第13章投资组合理论

1、第第1313章章 投资组合理论投资组合理论学学 习习 目目 标标通过本章的学习，了解投资组合理论的发展过程，知道证券投资学中所讲风险的涵义。掌握风险管理的基本方法，熟悉风险资产组合的效率边界及引入无风险资产后效率边界的变化，了解投资者的无差异曲线及理性投资者的选择过程。 本章结构框架本章结构框架 第一节第一节 投资组合理论的起源投资组合理论的起源 一、马科威茨对投资组合理论的思考一、马科威茨对投资组合理论的思考 二、托宾对投资组合理论的思考二、托宾对投资组合理论的思考 第二节第二节 风险管理概论风险管理概论 一、一、 风险的涵义风险的涵义 二、风险管理的方法二、风险管理的方法 三、风险的度量三

2、、风险的度量 第三节第三节 组合的收益率与风险组合的收益率与风险 一、组合投资理论的基本假设一、组合投资理论的基本假设 二、二、 两种资产组合的期望收益率和标准差两种资产组合的期望收益率和标准差 三、三、 n n种资产组合的期望收益率和标准差种资产组合的期望收益率和标准差 四、寻找最优投资组合的数学方法四、寻找最优投资组合的数学方法 第四节第四节 投资者的最优化选择投资者的最优化选择 一、投资者效用与无差异曲线一、投资者效用与无差异曲线 二、二、 效用函数与最优投资组合选择的图形分析效用函数与最优投资组合选择的图形分析 三、三、 风险资产与无风险资产的组合风险资产与无风险资产的组合 第一节第一

3、节 投资组合理论的起源投资组合理论的起源 一、马科威茨对投资组合理论的思考一、马科威茨对投资组合理论的思考 20世纪50年代初期，马科威茨在美国的芝加哥大学攻读博士学位期间，受到前人研究成果的启发，把投资者在不确定性条件下面对各具特点的多种资产的多维选择问题转化成了一个二维组合问题，即期望收益率与收益率方差的问题。并进一步阐述了实际计算最优证券组合的问题可以怎样简化为一个数学上的二次规划问题。他将此成果写成了博士论文并发表于1952年3月份的金融学杂志（The Journal of Finance）。1959年，在其博士论文的基础上，马科威茨完成专著组合选择：有效的分散化。 1970年度诺贝尔

4、经济学奖获得者保罗萨缪尔森（Paul A.Samuelson，1915-）在他的经典著作究竟有多伟大一文中如此写到：“这个时期的名著之一，哈里马科威茨发表的1959年的考尔斯基金会专著，改变了现实世界成千上万的实践者从事证券交易的方式，就这一点说，无论是庇古、萨缪尔森还是约翰多伊都没有一部著作起到过这种作用” 。 由于马科威茨对证券投资理论的杰出贡献，1990年哈里马科威茨与默顿米勒及威廉夏普共同分享了当年的诺贝尔经济学奖。二、托宾对投资组合理论的思考托宾对投资组合理论的思考 詹姆斯托宾（James Tobin,1918-2002）于1958年2月，在一篇刊登于经济研究评论（The Revie

5、w of Economics Studies）的文章“流动性偏好作为处理风险之行为”中，将马科威茨的资产选择理论拓宽到所有物质资产和金融资产的分析，形成托宾马科威茨资产选择模型。 后来托宾认识到：“如果马科威茨的模型中的各种资产，有一项是无风险资产，此一事实将会衍生出许多有趣的结果。” 最终，托宾把资产组合选择理论发展成了一种金融和实物资产的一般均衡理论，并且分析了金融和实物资产之间的相互作用。这种分析的一个重要部分是研究把金融市场上的变化传递到家庭和企业的支出决策的传送机制。这类经济研究的经典问题以前从未满意地和总结性地研究过。托宾的研究成为核心经济理论中实物和金融状况结合方面的一次重大突破

6、。托宾也因其对主流经济理论的重大贡献，独自荣获了1981年度诺贝尔经济学奖。 保罗萨缪尔森在一篇文章中曾如此写道：“如果要推选一名20世纪后期美国诺贝尔奖获得者的典型代表，我会推选托宾，因为他的确成为这群杰出人士的代表。能获得与托宾同样的荣誉是我的荣幸。” 第二节第二节 风险管理概论风险管理概论 一、风险的涵义一、风险的涵义 在投资学中，风险是指投资结果的不确定性。 风险的结果可能是坏的，也可能是好的。它既包含对投资者不利的一面，也包括对投资者有利的一面。风险不仅包括负面效应的不确定性，还包括正面效应的不确定性。 不确定性是风险的必要条件而非充分条件。例如，拥有远期合约的人就其资产价格来讲是没

