[奥数课堂]往返行程问题的解法探讨

1、奥数课堂往返行程问题的解法探讨不少学生在解答往返行程问题时往往束手无策，有的虽能解出，但过程冗长、步骤繁琐，究其原因是还没有把握住这类题的基本特征。现以下面几道题为例，说明只有掌握它们的特征，才能得出简捷的解法。 例1 甲乙两辆汽车分别从相距63千米处的矿山与堆料场运料同时相向开出，时速分别为40千米和50千米，如果不计装卸时间，那么，两车往返运料自出发到第三次相遇共经过多少时间？该题为往返行程问题，即两者往返于两地之间，不止一次地相遇。这种问题除具备相遇问题的特征外，还有如下特征：由图可见，第一次相遇两车行的路程和等于两地距离。以后每增加一次相遇，两车行的路程和为两地距离的2倍。故到第三次相

2、遇，两车行的总路程为两地距离的5倍，这样便不难得出该题的解法：63×5÷（40+50）=3.5（小时）掌握了上述特征后，就能把较复杂的往返行程问题化难为易，解法化繁为简。如：例2 甲、乙两人同时从东西两镇相向步行，在距西镇20千米处两人相遇，相遇后两人又继续前进。甲至西镇、乙至东镇后都立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇距离？解法一 设东西两镇相距为x千米，由于两次相遇时间不变，则两人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程：所以东西两镇相距45千米。解法二 紧扣往返行程问题的特征，两人自出发至第二次相遇所走路程总和为东西两镇距离的3倍，

3、而第一次相遇距西镇20千米，正是乙第一次相遇前所走路程，则从出发至第二次相遇乙共走（20×3=）60（千米），第二次相遇时乙已从东镇返回又走了15千米，所以，两镇的距离为（20×3-15=）45（千米）例3 甲乙两人同时从东镇出发，到相距90千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行30千米，乙步行每小时行10千米，甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。问这时乙走了多少千米？解法一 东西两镇相距90千米，甲每小时行30千米，共需（90÷30=）3（小时）。连办事共用了（3+1=）4（小时）。乙每时行10千米，4小时共行（10×4=）40（千米）。这时

4、两人相距（90-40=）50（千米），两人正好同时从 A、B相向而行，其相遇时间为（50÷（30+10）=）1.25（小时）。于是乙从出发至相遇经过了（4+1.25因此，共走了10×5.2552.5（千米）。解法二 根据题意可知甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇（乙未到西镇，无返回现象），故两人所行路程总和为（90×2=）180（千米），但因甲到西镇用了1小时办事。倘若甲在这1小时中没有停步（如到另一地方买东西又回到西镇，共用1小时），这样两人所行总路程应为：90×2+30=210（千米），又因两人速度和为30+10=40（千米），故可求得相遇时间为：（21

5、0÷40=）5.25（小时），则乙行了（10×5.25=）52.5（千米）。例4 快慢两车同时从甲乙两站相对开出，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需行15小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留1小时返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时？解法一 240÷6=40（千米）（慢车速度）40×15=600（千米）（甲乙两站距离）（600-240）÷6=60千米（快车速度）快车第一次相遇后继续前进至乙站，又开了（240÷60=）4（小时），连停留时间共用了4.5小时。慢车第一次相遇后，向前开了4.5

6、小时，应行（40×4.5=180（千米），到A处，这样慢车距离甲站还有（600-240-180=）180（千米），如继续开到甲站，加上停留时间，还要用（180÷40+1=）5.5（小时）。在这5.5小时中，快车又从乙站返回开至B处，距甲站为（600-60×5.5）270（千米）。这时就相当于两车从相距270千米的两地（甲站和B处）同时相向开出，则可求出其相遇时间为：270÷（60+40）=2.7（小时）最后，求得慢车从第一次相遇到返回途中再相遇所经过的时间为（4.5+5.5+2.7=）12.7（小时），即为问题所要求的。解法二 根据往返相遇问题的特征可知，从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离的2倍，再根据例3解法二的设想方法，即假设快车不在乙站停留0.5小时，慢车不在甲站停留1小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为600×2+60×0