(完整版)高中数学竞赛讲义(五)──数列

1、高中数学竞赛讲义(五)数列一、基础知识定义1数列，按顺序给出白一列数，例如 1, 2, 3,，n,.数列分有穷数列和无 穷数列两种，数列an的一般形式通常记作 ai, a2, a3,，an或ai, a2, a3,，an。其中ai 叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。定理1若Sn表示an的前n项和，则Sl = ai,当n>1时，an=Sn-Sn-1.定义2等差数列，如果对任意的正整数 n,都有an+1-an=d (常数)，则an称为等差 数列，d叫做公差。若三个数 a, b, c成等差数列，即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项， 若公差为d,则a=b-d, c=b

2、+d.定理2等差数列的性质：1)通项公式an=a+(n-1)d; 2)前n项和公式：附十/)_十吟一%Sn=22； 3)an-am=(n-m)d,其中 n, m 为正整数；4)若 n+m=p+q,则an+am=ap+aq； 5)对任意正整数 p, q,恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1); 6)若A, B至少有一个不 为零，则an是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3等比数列，若对任意的正整数 n,都有"片，则an称为等比数列，q叫做公比。%。-心定理3等比数列的性质：1) an=a1qn-1； 2)前n项和Sn,当qM 1时，Sn= >4；当q=1时，Sn=na

3、1； 3)如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b 0),则b叫做a, c的等比中项； 4)若 m+n=p+q,贝U aman=apaq。定义4极限，给定数列an和实数A,若对任意的> >0,存在M,对任意的n>M(nClim = -dN),者B有|an-A|<巳，则称A为n一+8时数列an的极限，记作定义5无穷递缩等比数列，若等比数列an的公比q满足|q|<1,则称之为无穷递增等丸比数列，其前n项和Sn的极限(即其所有项的和)为 1-1 (由极限的定义可得)。定理3第一数学归纳法：给定命题p(n),若：(1) p(n0)成立；(2)当p(n)时n=k成立时

4、能推出p(n)对n=k+1成立，则由(1) , (2)可得命题p(n)对一切自然数n>n0成立。竞赛常用定理定理4第二数学归纳法：给定命题 p(n),若：(1) p(n0)成立；(2)当p(n)对一切n wk的自然数n都成立时(k>n°)可推出p(k+1)成立，则由(1) , (2)可得命题p(n)对一 切自然数nn。成立。定理5对于齐次二阶线性递归数列Xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程 x2= ax+ b的两个根为a ,3：(1)若a M 3,则Xn=c1an-1 + c2 3 n-1,其中d, c2由初始条件X1, X2的值确定；(2)若a = 3,则Xn=

5、(c1 n+c2) a n-1 ,其中c1，c2的值由X1, X2的值确定。二、方法与例题1 .不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊一猜想一数学归纳法证明。例1试给出以下几个数列的通项(不要求证明)；1) 0, 3, 8, 15, 24, 35,；2)1, 5, 19, 65,；3) -1, 0, 3, 8, 15,。【解】1) an=n2-1; 2) an=3n-2n； 3) an = n2-2n.2例2已知数列an满足a=2 ,a+a2+an=n2an, n> 1,求通项an.【解】

6、因为a1 = 2，又a+a2=22 , a2,工 %+叼=_L所以 a2=3x2, a3= 3'1?乂4，猜想网(.M+l)(n>1).证明；1)当n=1时，a1=2xl ,猜想正确。2)假设当nw k时猜想成立。当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a + a=( k+1)2-1 ak+1,1 1 1 1-+所以 2*13x2狂*代+1) =k(k+2)ak+1,11111即 22 3 上上十 1 =k(k+2) ak+1,k所以 H1=k(k+2)ak+1,所以 ak+1 = a+D(* + 2)1怎=由数学归纳法可得猜想成立，所以温摩+ D1例 3 设 0<a&l

7、t;1,数列an满足 an=1 + a, an-1=a+L?",求证：对任意 nC N+,有 an>1.【证明】证明更强的结论：1<anW1+a.1)当n=1时，1<a1=1 + a,式成立；2)假设n=k时，式成立，即1<anW1 + a,则当n=k+1时，有1 >aul由数学归纳法可得式成立，所以原命题得证。2 .迭代法。数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意 nC N成立，因此可将其中的 n换成 n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。例4数列an满足an+pan-i+qan-2=0, n>3, q* 0,求证：存在常数 c,使得