7、有风险的，但该资产未来的价格是不确定的。 理性人在相同的期望收益下更愿意做出低风险的选择（风险偏好）。 如果你情愿在一项投资上接受一个较低的预期回报率，因为这一回报率具有更高的稳定性，那么你就是一个风险厌恶者。在投资学中，我们一般假定投资者是风险厌恶者，市场必须提供足够的风险报酬人们才愿意投资于风险性资产。 风险报酬风险报酬是市场为了促使风险厌恶者购买收益率不确定的资产而向人们提供的额外收益，也叫风险补偿。风险报酬的计算公式是：风险报酬风险报酬= =风险资产期望收益率无风险资产收益率风险资产期望收益率无风险资产收益率例如，假设无风险资产A的收益率为3%，风险资产B的收益率分别以0.5的概率取值

8、1%和9%，并且假定市场处于均衡状态，那么这时市场的风险报酬就是2%。%2%35 . 0%95 . 0%1二、风险管理的方法风险管理的方法 风险回避，指一项有意识地避免某种特定风险的决策。 预防并控制损失，指为了降低发生损失的可能性或严重性而采取的行动，这种行动可以在损失发生之前、之中或之后采取 。 风险留存，指投资者自己承担风险并以自己的财产来弥补损失 。 风险转移，指采取行动将部分或全部风险转移给他人 。风险转移的主要方法有以下几种：套期保值，是通过采取措施将未来的收益锁定，从而避免风险的方法。保险，是通过支付额外费用（保险费）来转移风险的行为 。分散投资，是指同时持有多种风险资产，而不是

9、将所有的投资集中于一项。 三、风险的度量三、风险的度量 在金融投资学中，人们常用收益率的标准差（有时也用在金融投资学中，人们常用收益率的标准差（有时也用方差）作为投资风险的度量工具。标准差为零的资产称方差）作为投资风险的度量工具。标准差为零的资产称为无风险资产，标准差大于零的资产称为风险资产。标为无风险资产，标准差大于零的资产称为风险资产。标准差越大，表示投资的风险越大。准差越大，表示投资的风险越大。 如果随机变量的分布函数是如果随机变量的分布函数是 ，那么它的数学期望计，那么它的数学期望计算公式为：算公式为： 方差计算公式为：方差计算公式为： 标准差计算公式为：标准差计算公式为： )(xF)

10、(xxdFE)()(22xdFEx21)()(2xdFEx 当随机变量是离散型时，它的数学期望、方差、标准差计算公式可以进一步表示为： 其中， 表示离散型随机变量的各种可能取值， 表示 出现的概率。 iiipxEiiipEx22)(iiipEx21)(2ixixip 在实际应用中，我们往往用样本均值作为期望收益率的估计值，用样本方差作为收益率方差的估计值，用样本标准差作为收益率标准差的估计值。它们的计算公式如下：样本均值 样本方差 样本标准差 niinXX11niinXXs11122)(niinXXs111212)(第三节第三节 投资组合的收益率与风险投资组合的收益率与风险 在多样化的投资中，

11、有多种多样的资产组合。在众多的投资组合中，投资者如何选择最佳的资产组合呢？马科威茨提出，首先应当建立各种可能的投资组合，这些组合有着不同的期望收益率和风险，然后用数学的方法寻找所有组合的最佳组合。本节我们从一个简单的情形即两种资产的组合入手，对组合投资的基本原理作初步介绍。 一、组合投资理论的基本假设一、组合投资理论的基本假设 马科威茨对理性投资人及其行为特征的基本假设，探讨了寻找有效投资组合的理性人的行为模式。马科威茨作出了如下假设： （1）投资者是风险的厌恶者，风险增加必须由额外的收益率作为补偿。 （2）每一种投资方案给投资者带来的效用都可由收益率的期望值与收益率的标准差（或方差）来描述。

12、 （3）给定一定的风险水平，投资者将选择期望收益率最高的资产或资产组合；给定一定的期望收益率，投资者将选择风险最低的资产或资产组合。 （4）投资者总是谋求个人投资效用的最大化。二、两种资产组合的期望收益率和标准差两种资产组合的期望收益率和标准差 假设有两种风险资产 和 ，它们的投资收益率分别是 和 ，期望收益率分别是 和 ，收益率方差分别是 和 ，标准差分别是 和 ，协方差为 。其中，协方差的计算公式为： 投资者投资于两种风险资产 和 的资金比例分别是 和 ，其中， 。 对于组合 ，期望收益率 与风险 分别是： 1A2A1R2R1ER2ER21221212)(221112ERRERRE1A2A

