基于阻尼振动中能量变化研究

1、论文大赛编号： 34 安徽师范大学本科生科研论文大赛报名表 作品名称：基于MATLAB的阻尼振动中能量变化的研究 第一作者： 刘吕桥 指导老师： 周文 所在学院： 数学与计算机科学学院 年级专业： 10级数学与应用数学 手机号码：电子信箱： 1094676013 作品分类：哲学社会科学类自然科学类 2013年2月制独 创 性 声 明本人声明所呈交的论文或调查报告是本人或在有关老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。论文作者签名：刘吕桥 日期：2013.04.20参赛作者信息表作品名称基

2、于MATLAB的阻尼振动中能量变化的研究第一作者刘吕桥性别男出生年月1991.10指导教师周文类别 个人作品 集体作品所在学院数学计算机科学学院年级专业10级数学与应用数学学号100701090手机号子信箱1094676013作品字数2626合作者情况姓名性别学号所在单位（学院、年级、专业）作品分类 哲学社会科学类 自然科学类作品是否公开发表 未发表 已发表（报名材料中需附期刊,电子期刊附复印件）作品是否受科研项目资助 是项目名称：生化反应系统的随机模拟计算研究项目负责人： 周文 否基于MATLAB的阻尼振动中能量变化的研究刘吕桥（安徽师范大学 数学计算机科学学院,安

3、徽 芜湖241000）关键词: 阻尼振动；能量；微分方程；matlab摘 要：平常学习的质点振动往往是比较理想的无阻尼振动。本文将运用常微分方程1的知识结合matlab软件,给出振动过程中有阻尼的情况及有阻尼振动中能量的损失情况的量化指标；并考虑阻尼的大小对摆的振动过程中动能与势能的影响, 得出有阻尼振动的过程中不同的阻尼值对振动中的势能与动能及能量损失的曲线图； 通过这些图形,可以形象地看出势能与动能的变化趋势。Study on the change of energy for damped4 vibration based on MATLABLiu lvqiao ,(College of

4、mathematics and computer science, Anhui Normal University, Anhui Wuhu 241000) Key words : Damped vibration；energy；differential equation；matlabAbstract :Particle vibration is often undamped vibration which is relatively ideal. Using the ordinary differential equation and MATLAB software, this paper g

5、ave the quantitative index of damp and energy loss of damping vibration in the vibration process. Consider the influence of damp on the kinetic energy and potential energy during the motion of pendulum, the curve of the potential energy and kinetic energy and the energy loss with different damped vi

6、bration values were described. From the diagrams, the trend of potential energy and kinetic energy was seen.1 引言有阻尼的质点振动是数学、物理中比较重要的一类运动,也是常微分方程中一个重要的应用,高中学习的主要是简单的阻尼运动,在常微分方程中主要讨论了数学摆阻尼振动过程中摆角与时间的变化情况1-2,在此基础上本文讨论了数学摆中在摆角较小的情况下有阻尼对摆的动能与势能的影响,以及该过程中能量的损失变化情况。 2 数学摆的运动方程的推导1 数学摆是系于一根长度为的线上而质量为的质点,在重力

7、的作用下,他在垂直于地面的平面上沿圆周运动,如图1。下面来确定摆的运动方程。图1 数学摆设取反时针运动的方向作为计算摆与垂线的夹角的正方向,质点沿圆周的切线速度可以表示为。作用于质点的重力将摆拉回平衡位置,将重力分解为两个分量和,第一个分量沿半径方向,它不会引起质点大的速度的数值的改变。第二个分量沿着圆周的切线方向,它引起质点大的速度的数值的改变。基金项目：安徽高校省级优秀青年人才基金重点项目(No. 2010SQRL0256ZD)作者简介：刘吕桥（1991-) 男,本科,主要研究随机过程由于总是使质点向着平衡位置的方向运动,即当角为正时,摆向减小的方向运动；即当角为负时,摆向增大的方向运动。

8、所以的数值为,因此摆的运动方程是： （1）（1）式为非线性的微分方程,但是这里只研究比较小的情况,即此时可以用代替,于是微小振动时摆的方程为 （2）该方程为二阶常系数齐次线性微分方程,特征方程为： （3）由（3）式得特征根为 ,于是方程（2）的通解为： c1,c2 为任意常数 （4）为了与下文表达一致,（4）式也可以表达为： A,为与 ,有关的常数 （5）3 有阻尼的运动3.1有阻尼的运动方程1在实际情况中,摆总是在一定介质中摆动,沿着摆运动的方向就存在一个与速度成比例的阻力,设阻力系数为,结合（2）式,则摆的运动方程为： （6）记 这里,为正常数,（2）式可以写为 （7）其特征方程为： （8

