达朗贝尔原理

1、第十二章动静法达朗贝尔原理(动静 §12-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理NF F a m +=0=+a m F F N 令a m F I =惯性力a (0F F F I N =+有质点的达朗贝尔原理:作用在质点的主动力、设非自由质点的质量为m ,加速度为a ,作用在质点上的主动力为约束力为根据牛顿第二定律,有,F ,F N需要指出的是:实际质点上只受主动力和约束题,所以亦称动静法。需要指出的是:实际质点上只受主动力和约束力的作用,惯性力并不作用在质点上,质点也非处于平衡状态。达朗贝尔原理将动力学问题转化为静力学问题,所以亦称动静法。b (0F F F 0F F F 0F F

2、 F Iz Nz z Iy Ny y Ix Nx x =+=+=+式(a 的投影式为例12-1用达朗贝尔原理求解例10-3已知:o 60 ,m 3.0,kg 1.0=l m 求:.,T F v 0=+I T F F g m 0mg cos F ,0F T b =0sin ,0n I T n F F F 解得N 96.1cos =mg F T s m 1.2sin 2=ml F v T sin l v m r v m ma F 22n n I =解:§12-2 质点系的达朗贝尔原理记(e iF 为作用于第i 个质点上外力的合力。(i i F 为作用于第i 个质点上内力的合力。则有(=+

3、=+0F M F M F M 0F F F Ii 0ii 0e i 0Ii i i e i n21i 0F F F Ii Ni i ,L =+质点系的达朗贝尔原理:质点系中每个质点上作用的主动力,约束和它的惯性力在形式上组成平衡力系。因(=,0,00i i i i F M F 有(=+=+0000Ii e i Ii e i F M F M F F 也称为质点系的达朗贝尔原理:作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。例12-2如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘上,绕水平轴O 转动。垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量为m 1和m 2的重物(m 1>

4、m 2,绳与轮间不打滑,轴承摩擦忽略不计,求重物的加速度。 解:a m F a m F I I 2211,=,a m r m F i i tIi =(=0,02211ar m r a m g m a m g m M i O 由(=mar ar m ar m i i 解得g mm m m m a +=2121r v m F i n Ii 2=例12-3飞轮质量为m,半径为R,以匀角速度定轴转动,设轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮 缘上,不考虑重力的影响。求:轮缘横载面的张力。 理论力学傅莉霞解:22R R R m a m F i nii Ii = 0cos ,0=A Ii x F F F =0s

5、in ,0B Ii y F F F令,0i 2mR R 2m F 2220A =d cos 2mR R 2m F 2220B =d sin理论力学傅莉霞§12-3刚体惯性力系的简化z 惯性力系:与一般力系一样,所有惯性力组成的力的系统。C i i Ii IR a m a m (F F =(=Ii O IO F M M 惯性力系中所有惯性力的矢量和称为惯性力系的主矢。惯性力系中所有惯性力向同一点简化,所得力偶的力偶矩矢量的矢量和称为惯性力系的主矩。惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。理论力学傅莉霞1. 刚体平动时惯性力系向质心简化第i 个质点的惯性力

6、为Ci i i Ii a m a m F =向任意一点O 简化CC C i i i i i Ii i IO a r m a r m (a m (r F r M ×=×=×=×=假如选质心C 为简化中心,则主矩0r 0a r m M C C C IC=×=Q 平动刚体的惯性力系可简化为一个通过质心的合力,其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,方向与加速度相反。CIR C IR a m F = 理论力学傅莉霞2yz xz Ix J J M =同理2xz yz Iy J J M +=(+=n i I z ti I z Iz F M F M M 因(有,

7、0=nIi z F M (z ii i i i t Ii z Iz J r m r r m FM M =2k M j M i M M iz Iy Ix IO +=所以,刚体定轴转动时,惯性力系想转轴上任意一点O 简化的主矩如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中心取此平面与转轴的交点,则=0,0i i i yz i i i xz z y m J z x m J 有z Iz IO J M M =具有质量对称面的刚体绕垂直于对称面的轴转动时,其惯性力系向轴心简化的结果,得到一个力和一个力偶。力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积,方向与质心加速度方向相反,作用在简化点O。力偶的力偶矩的大小

8、等于刚体的转动惯量与刚体角加速度的乘积,转向与转动加速度转向CIR a m F =几种特殊情况;可进一步简化:转轴通过质心,角加速度0(a ,由于a c =0,惯性力系简化为一力偶,刚体作匀角速度转动,即角加速度=0 (b ,但转轴不通过质心,惯性力系简化为一合力,转轴通过质心,且角加速度=0(c ,则惯性力系的主矢和主矩均为零,即惯性力系为平衡力系。C IC J M =。其大小为2C I nc I mr F ,a m F = 3.刚体作平面运动CIR C Ic a m F J M =具有质量对称平面,且运动平面平行于质量对称面。例12-4如图所示均质杆的质量为m,长为l,绕定轴O转动的角速度