8、41+Wxan+二。3j32【证明】+, !-. an+1 + ",；T'-(pan+i+an+2)+" =an+2 (-qan)+-' ” 一-=+ -'.1'一二+an(pqn+i+qan)=q(，-； 二一)-二：).若/+赳4 +於1 =0 ,则对任意n,"冲+1 + "m+j% +酬4 =0,取c=0即可.若白:十赳1口4 +«1 M 0,则1料1+尸/+14 +如x 是首项为+9以/1 +如；,公 式为q的等比数列。所以怎+1+尸/+44+H =(力-尸%口l4眄 qn.2取"-g； +尸4

9、的小胸;)夕即可.综上，结论成立。例 5 已知 ai=0, an+i=5an+",求证：an 都是整数，n N+.【证明】因为ai =0, a2=1,所以由题设知当 n>1时an+i>an.又由an+i=5an+"厘 +1移项、平方得 JTj./+i -+% -1 二 a 当n>2时，把式中的n换成n-1得% + 9-1 一1二° ,即程+i -10%/+1 +% -1 = a 2因为an-i<an+1,所以式和式说明 an-1, an+1是方程x2-10anx+ M -1=0的两个不等根。由韦达定理得 an+i+ an-i=10an(n&

10、gt; 2).再由ai=0, a2=1及式可知，当 nCN+时，an都是整数。3.数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。1例 6 已知 an=- +/(n=1,2,)，求 S99=ai+a2+a99.112 M2】阅+4“ +4】叩f_ 1【解】因为an+ai00-n=9R +/F而=产乂2 + *少+甲2)=丽，1部1 99 _ 99所以S99='例7求和：及Ix2x3 + 2x3x4 +/养 + 1)也+2)【解】一般地,咫七+ 1)兀+2) 加6+!)(£ +2)久火域+1)r+i)3+ ”y所以 Sn=<- 7I：'_,二-：&

11、#187;(» +1)(用+1)(内+ 2)1111p1x 2 2x3 2x3 3x42 12 (理+1)(超+ 2)1 14- 2(«+ !)(« +2)例8已知数列an满足ai=a2=1 , an+2 = an+l+an, Sn为数列的前n项和，求证:Sn<2。【证明】由递推公式可知，数列an前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13。邑二因为2 21224 2$ 261 11235£ +H-+ + - |-?#/尹契/所以- 二-一曰"由-得-二，«2 22 121 f+ 22所以二:十:凡一制。又因为 Sn-2&l

12、t;Sn 且 2>O >0,上M <1 所以2 *2 4 &,所以4 *2,所以Sn<2,得证。4.特征方程法。例 9 已知数列an满足 ai=3, a2=6, an+2=4n+i-4an,求 an.【解】 由特征方程x2=4x-4得xi=x2=2.3次十0故设 an=（ a + 3 n） - 2n-1,其中6 =2必义 2 ,所以 a =3, 3 =0,所以 an=3 2n-1.例 10 已知数列an满足 ai=3, a2=6, an+2=2an+i+3an,求通项 an.【解】 由特征方程x2=2x+3得xi=3, x2=-1,所以 an= a 3n+ 3

13、(-1)n,其中33 解得a =4,34 ,广1 N所以4, 3 o5 .构造等差或等比数列。例11正数列ao,ai,an,满足【解】 由-令加=1+1 ,则bn是首项为1FZ所以bn=Y%+1=2n,所以=程叫7 %口所以 an= 4-L "乂-)nct =注：“1C1 , C2 Cn.=944户科怎-w =2an-1(n> 2)且 a0=a1=1 ,求通项。m-2 J2/一】得1/_i1口I =1,回与+1=2,公比为2的等比数列，(2n-1) 2,口TH.- a0= %】口二九一例12已知数列xn满足xi=2, xn+i= 2% ,n N + ,求通项。【解】考虑函数f(

14、x)= 2H 的不动点，由 2H =x得x=±Y+2因为xi=2, xn+1= 2/ ，可知xn的每项均为正数。 又 9+2 > 2、尼川 ,所以 xn+i> 总(n>1)o 又.十2 I ,叵X +后Xn+l+”= 2%=2%,>0且是首项为解得小二桓. Q + &)- (2-后 。注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。三、基础训练题1 .数列xn满足 xi=2, xn+1=Sn+(n + 1),其中 Sn 为xn前 n 项和，当 n>2 时，xn=12,2 .数列xn满足xi=£ , xn+1=%，则xn的通项xn=.1不/T3

