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文档简介

1、第九章 二次型1.设A,B是阶对称矩阵,B是非奇异的.又设的根互异,分别是齐次线性方程组的非零解,证明:的线性无关.2.设A,B,C为阶方阵,且正定,证明:也是正定的.3.用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并用矩阵验算所得结果：(1) ；(2) ；(3) +；(4) ，其中4.设实二次型=，证明：的秩等于矩阵的秩5设A是n阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c使对任一个实n维向量X都有.6证明:(1) 如果是正定二次型，那么是负定二次型；(2)如果A是正定矩阵，那么，这里是A的阶的顺序主子式(3)如果A是正定矩阵，那么. (4)如果是阶实对称矩阵,那么7证明：实对称矩阵A是半正定的充分必要条件

2、是A的一切主子式全大于或等于零（所谓k阶主子式是指形为的k阶子式，其中）第九章 二次型一、填空题(第小题3分,共15分)1二次型的矩阵为 2实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为 类3两个元实二次型等价的充分必要条件是 4A正定 5某四元二次型有标准形，则其典范形为 二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由每小题5分，共20分）1元实二次型的符号差与秩有相同的奇偶性2阶实对称矩阵A若满足，则A正定3A为阶复对称矩阵，则与合同4设A，B分别是阶正定矩阵，则也是正定矩阵三、计算题（每小题15分，共45分）1用可逆线性替换将二次型化为标准形写出所用的线性变换及变换矩阵，并求出的正惯性指数与符号差2设矩阵其中为实数，I为单位矩阵求对角矩阵，使B与相似，并求为何值时，B为正定矩阵3已知二次型通过正交变换化为标准形，求的值及所作的正交变换四、证明题（第小题10分，共20分）1A为实对称矩阵，B为对称正定矩阵，证明：存在可逆矩阵T，使

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