曲线Cn上,Xn 1Xn2 nXn

8、an 2 n(HI ) Xn(XnXn 1 )(XnXn2)+ (X22 (n1)2(n 2)1(2)n"T"2an bn(Xn 1Xn )(ynyn1) 2 nUXn 17分X1)X1222222 2(212n 2)(22n111)2 2n2 2n,2nSna1b1anbn13 2213 2n(2)n3(17)36.(本小题满分15分，其中第一小问4分，第二小问6分，第三小问5分)过曲线C : y X3上的点P1(x1,y1)作曲线C的切线l1与曲线C交于P2(X2,幻,过点P2作曲线C的切线l2与曲线 C 交于点P3(X3,y3), 依此类推，可得到点列：Pi(Xi,Y

9、i),P2 ( X2 , y2, P3(x3, y3 ),L , Pn(xn, yn ),L , 已知 X1 1(D求点P2、P3的坐标.(2)求数列Xn的通项公式(3)记点P到直线ln i(即直线Pn R 2)的距离为dn ,求证：1 11L 4.di d2dn9【解析】(1) P2( 2, 8),P3(4,64) 4 分2(2)曲线C上点Pn(Xn，yn)处的切线ln的斜率为KYx xn 3Xn，2故得到的万程为 y yn 3xn (x xn) 6分3y x联立方程yyn3x2(xxn)消去 y 得：x33x2x2x303Vn xn化简彳导:(x xn)2 (x 2xn) 0所以：x xn

10、或x2xn 8分由xxn得到点Pn的坐标(xn, yn),由x2xn就得到点Pn1的坐标(2xn, (2xn )3)所以：xn 12xn故数列xn为首项为1 ,公比为一2的等比数列所以：xn2)n 110分(3)由(2)知：Pn 1( 2)n,( 8)n),Pn 2( 2)n1,( 8)n1),所以直线1n的方程为:y( 8)n(8)n(8)n1(x(2)n)y( 8)( 2)n( 2) n 1(x(2)化简彳导:3 4nx y 2 ( 8)n 0 12分dn13 4n ( 2)n 1 ( 8)n 12 ( 8)n | 27 8n (3 4n)2 ( 1)2,9 4n 127 8n 12n3

11、29.2n所以1dn11d1 d218%1、81、 4一(1 -n-) > 一(1 一) 一 dn 9292915分7.已知曲线C：y=x2(x>0),过C上的点A1 (1, 1)作曲线C的切线11交x轴于点B1,再过点B1作y 轴的平行线交曲线 C于点A2,再过点A2作曲线C的切线12交x轴于点B2,再过点B2作y轴的平行线交 曲线C于交A3,，依次作下去，记点An的横坐标为an(nCN*).(1)求数列an的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn,求证：anSn< 1;(3)求证:14n1vaiSi3【解析】曲线C在点An(an,a2)处的切线ln的斜率是2an,，切

12、线ln的方程是y-a2 2an(x an).1由于点Bn的横坐标等于点An+1的横坐标an+1,所以，令y=0 ,得an+1 = an。2，数歹u an是首项为1,公比为1的等比数列.21, an=-2n 11(2)Sn=-112121(1-” >令 t=，则 0vt，anSn=4t(1-t)=-4(t- - )2+1. 222当 t=,即 n=1 时，-4(t)2+1 有最大值 1 ,即 anSn< 1.2221- 1(3) - Sk>k,k N ,-akSk> ,即W.ak Skak1 ;数列二是首项为1,公比为4的等比数列aknnn n111441一 <-2

13、 = .i 1aiSii 1ai1 438、(06山东卷)已知 a1二2,点(an,an+1)在函数f(x)=x 2+2x的图象上，其中=1, 2, 3,证明数列 lg(1+an)是等比数列；(2)设 Tn=(1+a1)(1+a2)(1+用,求 Tn 及数列 an的通项；记1 bn=an12，求 bn数列的前项和 Sn,并证明Sn+-=1.(I)由已知an 1an2 an2an 1 1 (an 1)Qa121 1,两边取对数得lg(1an 1) 2lg(1an),即必1_anil2'lg(1 an)lg(1 an)是公比为2的等比数列n 1(n)由(i)知 lg(1 an) 2 lg(

14、1ai)2n12n 11 lg3 lg32anI*)Tn(1ai)(1a2)(1+a n)203232132232n-1312 22+2n-132n-1由(*)式得anon 132(出)Q an1a0 2anan (an2)ananan 1an 12 anan2)bn又an2(；an-)1Snbib2+bn2(ia2a2a31+ anan-)12(；-)1Qan2n321,a12,an2n32Sn又Tn2n 132 1Sn3Tn 11.0)引切线，切于不同于 O的点y2),如此继续下去，得到点列32,9.(本题满分16分)由原点O向曲线f(x) x 3ax x (aP1(X1, y1),再由点

15、P1引此曲线的切线，切于不同于P1的点P2(X2,Pn(Xn, yn).(I)求 x1；(n)求证：数列xn a为等比数列；(出)令bn n|xn a |, Tn为数列 bn的前n项的和，若Tn 2 Xn N恒成立，求a的取值范围.【解析】'2(I ) f (x) 3x 6ax 11 分、一一一，一 2一、过切点P1(x1，y1)的切线方程为y y(3x16ax11)(xx1)322由于切线过原点 O,因此 0 (x1 3ax1 x1) (3x1 6ax1 1)(0 x1)-3斛得x1 a4 分1 2由于切线过点Pn (xn, yn),因此YnYn 12(3xn i 6axn i 1)(xnxn 1)6 分8 分9 分化简得 xn 2xn 1 3a , xn a 2(xn 1 a)即 xn n-22n 1 axnaa1 ，数歹U xn a是以x a 为首项，公比为一的等比数列。22一