龚前祥排列组合解题探究

1、排列组合解题探究秭归二中 龚前祥排列组合历来是高中学生认为难学的内容，原因之一是由于它们研究的对象不具体，而且结果不便于检验. 而排列组合应用广泛.如抽奖、比赛场次、任务安排、物品分配等都涉及到排列组合.很多涉及到排列组合的问题，只要加强类比分析和归纳，仍然有规律可循，收到多题一法，一法多用的效果.现就排列组合问题的求解策略做一下探究.一、 排列组合应用题解法解排列组合应用题，不能单靠现成的公式，更不能死套公式，首先需要认真审题，弄明确题中每一个字和每一句话的确切含义，弄明确题中所要做的“事情”是什么，以及怎样的结果才算完成了这样事情，然后紧紧抓住是排列问题还是组合问题，是乘法原理还是加法原理

2、的问题进行分析，这样不仅有助于寻找正确答案的解题途径，而且还能培养我们细致深入思考问题的习惯和分析问题与解决问题的能力.例1 把4个男同学和4个女同学平均分成4组，到4辆公共汽车上劳动，如果同样的2人在不同的汽车上劳动作为不同情况看待，问有几种不同的分法？如果每个小组必须是一个男同学和一个女同学，问有几种不同的分发？如果男同学、女同学分别分组，又有几种分法？解：（1）题中要做的“事情”是把男女8个同学混在一起平均分成4组，分配到4个汽车上去，我们把这个分配的总任务分成4个步骤来做，首先安排其中2人上第一辆车，有种分法，再由其余的6人中安排2人到第2辆车，有种分法，然后依次安排第3，4辆车分别有

3、、种分法.由于各车分派人数是相关的，而且都必须安排好，由乘法原理，共有种分法.（2）要求每一个车上必须要有一男一女，我们不妨先把4个男同学分别派上4辆车上，这显然是一个与顺序有关的排列问题，有种不同的方法.再把4个女同学安排上这4辆车，这自然也是一个排列问题，有种不同的方法.男、女安排是相关的，而且每一辆车上的男女都必须搭配好，由乘法原理，共有：种不同的分法.（3）男女分别分组，4个男同学平均分成两组，有种方法（这是一个与顺序无关的问题，这与把4个男同学平均分成两组分别上甲、乙两汽车的分法不同，后者是与顺序有关的，其分法为（或）种分法），同样，4个女同学平均分成2组，也有种分法，由乘法原理，分

4、组的方法就有种，对于这样的每一种分法中的4个小组分别上4辆不同的车，又有种分法，再由乘法原理，所以共有种不同的分法.例2 分配5个人分别担任5种不同的工作，如果甲不能担任第一种工作，乙不能担任第5种工作，有多少种分配法？为了明确起见，我们可以用表示这5个人，那么这个问题就是5个不同元素全取的排列，求不排在首位，不排在末位的排列数.解法一：因不能在首位，因此排在首位的只能是或，所以可将所求的排列数分为两类：一类是在前位，此时余下的四个元素不论怎么排都合要求，这种排列有个，另一类是先想三个元素之一排在首位，有种方法.次将排在中间3个位置上，又有种方法，最后将其它3个元素排在其它3个位置上，有种方法

5、，这3步是相关联的，而且必须都完成，由乘法原理，这类排列共有个，再由加法原理，所求的排列共有个.故有78种合乎条件的排列法.（注） 本题若不仔细分析，可能得出下面两个错误的解法：一是错误的把题设条件理解为“与不同时排在首、末两个位置上.”5个元素的全排列有个，其中排在首位，同时排在末位的排列数有个，故所求的排列有种.第二种是计算的错误，5个元素的全排列有种，这种包括了为首位的种，也包括了排在末位的种，故所求的排列有：种.现把上述两种错误解法加以改正，得到以下两种正确的解法：解法二： 前一解法的错误在于没有把不合条件的排列都除去.因为在种中，既包括排在首位，但不能排在末位上，也包括排在末位，但不

