一阶线性电路暂态分析三要素法

1、第三章电路的暂态分析 第一章第一章 讨论电路的基本概念和基本定律讨论电路的基本概念和基本定律 。 如：电路模型、电压和电流的参考方向、基尔霍夫定律、 电源的工作状态及电路中电位的计算等。这些内容是分析与 计算电路的基础。 第二章第二章 介绍几种常用的电路分析方法。介绍几种常用的电路分析方法。 有：支路电流法、节点电位法、实际电源模型的等效变换、叠加原理、和戴维宁定理。 第三章第三章 讨论直流一阶电路的暂态分析。讨论直流一阶电路的暂态分析。 介绍：用“三要素法”分析暂态过程。稳态：稳态：是指电路的结构和参数一定时，电路中电压、电流是指电路的结构和参数一定时，电路中电压、电流恒定恒定 或周期性变化

2、或周期性变化。换路：换路：指电路指电路接通、断开或结构和参数接通、断开或结构和参数发生变化发生变化。 先讨论暂态过程产生的原因先讨论暂态过程产生的原因-动态元件、换路定律动态元件、换路定律。 后讨论暂态过程中电压、电流后讨论暂态过程中电压、电流随时间变化的规律随时间变化的规律。暂态：暂态：电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态所电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态所经过的过渡经过的过渡 状态状态。动态元件动态元件:是指在电容元件和电感元件的电压和电流约束关系是指在电容元件和电感元件的电压和电流约束关系 是通过导数或积分来表达的。是通过导数或积分来表达的。 换路发生换路发生很长时间很长时间后重

3、新达到稳态。后重新达到稳态。 含有储能元件的电路，在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，即：换路瞬间换路瞬间：设为设为 t t=0=0。换路前终了瞬间换路前终了瞬间：以：以 t=0t=0表示。表示。换路后初始瞬间换路后初始瞬间：以：以 t=0+t=0+表示。表示。换路定则换路定则：电感元件的储能电感元件的储能不能跃变不能跃变221LLLiW电容元件的储能电容元件的储能不能跃变不能跃变221CCCuW 状态变量状态变量 在直流电路换路瞬间，电容电压保持不变，电感电流保持不变。独立初始值独立初始值 第一章第一章 电路及其分析方法电路及其分析方法【例例3.13.1】设：开关设：开关S S闭合前闭合前L

4、L元件和元件和C C元件均未储能。元件均未储能。 试试：确定确定S S闭合后闭合后电路中各电流与电压的初始值。电路中各电流与电压的初始值。解解：由由t t=0-=0-的电路得：的电路得：4 R3+U6Vt =02 SR1R24 uCC+iCiL t=0-iLuLuC(0+)=0iL (0+) =0uC(0-)=0iL(0-) =0电容元件短路。电容元件短路。电感元件开路电感元件开路由换路定则得：由换路定则得：则：则：画出画出t=0t=0+ +时时的等效电路的等效电路独立初始值独立初始值第一章第一章 电路及其分析方法电路及其分析方法2(0)(0)414LCuR iVV由由t=0t=0+ +的等效

5、电阻电路的等效电阻电路126(0)(0)124cUiiAARR+UR1i+uLiLR2 R3uC+iC (0+) t=0+求出各独立初始值求出各独立初始值2 4 6V(0+)(0+)(0+)(0+)1. 1. 零状态响应零状态响应2. 2. 零输入响应零输入响应3. 3. 全响应全响应 换路前动态元件未储存能量 ，即uc（0-）=0或iL(0-)=0 ， 换路时，由电源激励所产生的电路响应。 换路前动态元件已储存能量，换路时，无电源激励，输 入信号为零 。由初始储能引起的的电路响应。 指电源激励和动态元件的初始储能引起的均不为零时的电路响应。 即：是零状态响应与零输入响应即：是零状态响应与零输