9、）特征根为： 对于不同的阻尼值,微分方程有不同形式的解,下面分三种情况讨论：3.2小阻尼的情况7（）：此时, 是一对复根,记,则方程（7）的通解为： （9） 可以改写为如下形式 其中A,为任意常数 （10）由初始条件, 得到 （11）解（11）式可得 所以方程（7）的初值解为： （12）在时刻的速度大小： （13）不妨以运动的起点M所在的水平面为零势能参考面,为了取得量化指标,当时,且满足,于是在时间t时刻摆的势能为： 代入数值得到: （15） 图2 势能随时间的变化曲线 摆的动能为： （16）将数据代入得 （17） 图3 动能随时间的变化曲线由（14）、（16）两式相加得系统总能量为： （1

10、8）代入数据即有 （19）利用matlab软件6得到总能量随时间变化的曲线 图4 总能量随时间的变化曲线从图2、图3、图4可以形象地看出,小阻尼运动过程中摆动能与势能的最值随着时间的增加而不断减小,最终动能趋向于0,而势能降到最小,从图像上看,这种减少是非周期的,损失的能量7比较平缓,最终趋向于系统的势能,也符合能量守恒定律。3.3大阻尼的情形():此时,则方程（7）的通解为： 其中,为任意常数 （20）由初始条件, 得到 （21）解（21）式得 所以方程（7）的初值解为： (22)在时刻的速度大小为： (23)位置为： （24）于是在时间t时刻摆的势能大小为： （25）只需将1的数据中改为,

11、满足,并将数据代入（25）式得 （26）利用matlab软件可以得到随时间的变化情况 图5 总能量随时间的变化曲线此时动能的大小为 并将数据代入（26）式得 （28）利用matlab软件同样可以得到随时间的变化情况 图6 动能随时间的变化曲线由（25）（27）两式相加得系统总能量为： （29）将上述数据代入（27）式得 （30）运用matlab软件得到总能量随时间变化的曲线： 图7 总能量随时间的变化曲线从图5、图6、图7可以形象的看出,大阻尼运动过程中能量损失在开始一个阶段增加得比较快,然后比较平缓,动能先增加,到一定程度,阻力太大使得速度减小,直至为零,该过程没有出现摆动,也就是势能一直在

12、减小,直至为零。损失的能量7在刚开始的时间内增加很快,最终趋向于系统初始的势能。3.4临界阻尼的情况()：此时, 则方程（7）的通解为： 其中,为任意常数 （31）由初始条件, 得到 （32） 解（30）式得 所以方程（7）的初值解为： （33）在t时刻的速度大小： （34） 位置为：于是在时间t时刻摆的势能为： （35）将1的数据中改为,其余,满足,将数据代入（32）式得将数据代入（33）式得 （36）利用matlab软件可以得到随时间的变化函数图像 图8 势能随时间的变化曲线此时动能的大小为： （37）将上述数据代入（34）式得 （38） 图9 势能随时间的变化曲线由（34）（36）两式相

13、加得系统总能量为： （39）将上述数据代入（36）式得 （40）运用matlab软件得到总能量随时间变化的函数曲线图： 图10 总能量随时间的变化曲线从图8、图9、图10的变化趋势可以形象的看出,临界阻尼运动过程和大阻尼运动过程类似,能量损失都比较快,动能一直减小,直至为零,该过程也没有出现摆动,也就是势能也一直在减小,损失的能量7在刚开始的时间内增加很快,最终趋向于系统初始的势能。4 结论 从以上分析可以看出,有阻尼振动过程中,不同的阻尼值对摆的能量的影响是不一样的,其共同点是损失的能量先增加得比较快,后来变化比较慢。小阻尼运动中动能呈现一定的波动,但最值不断减小,而大阻尼运动和临界阻尼运动

14、的动能一直减小,直至为零。小阻尼运动中势能也呈现有规律的波动,但最值也不断减小,而大阻尼运动和临界阻尼运动的势能一直减小,直至为零。虽然这些规律对于数学摆的阻尼运动是存在的,但对于其它的阻尼运动不一定有此规律。另外,本文中的初值有一定的特殊性,没有对于所有的数据结果进行具体作图分析,本文在摆角比较小的情况下量化的刻画阻尼运动中的能量的变化趋势。阻尼运动在数学、物理、生产等方面有着广泛的应用,进一步探讨各种阻尼运动中能量的变化可以为各种工程系统的控制提供依据,也可以为研究动力学提供参考。参考文献:1王高雄,周之铭等.常微分方程(第三版)M.北京:高等教育出版社,2006.72周宇虹,罗建书.常微分及其应用