13、1w2w121 ww),(21wwp pERp2211ERwERwERp122122221122wwwwp12212222212wwwwp 数学上可以证明，通常情况下（ ），组合 的 组合构成风险收益率平面上的一条上凸的二次曲线，如图13-1所示。012),(21wwp ),(ppER期望收益率0 标准差 图图13131 1 投资于两种证券组合的机会集投资于两种证券组合的机会集三、三、n n种资产组合的期望收益率和标准差种资产组合的期望收益率和标准差 假设有n种风险资产 ， ， ，它们的投资收益率分别是 ， ， ， 是第i种资产 的期望收益率。 是资产 收益率的标准差， 是资产 与资产 收益率

14、的协方差。 投资者投资于各种风险资产的资金比例分别是 ， ， ，其 中， 。 对于投资组合 ，它的收益率 、期望收益率 与风险 分别为： 1A2AnA1R2RnRiERiAijiAiiAjA1w2wnw11iniw),(21nwwwppRpERpniiiRwRwRwRRwnnp12211niiiERwERwERwERERwnnp12211njijjinipww11 显然，对于 n种资产的每一可能组合 都有一组唯一的数据 与之对应，因而在风险收益率平面上存在唯一的一点与之对应。数学上可以证明，在 时，这些点的集合不再局限于一条曲线上，而是风险收益率平面上的一个区域，该区域的上边界线是一条上凸的二

15、次曲线，如图13-2所示。 ),(21nwwwp),(ppER2n标准差期望收益率最 小方 差组合机会集图图13132 2 多种证券组合的机会集多种证券组合的机会集 在图132中，最小方差组合是图142最左端的点，它具有最小的标准差。从最小标准差组合点到最高期望收益率点的边界曲线，称为投资的效率边界（efficient border）。效率边界对应的投资组合称为有效组合（efficient portfolio）。所谓有效组合是指这样的一些投资组合：在相同风险条件下，期望收益率最高；在相同期望收益率下，风险最小。 效率边界以外的投资组合与效率边界上的组合相比，有三种情况：相同的标准差和较低的期望

16、收益率；相同的期望收益率和较高的标准差；较低的期望收益率和较高的标准差。效率边界以外的投资组合都是无效的。如果一个投资组合是无效的，可以通过改变投资比例转换到有效组合，达到提高期望收益率而又不增加风险，或降低风险而不降低期望收益率的目的，或者得到一个既提高期望收益率又降低风险的组合。 在效率边界上，相对于同样期望收益率的可行集，标准差最小；相对于同样的标准差的可行集，期望收益率最高。因此，理性投资者应在效率边界上寻找适合自己的投资组合。 四、寻找最优投资组合的代数分析四、寻找最优投资组合的代数分析 1、最小微分法 我们已经知道n种证券组合的方差为 投资者在收益率一定的情况下，总是寻求风险最小的

17、证券组合，也就是要在给定的条件下，求出 的极小值。根据证券组合预期收益率的公式，以及证券组合中各种证券的不同投资比例可以得出以下方程组：ijjnjinipxx112pniinipiinjijjinipxRRxxx111121 其中后面两个式子是第一式的限制条件，利用拉格朗日定理， 引入 ，可得出如下方程： 为使风险最小，将上式对所有的 以及 作偏微分，并令微分方程等于0，得出如下方程组： 21,)1()(121111niipiniiijjnjinixRRxxxYix21, 0100222202220222212221112122112212222211221111222111npnnnnnnn

18、nnnnxxxYRRxRxRxYRxnxxxYRxxxxYRxxxxY 此方程组由n+2个方程式组成，含有 共n+2个未知数，此方程组的解可使 具有如下形式： 其中，i =1,2,n; a, b为常数 给出不同的 ,则可以得到不同的 ，并求出 ，这样可以得到有效集合曲线。 2121,nxxx ixpiiiRbaxPRixp2.二次规划法 用微分法求出有效集曲线，较图示法方便得多，但是当对投资比例 的范围有所限制时，例如 不可以为负值（不得买空卖空），或者规定必须大于或者小于某一数值时，拉格朗日方程 出现了关于 的不等式限制，在这种情况下，微分法就不再适用了，而需要通过二次规划法来处理。用二次规