6、入响应两者的叠加。Rt=0 +U12 +uR +uLiL 电感电感初始储能初始储能为零为零，电路响应仅由，电路响应仅由外加电源引起外加电源引起，为，为RLRL电电路的路的零状态响应零状态响应。S若若S S在在2 2位置时，在位置时，在t=0t=0时将开关时将开关S S合到合到1 1的位置。的位置。 电路中电路中外加激励为零外加激励为零，电路的响应是由电感的，电路的响应是由电感的初始储能初始储能引起引起的，故为的，故为RLRL电路的电路的零输入响应零输入响应。若若S S在在1 1位置时，在位置时，在t=0t=0时将开关时将开关S S合到合到2 2的位置。的位置。CCCutuRCuRiU ddUS

7、CRt=0 +12 +uR +uCit t 0 0时电路的微分方程为时电路的微分方程为： 设设: :S S在在2 2位置时位置时C C已放电完毕，在已放电完毕，在t=0t=0时将开关时将开关S S合到合到1 1的位置。的位置。RC电路零状态响应电路零状态响应根据根据KVLKVL通解=特解特解+补函数补函数Cu Cu 特解取换路后的稳态值稳态值，即，即UuuCC )(补函数是齐次微分方程0dd CCutuRc形式为：ptCuAe 的通解SCRt=0 +U12 +uR +uCi(1)ttcuUUeUeuC零状态响应表达式：零状态响应表达式：时间常数时间常数-S S推导整理得：tuCU0u0.632

8、U 零状态响应零状态响应曲线曲线物理意义物理意义: :当当t =t =时时UeUuc632. 0)1 (1是电压是电压uc增长到稳态值增长到稳态值U的的63.2所需的所需的时间时间。R Rt t=0=0 + +U U1 12 2 + +u uR R + +u uL Li iL L根据KVLKVLt t 0 0时电路微分方程为时电路微分方程为: : S StiLRiUdd 推导整理得：通解=特解特解 +补函数补函数uC零状态响应表达式：零状态响应表达式：)e1(i-LtRU时间常数时间常数-S SRL 此时，通过电感的电流此时，通过电感的电流i iL L由由初始值初始值I I0 0向稳态值零衰减

9、，向稳态值零衰减，其随其随时间变化表达式为：时间变化表达式为：Rt=0 +U2 +uR +uLiLS1)e1(i-LtRU tIi-0e iL零状态响应表达式：零状态响应表达式：ti0i零状态响应零状态响应曲线曲线UR小结小结2 2）达稳态值的快慢取决于时间常数）达稳态值的快慢取决于时间常数 。（。（ = =RC RC 或或 = =GLGL）3 3）当直流动态电路达到稳定状态时，当直流动态电路达到稳定状态时，电容相当于开路电容相当于开路, ,电感相电感相当于短路当于短路。其等效电路为电阻性电路。 4 4）零状态线性：当零状态线性：当输入增大输入增大 倍，倍，其其零状态响应也增大零状态响应也增大

10、 倍倍。 1 1）直流一阶电路的零状态响应中，所有支路电压、电流均）直流一阶电路的零状态响应中，所有支路电压、电流均从初始值开始按相同的指数规律变化，最后达稳态值从初始值开始按相同的指数规律变化，最后达稳态值。 teyty )0()(代代入上式得入上式得0dd CCutuRCtuCCCdd RuR 换路前电路已处换路前电路已处于于稳态稳态 UuC )0(t t =0=0时开关时开关, 电容电容C C 经电阻经电阻R R 放电放电1S一阶线性常系数一阶线性常系数 齐次微分方程齐次微分方程列列 KVLKVL方程：方程：0 CRuuUuC )0(+-SRU21+ CiCu0 tRu+c 0 )0(

11、etCutRCtUuC e推导整理得：uC零输入响应零输入响应曲线曲线0uUt时间常数时间常数 =RC当当t t = = 时，时，u uC C = = 36.8%36.8% U U =0.368U i零输入响应零输入响应曲线曲线0iI0t0.368I0 时间常数时间常数 =L/R当当t t= = 时，时，i iL L= =36.836.8% %I I0 0 。 电路中 u uR R和u uL L可根据电阻和电感元件两端的电压电流关系确定。0 )0( etiiLLt同理可推导：tii0i时间常数时间常数 =L/R当当t t= = 时，时，u uC C= =63.2%63.2%U U。0.632U

