关于循环子半群的结构与数量问题及拟环的特征与结构

1、2002年3月第18卷第1期纯粹数学与应用数学PureandAppliedMathematicsMar12002Vol118No11关于循环子半群的结构与数量问题及拟环的特征与结构朱平()摘要:,并讨论了拟群分解问题,并给出了定理的另一部分不可推广的反.,.:循环半群;拟群;拟环;幂零扩张:O15217,O15313文献标识码:A文章编号:100825513(2002)01202392051引言群论中研究的主要问题之一是关于群及子群的数量与其构造.循环群的这一问题早已解决,且有代数基本定理:有限可换群可分解为循环群直积.自然,从循环半群及所有子半群与子群的构造去讨论有限可换拟群是否可分解为循环

2、半群直积是非常必要的.引理1111令S=a为有限循环半群,则存在正整数m和r使得有下列性质:(1)S=a,am,am+1,am+r-1且am+r=am;(2)Ka=am,am+1,am+r-1为S的(最大)循环子群且包括了S的所有正则元.引理1121令S=a为无限循环半群,则S(N,+).这时,显然有Si=aiS,iN,故以下文中所讨论的S=a均为有限循环半群.称半群S为拟群,如果S为拟正则的,且幂等元唯一.引理1134令S为拟群,则S为其最大子群的幂零元理想扩张.推论111S=a为有限循环半群当且仅当S为循环群Ka的幂零元理想扩张.2循环子半群的结构和数量收稿日期:2001202214基金项

3、目:江南大学211科研基金资助项目作者简介:朱平(19622),副教授,研究方向:半群代数理论240纯粹数学与应用数学第18卷定理211令S=a且指数为m,周期为r.设Si=ai,Kai为Si的正则元集,iN.则Si为有限循环半群,Kai为Si的最大循环子群且Si的指数为x的最大整数.+1,其中x为不超过i证明 显然,Si为有限循环子半群;(ai)h,(ai)lKai(ai)k,(ai)lKa(ai)h (ai)l=(ai)h+lKa(因为Ka为S的子群)(ai)h+lKai(因为(ai)h+lSi且正则)故Kai封闭,从而为Ka子群.即Kai为Si+1+1=iia(ai)iKaiii而任意的

4、u<+mKai,故Si的指数为+1;ii若计m,:ai,+1=1,即aiKai=Si,故Si指数为1,ib)i<m,即m=ik+s,1<s<i,这时=k+故=k,从而iii 若i m(a)i+1im-s=aik+i=am-s+i=am+qKa(因为t=i-s>0),又(a)ii+1-1i=aik=am-s|Ka,故aKai,即证得Si的指数亦为+1.i推论211令S=a,且asar,则=.sr注意211S未必等于t.例如S=a,m=10,r=2,取s=7,t=9,则asat,但7|9.定理212令S=a,Si=ai,R=p pN,ipm且ip1(modr),若R

5、,则Kai=Ka.注意212R未必不空,例如=ip00(modr)iii(p0+1)=i,i(p0+(p0-1)i(p0-1)(modr)设i1,i r,m=r,令p0=kN,i(kp0+s)is(modr),1<s<p01<is<r故R= .命题211设ir,且i0(modr),则 Kai =1.此时,Si为幂零元半群,且Si=ai,(ai)2,(ai)p0-1,0.命题212设i<r,且i r,则 Kai =i定理213令S为循环半群,Ka为r阶子群,任意iN,则存在 Kai =m,则ip0=m+u,0<u<r,因此(i,r)证明显然存在s,tN,

6、使得r=s (i,r),i=t (i,r)且(s,t)=1,令p0=minp ipi第1期朱平关于循环子半群的结构与数量问题及拟环的特征与结构i (i,r)241(ai)p0=am+u,(ai)p0+s=am+u+=am+u+q r=am+u.故 Kai s.如果am+u+ik=am+u+il,kl,k,l=0,s-1,m+u+ikm+u+il(modr)i(k-l)0(modr)i(k-l)=u rr(k-l)=u s据(t,s)=1,有s (k-l),即k-l=w s,从而k=w s+l>s,矛盾.0,即证得k=l,从而 Kai =s.推论2122令B=a为r阶循环群,则an=(,)

7、综上,可得循环半群S=a:定理214令S=a为循环半群,r,则关于iN,有下列结论成立:(i)Si+1;i(a(i)s(s(mod(i,r)(iii)Si为Kai的幂零元理想扩张;)为Si的最大循环子群,且周期为(i,r);(iv)u,vN,(ai)u=(ai)vKaiiu,ivm且uv(mod(v)Si=ai,(ai)2,(ai)i(i,r);(ai)+1i,(ai)+2i,(ai)+()ii,r(vi)Si为S的所有循环子半群,Kai为S的所有循环子群.注意213应该特别强调的是,Si未必是S的所有子半群!此处与循环群的结论不同.例如,当m=8,r=3时,A=a5,a7,a8,a9,a10

8、为S=a的子半群,但Aai,iN.3交、并、直积与拟群关于循环子半群的分解命题311令S=a,则SiSj=Si,j且为循环子半群.推论311设Si为S=a的所有子半群,则Si=e.命题312若SiSj为半群,则SiSj为循环半群且(i,j)=i或(i,j)=j.推论312若Si1Si2Sit为半群,则存在k1,2,t,使得(i1,it)=ik.引理3112(代数基本定理)设S为有限可换群,则S可分解为循环群直积.定理311令S1,S2,Sn为有限循环半群,则S1××Sn为拟群且Reg(S1××Sn)=RegS1××RegSn.证明令S