15、 .数列xn满足 xi = 1, xn= J+2n-1(n>2),则xn的通项 xn=.4.5.6.等差数列an满足3a8=5ai3,且ai>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n= 等比数列an前n项之和记为Sn,若S10=10, S3O=70 ,则S40=.数列Xn满足 Xn+1=Xn-Xn-1(n>2), X1 = a, X2=b, Sn=Xl + X2 + Xn,贝U Sl00=7.8.若 二 ', '',并且 Xi+X2+ - + Xn=8,则数列an中，Sn=a1+a2+an=n2-4n+1 贝U|a“+|a2|+|a10|=.当2盘%

16、= 111X1 9 .等差数列an, bn的前n项和分别为Sn和Tn,若7M加+1 ,则w!200710 .若 n!= n(n-1)2 1,则虺11 .若an是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2 Tog2a3+ log2a2log2a5+log2a2 log2a6+ log2a5 log2a6=36,求 L * J 的通项。12 .已知数列an是公差不为零的等差数列，数列4是公比为q的等比数列，且b1=1,b2=5, b3=17,求：(1) q 的值；(2)数列bn的前 n 项和 Sn。四、高考水平训练题L 1 f L1)工+H V-2 I 2)1 2五一 1-

17、<1卜-1(工之1)了1 .已知函数f(x)=1,若数列an满足a二,an+1=f(an)(n CN+),贝 U a2006=.2 .已知数列an满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+ +(n-1)an-1(n> 2),则an的通项"1【制-1)5 之 2)an=.3 .若an=n2+&,且an是递增数列，则实数 兄的取值范围是 .24 .设正项等比数列an的首项a 二 2 ,前n项和为Sn,且210S30- (21°+1) S20+S10=0,则5 .已知i+ (疗- IT 3 ,则a的取值范围是.6 .数列an满足an+i=3an+n(n N

18、+),存在 个ai值，使an成等差数列；存在 个ai值，使 an成等比数列。7 .已知1a黯一向泛(n N+),则在数列an的前50项中，最大项与最小项分别是8 .有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四 个数的和中16,第二个数与第三个数的和是12,则这四个数分别为 .9 .设an是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于 Sn与2的等比中项，则an=.10 .在公比大于1的等比数列中，最多连续有 项是在100与1000之间的整 数.11 .已知数列an中，anH0,求证：数列an成等差数列的充要条件是H1十十-的即 口融 的4群1641

19、(n>2)恒成立。1J12 .已知数列an和bn中有 an=an-1bn, bn=k-，(n>2),当 a1=p, b1=q(p>0, q>0)且 p+q=1 时，(1)求证：an>0, bn>0 且 an+bn=1 (nC N) ; (2)求证：an+1=&n ; ( 3)求数列13 .是否存在常数 a, b, c,使题设等式+ 1)1 22+2 32+n (n+1)2=12(an2+bn+c)对于一切自然数n都成立？证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1 .设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3,且各项和为972,这样的数 列共有 个

20、。2 .设数列Xn满足X1 = 1, Xn= 2/,7 ,则通项Xn=.加工二门§3 .设数列an满足a1=3, an>0,且 - f 则通项an=4 .已知数列a0, a1, a2,，an,满足关系式(3-an+1) (6+an)=18,且ao=3,则5 .等比数列 a+log23, a+log43, a+ log 83 的公比为=.6 .各项均为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有 项.2十±十/7 .数列an满足ai=2, a2=6,且=2,则Gi + +击卸iifn 5 -.8 .数列an称为等差比数列，当且仅当此

21、数列满足ao=0, an+i-qan构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由 100以内的自然数构成等差比数列而差比大 于1时，项数最多有 项.%为偶数« 29 .设hC N+,数列an定义为：a0=1, an+i=怎+无怎为奇数。问：对于怎样的乩存在大于0的整数n,使得an=1 ?10 .设ak1为一非负整数列，且对任意k> 1,满足ak> a2k+a2k+1, (1)求证：对任意正整数n,数列中存在n个连续项为0; (2)求出一个满足以上条件，且其存在无限个非 零项的数列。11 .求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,，使得a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=六、联赛二试水平训练题1 .设an为下述自然数 N的个数：N的各位数字之和为 n且每位数字只能取 1,3或4, 求证：a2n是完全平方数，这里 n=1,2,.2 .设a1, a2,，an表示整数1, 2,，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质 的排列数目： a1=1;