一元二次方程应用题经典题型汇总含答案~

1、z一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20% ，商厦从十一 月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求 这两个月的平均增长率 .解 设这两个月的平均增长率是X.,则根据题意，得 200(1 20%)(1+x)2= 193.6 ,即(1+x)2= 1.21，解这个方程，得xi= 0.1 ,X2= 2.1 (舍去).答 这两个月的平均增长率是 10%.说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2=n求解

2、，其中mvn.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1 x)2=n即可求解，其中mn.二、商品定价例 2 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品, 该商品可以自行定价, 若每件商品 售价a元，则可卖出(350 10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%，商店 计划要盈利 400 元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？解 根据题意，得(a 21)(350 10a) = 400，整理，得a2 56a+775 = 0 ,解这个方程，得a1= 25 ,a2= 31.因为 21 p+20%) = 25.2，所以a2=31 不合题意，舍去.所以 350 10a= 350

3、 10 X25 = 100 (件).答 需要进货 100 件,每件商品应定价 25 元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点|三、 储蓄问题例 3 王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后 将本金和利息取出，并将其中的500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款时的年利率(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为X.则根据题意，得1000(1+x)- 500(1+0.9x) = 530.整理，得 90X2+145x

4、3 = 0.解这个方程，得Xi0.0204 = 2.04% ,X21.63.由于存款利率不能为负数，所以将X2 1.63 舍去.答 第一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、 趣味问题例 4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2 米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得2

5、(x+0.1+x+1.4+0.1)x= 1.8，整理，得x2+0.8x 1.8 = 0.解这个方程，得X1= 1.8 (舍去)，X2= 1.所以x+1.4+0.1= 1 + 1.4+0.1 = 2.5.答 渠道的上口宽 2.5m，渠深 1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味， 就能从中找到等量 关系，列出方程求解|五、 古诗问题例 5 读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为x- 3.则

6、根据题意，得x2= 10(x 3)+x，即X2-11X+30 = 0，解这个方程，得x= 5 或x= 6.当x= 5 时，周瑜的年龄 25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x= 6 时，周瑜年龄为 36 岁，完全符合题意.答 周瑜去世的年龄为 36 岁.六、 象棋比赛例 6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2 分，输者记 0分.如果平局，两个选手各记 1 分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979 , 1980 , 1984 , 1985.经核实，有一位同学统计无误 试计算这次比赛共有多少个选手 参加解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n 1

7、)个选手比赛一局，共计n(n1)1局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为2n(n1)局由于每局共计 2 分，所以全部选手得分总共为n(n 1)分显然(n 1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0, 2 , 6，故总分不可能是 1979 ,1984 , 1985，因此总分只能是 1980，于是由n(n 1) = 1980，得n2n 1980 = 0 ,解得n1= 45 ,n2= 44 (舍去).答参加比赛的选手共有 45 人.|说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解七、情景对话例 7 春秋旅

8、行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1 对话中收费标准某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000 元请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游因为 1000 25 = 25000V27000，所以员工人数一定超过25 人.则根据题意，得1000 20(x 25)x= 27000.整理，得x2 75X+1350 = 0,解这个方程，得xi= 45 ,X2= 30.当x= 45 时，1000 20(x 25) = 600V700，故舍去xi；当X2= 30 时，1000 20(x 25) = 900 700，符

9、合题意.答：该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论如果人数不超过 25人如果人数超过 25 人， 每増加 1人人均放游费用降低 20 元 旦人均册费用不得低于 700人均旅游费用海 1000 元.|八、等积变形例 8 将一块长 18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为 原来荒地面积的三分之二（精确到 0.1m）（1 ）设计方案 1 （如图 2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案 2 （如图 3）花园中每个角的扇形都相同 .以上两种方案是否都能符合条件

10、？若能，请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由解 都能.(1)设小路宽为X,则18x+16xx2=X18 X15,即x2 34X+180 = 0 ,解这个方程，得x=2，即x 6.6.(2)设扇形半径为r，则 3.14r2=X18 X15 ,即卩r2疋57.32，所以r7.6.明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变;积也变，但重量不变，等等九、动态几何问题例 9 如图 4 所示，在ABC中，/ C= 90?/SPAN ,AC= 6cm ,BC= 8cm，点P从 点A出发沿边AC向点C以 1cm/s 的速度移动，点Q从C点