9、1=a1,Sn=an,则ppppm(a11,ann)S1××SnaiiSimiN(aii)iKi).取m=maxmi,据Ki为Si的理想,则有(a11,ann)mReg(S1××Sn),从而证得S1××Sn为拟正则的.证明Reg(S1××Sn)=RegS1××RegSn过程略.242纯粹数学与应用数学第18卷据eiEi为幂等元,可知(e1,en)E1××En,如果(f1,fn)E1××En,则有f2i=fi,故据幂等元唯一,知ei=fi,即E1×

10、×En幂等元唯一,综上,证得S1××Sn为拟群.推论313设S为有限可换拟群,则S可分解为循环群直积的nil2扩张.据引理311,有限可换群可分解为循环群的直积,又据S为有限可换拟群,知RegS为有限可换群,而S RegS为幂零元半群,故结论成立.注意311有限生成可换拟群S1S2××Sn同构,反例如下:令S=a1,a2为有限生成可换拟群,S1=a1,S2:a1a2a1a1a1a122a2a112a11a1a122221a12aa1a1221a1a1222a2a12a2a1a122a1a1a12223223由于a21 a2=a1 a2=a1,但

11、(a1,a2)(a1,a2).注意312若存在iN,使得Si为无限循环半群,则S1××Sn非拟群.综上,可知有限生成可换拟群与有限生成可换群的结构分解性有异.即引理311不可能被直接推广到有限可换拟群上.4关于拟环的构造首先,利用拟群建立了一类特殊环的概念.然后讨论其特征与结构,进而得出了相关于拟群的一系列结论.定义4115称环(R,+, )为幂零元环,如果aRnN(an=0).定义412称(R,+, )为拟环,如果R 0非空,且满足:(i)(R,+)为加群;(ii)(R 0, )为拟群;(iii)关于a,b,cR,有a(b+c)=ab+ac&(b+c)a=ba+c

12、a.注意411若将(ii)改为(R, )为拟群,则由(R, )含零元,从而为幂零元半群,此时(R,+, )为幂零元环.但是当(R,+, )为拟环,且关于 的正则元集RegR=ER时,(R 0, )亦为幂零元半群,但此时e0,从而(R,+, )非幂零元环.注意412整环未必为拟环.例如(Z,+, )整数环.引理4115任一整环R存在扩张体S,即任一体可嵌入子环.称环R为左Ore环6,如果aR,a不是左零因子和右零因子且R满足:a,bR,b非左、右零因子,则必a1,b1R,b1非左、右零因子,使得b1a=a1b.定理411拟环为左Ore环,从而存在左分式环.第1期朱平关于循环子半群的结构与数量问题

13、及拟环的特征与结构243定理412令R为拟环,则RegR为其最大子体.证明据R为拟环知(R 0, )为拟群,从而(RegR 0, )为其子群.下面仅需证(RegR,+)为(R,+)的子群即可.因为0 0 0=0所以0RegR;aRegR 0a-1RegR 0(aa-1=a-1a=e)-a(-a-1)=-a-1(-a)=e&-a(-a-1)(-a)=-a-aRegR 0,即在RegR 0中,a关于+的逆元-a存在;a,bRegR,若a=0或b=0,则aRb0,则存在a-1,-1-1-1-1-1-1-1-1bRegR 0,使得aa=aa=bbbe(a)bR,如b+a0,则由拟群性质:Reg

14、R 0为R,1-1+)ba+bRegR 0若b-1+-1-1=-从而baa-1b=-abb=-1aa-1b=-aa+b=0RegR.综上.证得(RegR,+, )为体.又由于RegR为R的最大正则元集,故(RegR,+, )为R的最大子体.定理413令R为拟环,则R RegR为幂零元环.证明由拟群性质可知,(RegR 0, )为(R 0, )的理想,故而有(RegR, )为(R, )的理想,即(RegR,+, )为(R,+, )的理想子环,从而据文5知,R RegR为同余环,又xR RegRxRnN(xnRegR)xn=xn=0综上,证得R RegR为幂零元环.从而,得出了与引理411相对应的

15、结论:定理414令(R,+, )为拟环,则(R, )为其最大子群(RegR, )的幂零扩张.推论411令(R,+, )为拟环,则(R, )为其最大子群(RegR, )的幂零扩张.参考文献1HowieJM.AnIntroductiontoSemigrouptheoryM.NewYork,1976.2HungerfordTW.AlgebraM.NewYork:Springer2Verlag,1980.3GalbiatiJL,VeronesiML.OnquasicompletelyregularsemigroupsJ.SemigroupForum,1984,29:271275.4Bogdanovic

16、S,CiricM.RetractiveNil2extensionsofregularsemigroups J.Proc.JapanAcd.,1992,68,Ser.A:126130.5熊全淹.近世代数M.武汉:武汉大学出版社,1984.6刘绍学.环与代数M.北京:科学出版社,1983.(下转第249页)第3期褚玉明拟圆的一个充分必要条件2495褚玉明,程金发.拟圆和模单调域J.数学学报,1996,39:556560.1997,13:5155.AsufficientandnecessaryconditionforquasiCHUYu2(DepartmentofMathematics,HunanNormalU,China)Abstract:Inthispaper,theofpmalmappingarestudiedbyusingquasi2hyperbolicmetric,aconditionforquasidiskareobtained.Keyalm,quasidisk,quasihyperbolicmetric2000:C75(上接第2