6、排在首位上，这两类排列数均为，所以，正确的答案为：种.解法三： 后一解法的错误在于忽略了在排列首位的种排列中和排在末位的种排列中有公共的部分，这公共的部分就是排在首位，同时排在末位的排列，这种排列数被减去了两次，应补加一次才行，故正确的答案为：种.（注） 解法一的特点是将所要求的排列先分解成若干类，然后分别计算各类的排列数，最后相加，即分解法.使用这种解法的要点是使适合所求条件的每一个排列必须属于而且只能属于所分的某一类；解法二与解法三的特点都是从所有的排列中排除不合要求的排法，即排除法.使用这种解法的要点是必须把不合要求的排法排除干净，既不能排除多了，也不能排除少了.例3 从中取两个数相乘，

7、其积能被3除尽的有几对？“据两数之积能被3除尽的充分必要条件是至少有一个因数是3的倍数”.必须调查在1，2，3，100这100个整数中有多少个是3的倍数.解法一：（分解法）在这100个数中3的倍数有33个，不是3的倍数的数有67个，两数之积能被3整除的有而且只有下面的两情况：（1）所取2个数中有一个是3的倍数，另一个不是3的倍数，故共有 对；（2）所取两个数都是3的倍数，共有对.由加法原理，能被3整除的数共有对.解法二：（排除法）先由这100个数中，任取其两数之积有个，在这个整数中，不能被3整除的有而且只有个必须排除，所以合乎条件的有对.二、“插空法”应用系列所谓“插空法”，是指先排定某些元，

8、再用余下的元插空的排法，这是大家很熟悉的方法.根据其应用的广泛性，可以归纳出十个系列.（1）相邻排列与插空例 七人排一排，要求甲、乙两人之间正好隔两人的不同排法共有多少种？解：先在甲、乙两人之间插入两人排定，然后将这四人视作一个元，与其余三人一起排列，共有种.（2）不全相邻排列与插空例 由1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中，1，2，3不全相邻的五位数有多少个？解：先排1，2，3成四个空，再用4，5去插空，分为4与5连在一起或单个两种情况去插空.且不把4，5同时排在首末两位.故所排的五位数共有.本题的间接求解是：在1，2，3，4，5的全排列中去掉1，2，3全相邻的那些全排列，所排的五位

9、数个数是.（3）全不相邻与插空例 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？解：先排6个歌唱节目的不同排法有种；再用4个舞蹈节目插空，共有种排法.（4）部分有序排列与插空例 五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻），那么不同的排法有多少种？解：先排定三人有种方法；然后由分单个或两个并一起插4个空，共有种插空方法.由乘法原理，共有排法种.（5）重复排列与插空例 由1，2，3，4，5组成的含三个相同数字的五位数共有多少个？解：先取3个不重复的数字，取法有种，令某一个数字重复3次且排成一排的排法是种；然后用不重复的两个数字插4个空，分

10、单个或两个并一起插的方法有种，由乘法原理，共有五位数个.（6）圆排列与插空例 四个大人和四个小孩围坐一圆桌，大人之间，小孩之间各不相邻的坐法有几种？解：四个小孩的圆排列为种；大人插空方法有种.共有坐法种.（7）相间抽取与插空例 在前100个自然数中抽取互不相邻的20个数，抽取方法共有多少种？解：取80个相同的黑球排成一排，又取20个相同的白球去插黑球相间（含两端）的81个空，有种.对于每种插法，把这100个球从左到右赋值为1，2，3，100，便得一个合条件的抽法.故共有种.（8）不定方程与插空例 已知方程，求自然数解的个数.解：，且其和为15，构造如下模型：把15个1排成一排成14个相间空（不含两端），用两个“0”插空，分15个1成3组，每组里分得1的个数依次记为.每个分法唯一对应着一个自然数解.故自然数解的个数共有个.（13）有序分拆与插空例 上一个有10级的台阶，每步可上1级或者2级，共有多少种上台阶的方法？解：这一实际问题就是把10写成1或2之和，且加数（含顺序）不全相同.求共有多少个分拆方法.以含有1的个数分类：含10个1时，有1