圆的概念及确定 人教版

1、圆的概念及确定一. 本周教学内容： 圆的概念及确定教学目标 1. 了解圆的定义，点与圆的位置关系；理解等圆、等弧的概念和与圆有关的概念。 2. 了解轨迹的意义，掌握五个基本轨迹。 3. 圆的定义 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。定点称为圆心，定长称为半径。 4. 圆外部分、圆内部分 5. 点和圆的位置关系 点和圆的位置关系有：点在圆内、圆上，圆外三种，设O的半径为r，点P和圆心O的距离为d，则有： 点在圆内； 点在圆上； 点在圆外。 6. 理解定理，不在一直线上的三点确定一个圆，并掌握不在同一条直线上三点作圆的方法。 7. 会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆。 8. 了解三角形外心的概念

2、。 9. 过三点的圆 确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径（定长），确定圆的大小。只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定。 此外，下列条件都可以确定圆心和半径，因而都能确定圆：（1）经过不在一直线上的三点的圆；（2）已知圆心和圆上一点的圆；（3）以已知线段为直径的圆。 特别要注意的是，过任意三点不一定能作圆，如果三点在同一直线上，则不能作圆。 10. 反证法 从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法。二. 重点、难点： 圆的概念及三点确定一个圆的方法。【典型例题】 例1. 如图所示，已知矩形ABCD的边。 （1）以点A为圆心，4cm为半径作A

3、，则点B、C、D与A的位置关系如何？ （2）若以点A为圆心作A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则A的半径r的取值范围是什么？ 点悟：要判定B、C、D与A的位置，只须比较AB、AC、AD的长度与半径4cm的大小。 解：（1）AB3cm4cm 点B在A内 AD4cm 点D在A上 点C在A外 （2）AB3cm，AD4cm，AC5cm 也就是说，B点到圆心A的距离3cm是最短距离，C点到圆心A的距离5cm是最长距离。 使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，A的半径r的取值范围是3cmr5cm。 点拨：要判定平面上一点与圆的位置关系，只须比较该点到圆心的距离与

4、半径的大小。 例2. 画图说明满足下列条件的点的轨迹。 （1）经过点A，且半径等于2cm的圆的圆心轨迹； （2）边，面积为的ABC的顶点A的轨迹。 点悟：（1）圆心是动点，且圆要经过点A，故圆心必须到定点A的距离等于2cm，属轨迹1。 （2）因为ABC的面积为，底BC1cm，故BC边上的高为1cm，动点A必须到直线BC的距离等于1，属轨迹4。 解：（1）经过点A，且半径等于2cm的圆的圆心轨迹，是以A为圆心，2cm为半径的圆。如图所示（甲）： （2）边，面积为的ABC的顶点A的轨迹，是平行于边BC，且到边BC的距离等于1cm的两条平行线。如图所示（乙）： 点拨：根据给定的条件，探求并确定符合条

5、件的轨迹图形，通常是转化为五个基本轨迹。 例3. 下图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点。甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（ ） A. 甲先到B点B. 乙先到B点 C. 甲、乙同时到B点D. 无法确定（2002年吉林） 解：设大圆的半径为R，小圆的半径分别为，则 故大圆的半周长与四个小圆的半周长相等。 因此，甲、乙两虫同时到达B点。 故选C。 例4. O半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点距离为1，问P点、Q点和O是什么位置关系？为什么？ 点悟：这是一个很有趣的问题。打一个比方，若把O点看作太阳，则P点好比是地球，Q点好

6、比是月亮。P点到O点距离是2，P点运动时，带着Q也运动，则PQ始终是1。 解：PO2.5 P点在O内部 Q点和O点的距离较复杂，当Q点在OP延长线上时，Q点和O点距离最大，最大距离是3；当Q点在OP上时，Q点和O点的距离最小，最小距离是1；当Q点处在点和点时，。如图所示： Q点既可能在O上，也可能在O外，O内。 例5. 求证：菱形四条边中点在以对角线的交点为圆心的同一圆上。 已知：如图所示，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。 求证：E、F、G、H四个点在以O为圆心的同一圆上。 点拨：判定E、F、G、H四个点在同一圆上，根据圆的定义，它们

7、应到定点距离都等于定长。因为E、F、G、H是菱形各边的中点，根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长，因此命题得证。 证明：连结OE、OF、OG、OH 四边形ABCD为菱形 ABBCCDDA，且BDAC E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 E、F、G、H四点在以O为圆心的圆上 点拨：本题为文字叙述题，所以应先写出已知和求证并画出图形；证点共圆，只须证这些点与定点的距离相等即可。 例6. 如图所示，A、B、C、D、E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（

8、 ） A. B. C. D. 解： 故选B 常见错误：误以为五边形内角和为360°，而错选A；或误以为五边形内角和为720°，而错选C。 例7. 如图所示，是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，试找出它的圆心。 点悟：若求出所在的圆的圆心和半径问题则解决了。又知道不在同一直线上的三点确定一个圆。故应在弧AB上找三个点，即可通过作弦的垂直平分线方法找到圆心。 作法：（1）在上任取一点C。 （2）连结AC、BC。 （3）分别作AC、BC的垂直平分线a、b，a与b相交于点O。 则点O即为所求的圆心。 点拨：此题是已知三点作圆的运用，它是已知圆找圆心。 例8. 如图所示，在ABC中，D、

9、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O，证明BD和CE不可能互相平分。 点悟：结论带否定词“不”的问题适合于用反证法证明，我们不妨一试。 证明：假定BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形。 BECD，这与已知BE和CD相交于A相矛盾 BD和CE不可能互相平分 点拨：应用反证法时，叙述要科学规范。 例9. 用反证法证明：三角形中，至少有一个内角大于或等于60°。 证明：假设三角形的三个内角都小于60°，则这个三角形的内角和小于180°，这与三角形内角和定理矛盾。 所以，三角形中，至少有一个内角大于或等于60°。 例10. 如图所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OAOB，OCOD。 证明：四边形ABCD一定有外接圆。 点悟：如果能证明四边形的三条边的垂直平分线相交于一点就是了，由题设可以证明AB、CD有公共的垂直平分