19、划法确定最优证券组合是马科威茨提出来的，它的数学模型如（）式，其中后三个式子是第一式的限制函数，再加上它对 的限制条件或要求。求解有效集曲线主要是在不同的 的条件下，使方差 为最小，这样反复进行，确定不同的 、 的证券组合。 ixixniinipiinjijjinipPPxRRxxxRY1111221)1(ixixpR2ppRp 第一步一般先找出具有最大 的投资组合，通常这种组合只含有一种证券，就是收益率最大的那种，这一组合称为隅角组合（Corner Portfolios），如图所示的G点；第二步找出第二个有效的隅角组合，即图中的F点，此时投资组合中多了另一种证券， 也改变了，这样反复进行，可

20、以得出另外的一些隅角组合，同时可以得到各组合的 、 以及 等。到了E点附近时，投资组合所包含的证券种类达到最多，而再接下去的组合包含证券种类不会增加，反而有可能会减少，其中D点是最小的投资组合。 二次规划法可以利用电脑来求有效集曲线，这样二次规划法在处理种类很多的投资组合时，应用起来就十分便利。 pRpRpRpix第四节第四节 投资者的最优化选择投资者的最优化选择 一、投资者效用与无差异曲线投资者效用与无差异曲线 所谓消费者的所谓消费者的无差异曲线无差异曲线，就是能给消费者带来相同效用的一些点，就是能给消费者带来相同效用的一些点的连线。的连线。 比如有比如有A A、B B两种商品可供消费者消费

21、，当消费者少消费一个单位的两种商品可供消费者消费，当消费者少消费一个单位的商品商品A A时，必须从消费更多的商品时，必须从消费更多的商品B B中得到补偿，这样消费者的满足中得到补偿，这样消费者的满足程度才会保持不变。如图程度才会保持不变。如图13-413-4所示：所示： 一方面，同一条曲线上，给消费者一方面，同一条曲线上，给消费者 带来的效用是一样的。另一方面，带来的效用是一样的。另一方面， 曲线曲线S S1 1上的点比曲线上的点比曲线S S2 2的点代表着的点代表着 更多的商品消费，因而消费者在曲更多的商品消费，因而消费者在曲 线线S S1 1获得的满足程度比曲线获得的满足程度比曲线S S2

22、 2的满的满 足程度更大，代表着获得了更大的足程度更大，代表着获得了更大的 消费者效用。消费者效用。 0 商品BS3S2S1商品A 图图13134 4 消费者无差异曲线消费者无差异曲线 类似于消费者无差异曲线可以分析消费者的行为特征，我们也 可以用投资者无差异曲线来分析投资者的行为特征。 投资者效用，是一种衡量投资者对不同投资组合的偏好或满足 程度的尺度（Measure of Satisfaction）。投资者投资时必须考虑的两个因素是：收益率与风险。一项投资给投资者带来的效用，既与期望收益率有关，也与收益率的标准差有关。当期望收益率增加时，投资者的效用增加；波动性增加时，投资者的效用减少。

23、投资者在承担更多风险后，必然要求有更大的期望收益率。因此对投资者来说，期望收益率和风险是可以相互替换的。期望收益率和风险的各种可能的组合，可以使投资者得到同样的满足和效用。 如果我们以风险（标准差）作横轴，期望收益率作纵轴，建立一个平面直角坐标系，那么每一点就代表一个风险收益组合。有时候，对于不同的点，给投资者带来的效用可能是相同的。我们将那些为投资者带来相同效用的点连接起来，就构成了一条投资者无差异曲线。 我们通常假设所有的投资者都是风险厌恶者，但各人的风险厌 恶程度并不一样。一些投资者可能是高度厌恶风险的，一些则 可能是轻度厌恶风险的，而另外一些投资者的风险厌恶程度介 于两者之间。风险厌恶

24、程度越高的投资者，他的无差异曲线就越陡峭。如图。 投资者无差异曲线具有以下性质：投资者无差异曲线具有以下性质：性质1：位于无差异曲线上的所有组合点都向投资者提供了相 同效用。性质2：任何两条无差异曲线都不相交。这是因为位于同一条 无差异曲线上的所有投资组合，对投资者来说都具有相同的效 用，这一特点反映在图形上就是无差异曲线之间不能相交。性质3：位于上方的 无差异曲线，较下方的无差异曲线给投资者的效用 要大。这是因为在同样的风险水平上，投资者的期望收益率增 加的原因。性质4：无差异曲线由投资者的个人主观确定，不同投资者的无差异曲 线的形状也不同。 投资者无差异曲线与消费者无差异曲线相比有如下区别