11、出发沿CB边向点B以 2cm/s 的速度移动（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为 8 平方厘米?X,或形变|(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由(1 )设xs 后，可使PCQ的面积为 8cm2,所以AP=xcm ,PC= (6 x)cm ,CQ=2xcm.则根据题意，得(6 x) 2x= 8.整理，得X2 6x+8 = 0,解这个方程，得xi= 2,X2=4.所以P、Q同时出发，2s 或 4s 后可使PCQ的面积为 8cm2.(2)设点P出发x秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半1 1

12、 1则根据题意，得 2(6 x) 2x =2 x2 x6X8.整理，得x2 6x+12 = 0.由于此方程没有实数根，所以不存在使厶PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程=速度x时间.十、梯子问题例 10 一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1) 若梯子的顶端下滑 1m，求梯子的底端水平滑动多少米？(2) 若梯子的底端水平向外滑动 1m，梯子的顶端滑动多少米？(3 )如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角=8 (m ).(1 )若梯

13、子顶端下滑 1m，则顶端距地面 7m.设梯子底端滑动xm.因为/C= 90?/SPAN，所以 AB=汙取匸=用卜=10(cm )|则根据勾股定理，列方程 72+(6+x)2= 102，整理，得x2+12x 15 = 0 ,|解这个方程，得Xi 1.14 ,X213.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑 1m，底端水平滑动约 1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m 时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程 (8 X)2+(6+1)2= 100.整理，得X2 16X+13 = 0.解这个方程，得X1 0.86 ,X2 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约

14、0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动xm 时，底端向外也滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8 X)2+(6+X)2=102，整理，得 2x2 4x= 0,解这个方程，得X1= 0 (舍去)，X2= 2.所以梯子顶端向下滑动 2m 时，底端向外也滑动 2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例 11 如图 5 所示，我海军基地位于A处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标B,在B的正东方向 200 海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀

15、速巡航一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.|(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到 0.1 海里)解(1)F位于D的正南方向，贝U DF丄BC因为AB丄BC,D为AC的中点，所以DF=2AB= 100 海里，所以，小岛D与小岛F相距 100 海里.(2 )设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE= 2x海里，EF=AB+BC-(AB+BE)CF= (300 - 2x)海里.在 RtDEF中，根据勾股定理可得方程x2= 1002+

16、(300 - 2x)2，整理，得 3x2-1200 x+100000 = 0.lOtK/610( (K/6解这个方程，得X1= 200 孑 118.4 ,X2= 200+3(不合题意，舍去)所以，相遇时补给船大约航行了118.4 海里.说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例 12 如图 6 所示，正方形ABCD的边长为 12，划分成 12 X12 个小正方形格，将边长为n(n为整数，且 2wn0,方程有两个实数根，若b2 4acv0，方程没有实数根，本题中的b2 4ac= 16v0 即无

17、解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例 14 如图 7,在等腰梯形ABCD中，AB=DC= 5 ,AD= 4 ,BC= 10.点E?下底边BC上，点F在腰AB上.(1 )若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为X,试用含x的代数式表示 BEF的面积；(2) 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成 1 : 2 的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由则根据题意，得=17,解得Xi= 16X2= 4 ,|BeK解(1 )由已知条件得，梯形周长为 12，高

18、 4，面积为 28.过点F作FG丄BC于G,过点A作AK丄BC于K.12 -K则可得，FG=总,込24所以SA BEF=BEFG= x2+x(7 x 10).224(2) 存在.由 (1 )得5 x2+5 x= 14，解这个方程，得xi= 7,X2= 5 (不合题意， 舍去),所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE= 7.(3)不存在假设存在，显然有SABEF:S多边形AFECD= 1 : 2,2 16 28即(BE+BF)： (AF+AD+DC) = 1 : 2.则有一5 x2+5 x=3,整理，得 3x2 24x+70 = 0,此时的求根公式中的b2 4ac= 576 840V0,所以不存在这样的实数X.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2 的两部分.说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得X2= 5 时，并不属于 7 1）的正方形中，设黑色小