9、为,角加速度为。求:惯性力系向点O简化的结果(方向在图上画出。 解:t IO 2l m F t IO =2n IO22l m F n IO =2IO 231ml M IO =例12-5如图所示均质圆盘质量m ,半径R,在O处铰接,B处支承。已知:OB=L。求:用动静法求撤去B 处的约束瞬时,质心C 的加速度和O处约束反力。 解:运动与受力分析圆盘在撤去B 处的约束瞬时,以角加速度绕O 轴作定轴转动,质心加速度a c =R ,这一瞬时圆盘的角速度= 0 。受力如图(b 。确定惯性力C C 22O IO CI mRa 23R a mR mR 21(J M ma F =+= 建立平衡方程,确定质心加

10、速度及O 处约束力应用动静法,建立下列平衡方程mg cos F F ,0F 0sin F F ,0F 02L mg M ,0F (M I Oy x I Ox x IO O =+=R 2L cos R 2L R 4sin 2 2=,其中(解得2222Ox C L L R 4R 6mgL F R 3gL a =例12-6如图所示均质圆轮在无自重的斜置悬臂梁上自上而下作纯滚动。已知:半径R=10cm、质量m=18 kg;AB长l =80 cm;=60°。求:圆轮到达B 端的瞬时,A端的约束力。 解:方法一:运动与受力分析 以圆轮为研究对象,并设圆轮到达B 端瞬时的角加速度为。圆轮作纯滚动,

11、其质心加速度的大小a c =R 。按照平面运动刚体惯性力系统、简化的结果施加惯性力F I 、M IC ,受力如图(b 。确定惯性力(21(2b mR J M a mR ma F C IC C I =建立平衡方程,求角加速度和惯性力以圆轮为研究对象,根据(有C 0R cos mg M R F ,0F (MIC I B =+=将式(a 和式(b 式代入(c ,得圆轮的角加速度 R3cos g 2=将其代入式(a 和式(b,得惯性力Rmg 3cos M mg 3cos 2F IC I =求A 端约束力以圆轮和杆组成的整体为研究对象,受力如图(c 。建立平衡方程 mg cos F F ,0F 0sin

12、 F F,0F 0M sin mgl cos mgR R F M ,0F (M I Ay x I Ax xA I IC A =+=+=5cos 2N (9.50mg 3sin cos 2F m N (2.122sin mgl R 3cos 2R 3cos sin l cos R (mg M :2Ax A =+=解得方法二:先用动能定理求运动以圆轮为研究对象,3cos 2cos 243cos 43(2dT smg W mv R v mR mv J mv T C c C C C C C C =+=+=cos g 2= 例14-7如图所示,电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在支座上,绞车与梁共重为P。绞

13、盘半径为R,与电机转子固结在一起,转动惯量为J,质心位于O处。绞车以加速度a提升质量为m的重物,其它尺寸如图。已知:.JPR,m,a求:支座A,B受到的附加约束力。 解:ma F I =+=R J ml a Pl mgl l l 1F 23221A解得:Ra J J M 0I =(=+=021322l l F M Pl l F mgl MA IOB 00=+=I B A y F P mg F F F (+=R J ml a l l l P mgl l l F B 13211211上式中前两项为静约束力,附加约束力为+=R J ml l l a FA 221+=R J ml l l a F B

14、121 例12-8已知,均质圆盘,R m 1均质杆,m R 2l =纯滚动。求:F 多大,能使杆B 端刚好离开地面?纯滚动的条件? 解得g m m F 32321+=Ra R m M a m F A A 21121,=I I 30cos 30sin 02I I I =o o gR m R F M R F FR M C A A D 整体为研究对象。圆盘平面运动。ga 3=Q理论力学傅莉霞得g m F s 123=解得(13m F f s s =(gm m f F f F s N s s 21+=由(00021=+=a m m F F F F F F Fs IA IC s x 纯滚动的条件为 理论

15、力学傅莉霞=+=0F F F F 0Fx I x R x B x A x §12-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力=+=0F F F F 0F y I y R y B y A y =+=0F F 0F z R Bz z =+=00x I x y A y B x M M OA F OB F M 00=+=y I y Bx Axy M M OB F OA FM解得(OBMMOBFMABFIxIxRxyAx+=1(OBFMOBFMABFIyIxRyxAy+=1(OAFMOAFMAB1FIxIxRxyBx+=(OAFMOAFMABFIyIxRyxBy+=1RzBzFF=理论力学傅莉霞 静平衡:若刚体的转轴通过质心,且刚体除重力外,没有其他主动力作用,则刚体可在任意位置静止不动。动平衡:若刚体的转轴通过中惯性主轴时,刚体转动时,不出现动反力。动平衡的刚体一定是静平衡;静平衡的刚体不一定是动平衡。理论力学傅莉霞 例12-8 如图所示,轮盘(连同轴的质量,20K