25、：投资者无差异曲线与消费者无差异曲线相比有如下区别：1.消费者无差异曲线是一组向右下方倾斜的直线，投资者无差异曲线是一组向右上方倾斜的直线。2.对消费者来说，无差异曲线离原点越远，提供的满足程度越高；对投资者来说，无差异曲线越向上，提供的满足程度越高。 3.消费者无差异曲线的斜率是由两种商品的边际替代率决定的，而投资者无差异曲线的斜率则取决于投资者对收益的偏好和对风险的厌恶程度。二、效用函数与最优投资组合选择的图形分析二、效用函数与最优投资组合选择的图形分析 由于效率边界上具有较高期望收益率的投资组合总是具有较高 的风险，因而投资者必须清楚地了解：在承受的风险增大后， 他应要求增加收益。这种收

26、益与风险之间的替换，依赖于投资者对收益率增长的态度和风险厌恶程度。为此，投资者必须进行证券组合的效用分析，也就是说，在效率边界上寻找使自己效用最大的点。 最优投资组合的确定有以下三个步骤：最优投资组合的确定有以下三个步骤：第一步，证券分析。对被考虑的所有证券的期望收益率和风险，逐个进行分析。分析每一对证券的相关关系。资料来源于基本分析或历史的比较。第二步，证券组合分析。在预测单个证券的基础上，进行证券的组合，从可能得到的证券组合中运用数学方法求得证券组合的效率边界，并将其图形在直角坐标系中绘制出来，然后再绘制出反映投资者风险偏好的一组无差异曲线。第三步，投资者对最优证券组合的选择。证券组合的效

27、率边界和无差异曲线的切点就是投资者的最优投资组合。 图中ef为效率边界， 、 、 为一组反映中等风险厌恶者 的无差异曲线， 、 、 为一组反映强烈风险厌恶者的无差异 曲线，其中 和 的效用期望值最大，但未能与效率边界相切 从而不能形成任何有效证券组合； 、 的效用期望值低，故它们与有效边界的交点 、 都是不可取的。效率边界与 、 的切点B、A是最优投资组合，中等厌恶风险者选择B点，强烈厌恶风险者选择A点，尽管他们的证券组合不同，但都能获得最大的预期效用。 1U2U3U1U2U3U3U3U1U1UBA2U2U三、三、风险资产与无风险资产的组合风险资产与无风险资产的组合 马科威茨的模型只是讨论了风

28、险资产间的选择问题，而没 有考虑无风险资产的投资问题。 1958年，托宾在马科威茨研究 的基础上讨论了在投资组合中加入无风险资产的情形。托宾的分析表明，如果在投资组合中加入无风险资产，资产组合的效率边界将变为一条直线。 1 1机会线机会线无风险资产与一种风险资产的组合无风险资产与一种风险资产的组合 设无风险资产的收益率为 ，风险资产的收益率为 ，投资者投资于无风险资产的资金比例为 ，则投资者投资于风险资产的资金比例为 ，对投资组合 则有 消去 ，得 fRpRww1)1 ,(ww pfRwwRR)1 ( pfERwwRER)1 ( pRw)1(wRpfpfRERRER 上式表明，对任一可能的投资

29、组合而言，组合的期望收益率是 标准差的线性函数。这方程的图形是一条直线，我们把这条直 线称为投资的机会线机会线，如图137所示。 机会线的斜率 表示对投资者愿意承担的每一单位的额外风险，市场所能提供的额外的期望收益率，即所谓的风险补偿。此时，资产组合的期望收益率为 ER pRfR图图13137 7 无风险资产与一种风险资产组合的机会线无风险资产与一种风险资产组合的机会线 pfpRER)(1(fPfRERwRER2 2、资本市场线、资本市场线无风险资产与多种风险资无风险资产与多种风险资 产的组合产的组合 我们进一步假设所有投资者资产的统计特征如期望收益率、 标准差、协方差都有相同的看法，由此，在

30、存在多种风险资产时，各个投资者具有共同的效率边界。这时，在投资者的备选集合中加入无风险资产，显然，从无风险资产的收益率（Y轴的 ）往所有风险资产的效率边界引任何一条直线，都是投资的可行集。但斜率最大的那条直线，即从Y轴的 出发到多种风险资产组合效率边界的切线 M（切点M），在同样的风险下，期望收益率最大，该直线因此成为引入无风险资产后所有可能的投资组合的效率边界。我们将该直线称为资本市场线(Capital Market Line，简称CML)，如图所示（见下页）。 资本市场线方程为： 式中， 为无风险资产收益率， 为切点组合M的收益率； 为切点组合收益率的标准差。 fRfRfRpMRMERfRpERffRMERM 有效投资组合P的期望收 益率分成两个部分，一 部分是Rf ，这是由时间创 造的，是对放弃即期消费 (即等待时间)的奖励；另 一部分 (风险价