概率及数理统计第八章 --第十一章例题

1、第八章 例题讲解 0.6930.7490.6540.6700.662 0.6720.6150.6060.6900.628 0.6680.6110.6060.6090.601 0.5530.5700.8440.5760.933 设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为.618. 0:,618. 0:)05. 0(1022HH取设均未知。试检验假，方差为解：本题要求在显著性水平 下 ，检验正态总体均值的假设因 未知，故采用t检验。因拒绝域为05.0.618. 0:,618. 0:10HH,093. 2)19() 1(,05. 0,0925. 0,660. 0 x,20025

2、. 02tntsn,093.2055.2200925.0618.0-6605.0.093.2)19(025.00ttnsxt今观察值 不落在拒绝域之内，故在显著性水平 下接受原假设.618. 0:0H05. 0 3、按规定，100g罐头番茄汁中的平均维生素C含量不得少于21mg/g。现从工厂的产品中抽取17个罐头，其100g番茄汁中，测定维生素C含量(mg/g)记录如下： 16 25212023211915132317202918221622 设维生素含量服从正态分布N(，2)， ，2 均未知，问这批罐头是否符合要求(取显著性水平=0.05). 解： 本题需检验假设(=0.05)， .21:2

3、1:10HH，故接受H0，认为这批罐头是符合规定的。.7459. 1035. 117984. 32120,7459. 1)16(,984. 3,20,1705. 0ttsxn今第九章例题讲解 1、某防治站对4个林场的松毛虫密度进行调查，每个林场调查5块地的资料如下表： 判断4个林场松毛虫密度有无显著变化，取显著性水平=0.05。地点 松毛虫密度(头/标准地)A1 192 189 176 185 190A2 190 201 187 196 200A3 188 179 191 183 194A4 187 180 188 175 182 解 记Ai林场的平均松毛虫密度为I,i=1,2,3,4.则所述

4、问题为在显著性水平=0.05下检验假设.3753,912,935,974,932.20,5,4,:,:H.4 .3 .2 .1 .43214321143210TTTTTnnnnnsH今不全相等。：从而得方差分析表如下的自由度分别为,16420, 31,191-n,.2 .57135.40345.7042508 .7046535.55.97420/3753705225/2.412.22.41512 snsSSSSSSnTTSnTxSEArArEjjAjiijr方差来源 平方和自由度均方F比因素A误差E403.35571.2316134.4535.7总和974.5519766.3SSEA因F0.0

5、5(3,16)=3.24, F比=3.7663.24,故在显著性水平0.05下拒绝H0，认为差异是显著的。 2、下表数据是退火温度x(C) 对黄铜延性Y效应的实验结果，Y是以延长度计算的。 画出散点 图并求Y对于x的一元线性回归方程。X(C)300400500600700800Y(%)405055606770解 画散点图：从图上看，取回归函数为x的线性函数a+bx是合适的。现在n=6，为求线性回归方程，所需计算列表如下：xyx2xy3004005006007008004050556067709000016000025000036000049000064000012000200002750036

6、000469005600033003421990000198400.05886.06287.24.62865.24058857.033006134261,058857.0,10300342330061198400,1750003300611990000S2xxxyaSSbSxxxyxy回归方程为从而 3、以x与Y分别表示人的脚长(英寸) 与手长(英寸)，下面列出了15名女子的脚的长度与手的长度Y的样本值。 试求Y关于x的线性回归方程xbayx9.008.509.259.759.0010.00 9.509.00y6.506.257.257.006.757.006.507.00 x9.259.50

7、9.25 10.00 10.009.759.50y7.007.007.007.507.257.257.25 解：先作必要的计算见下表：XYx2y2xy9.006.508142.2558.58.506.2572.2539.062553.1259.257.2585.562552.562567.06259.757.0095.06254968.259.006.758145.562560.7510.007.0010049709.506.5090.2542.2561.759.007.008149639.257.0085.56254964.759.507.0090.254966.59.257.0085.56

8、254964.7510.007.5010056.257510.007.2510052.562572.59.757.2595.062552.562570.68759.507.2590.2552.562568.875 141.25104.51332.8125729.625985.5.608333.15.104151625.29.7)(1,458333.15.10425.1411515.9851,708333.225.1411518125.1332)(1S222222iixyiiiixyiixxynySyxnyxSxnx 从而（1）xybxnbynaSSbiixxxy53846. 0896. 1.8

9、96. 125.141155 .1041511,53846. 0所求的回归方程为第十章例题讲解 1、利用抛掷一枚硬币的试验定义一随机过程).1 ;(),21;(F)(X,21)()(P.-T,2H,cos)(XxFxtTPHtttt一维分布函数的试确定假设，出现，出现解 (1) 由X(t)的定义分布律为这一离散型随机变量的。，出现，出现T1H0,)21X(01pk)21X(2121 其分布函数为其分布律为，出现，出现同理 T2H,1)1(X.1,1,10,21,0,0)21;(FxxxxX(1)-12pk2121 分布函数为. 2, 1, 21,21-1,x0,F(x;1)xx 2、设随机过程

10、X(t)=e-At，t0，其中A是在区间(0，a)上服从均匀分布的随机变量，试求X(t)的均值函数和自相关函数。解：由关于随机变量函数的数学期望的定理知道X(t)的均值函数为.0,1)(11)()()(),(R.0),1(11)()()(21)(210)()(2121021212121ttettaduaeeEeeEtXtXEttteatduaeeEtXEtttaauttAttAtAtxataiuAtx自相关函数为 3、设随机过程X(t)X(随机变量)，E(X)=a,D(X)=2(0) ，试求X(t)的均值函数和协方差函数。解 x(t)=EX(t)=E(X)=a. Cx(t1,t2)=EX(t1

11、)- x(t1)X(t2)- x(t2) =E(X-a)2=D(X)=2. 4、已知随机过程X(t),tT的均值函数x(t)和协方差函数Cx(t1,t2)，(t) 是普通的函数，试求随机过程Y(t)=X(t)+ (t)的均值函数和协方差函数。解 Y(t)=EY(t)=EX(t)+ (t) =EX(t)+E(t)= x(t)+ (t) . CY(t1,t2)=EY(t1)- Y(t1)Y(t2)- Y(t2) =EX(t1)+ (t1)- x(t1)- (t1) XX(t2)+ (t2)- x(t2)- (t2) =EX(t1)- x(t1)X(t2)- x(t2) = Cx(t1,t2).第十

12、一章例题讲解 1、在一计算系统中，每一循环具有误差的概率取决于先前一个循环是否有误差。以0表示误差状态，以1表示无误差状态。设状态的一步转移概率矩阵为 试证明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布(平稳分布).5 . 05 . 025. 075. 01010P 解 已知齐次马氏链的一步转移概率矩阵为 应用公式(2.5),现在a=0.25,b=0.5,即有.5 . 05 . 025. 075. 01010P得到在上式中令。,.2, 1,5 .05 .025.025.075.0)5 .025.01 (25.05 .025.05 .075.01)(nnPnPnn.3132.3132313225. 05 . 025. 05 . 075. 01)(lim，遍历的，其极限分布为是由定义知此齐次马氏链nPn 2、设马氏链的一步转移概率矩阵为 试证此链不是遍历的。 证 这一马氏链的一步转移概率矩阵可写成对角块矩阵：，1000212102121P，有，。故对于任意正整数其中，1MPn21212121M1M1000212102121321P321nn是遍历的