12、/R 零状态响应零状态响应曲线曲线零输入响应零输入响应曲线曲线0iI0t0.368I0 时间常数时间常数 =L/R当当t t= = 时，时，u uC C= =36.836.8% %U U0 0 。)e1( tRUi tIi e0UR 电路中 u uR R和u uL L可根据电阻和电感元件两端的电压电流伏安特性关系确定。当当0Cu t0Cu) 53(t Cu0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U 2 3 4 6 51e 2e 3e 4e 5e 6e t e t e小结：小结：4. 4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输

13、入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1. 1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应应 , , 都是由初始值衰减为零的都是由初始值衰减为零的指数衰减函数指数衰减函数。2. 2. 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RCRC电路电路 = = RCRC , , RLRL电路电路 = = L L/ /R R3. 3. 同一电路中同一电路中所有响应具有相同的时间常数所有响应具有相同的时间常数。 teyty )0()(u uC C全响应全响应: : 电源激励和储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。)0()e1(e 0tUUuR

14、CtRCtCR1 U1C +1+uC U2 +2t=0S) 0()e1(e 0 tUUuRCtRCtC) 0( )e( 0 tUUURCt稳态分量稳态分量零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应暂态分量暂态分量全响应全响应稳态值稳态值初始值初始值 tffftf e)()0()()(状态变量状态变量的的三要素三要素u uC C( (0 + +) )u uC C( ( ) ) = =RCRCi iL L( (0 + +) )i iL L( ( ) ) = =GLGL设：动态电路中任一支路电压(或电流)为f (t) 则：f f (0+ +) 待求响应的待求响应的初始值初始值 f f ( ) 待求响应

15、的待求响应的稳态值稳态值 待求响应的待求响应的时间常数时间常数任意变量f (t )的三要素可以证明：f (t )f (t )完全由此三要素决定。完全由此三要素决定。即：含源含源电阻电阻网络网络动动态态元元件件R0SUC( )Cu tR0SIL()Li t tffftf e)()0()()()(tf tffftf e)()0()()(对于任何形式的直流一阶电路，对于任何形式的直流一阶电路，【三要素法】稳态值稳态值初始值初始值时间常数时间常数稳态值稳态值 f f(0(0+ +) )、f f( ( ) )和和 )(tf)(f)0 (f)0()0()( 6320 fff.即求解即求解直流电阻直流电阻性

16、电路中的电压和电流性电路中的电压和电流。 【i i c c( ( )=0)=0、 u u L L( ( )=0)=0】V555510)( Cu6666)( LimA3 (1)(1)稳态值稳态值 的计算的计算)( f例：例：uC+-t=0C10V 1 FS5k +-Lit =03 6 6 6mAS 画换路后画换路后t=t= 的等效电路的等效电路（电容（电容C C 视为开路视为开路, ,电感电感L L视为短路）视为短路）。 在在t=t= 的等效电路中，利用两类约束求各稳态值的等效电路中，利用两类约束求各稳态值。 1) 由由t t=0=0- -等效电路求等效电路求)0()0( LCiu、2) 2)

17、根据换路定则求出根据换路定则求出独立初始值独立初始值)0()0()0()0( LLCCiiuu3) 3) 画画t t=0=0+ +时时等效电阻电路，求所需等效电阻电路，求所需非独立初始非独立初始值值量量)0( i)0( u或或电容元件视为短路。;0U 其值等于，若 0)0( Cu(1) 若， 0)0(0 UuC电容元件用恒压源代替， 0 )0 (0 IiL0)0( Li若若其值等于其值等于I0 , , 电感元件视为开路。(2) 若若 , 电感元件用恒流源代替 ， 注意：注意：)0( f(2) (2) 初始值初始值 的计算的计算 CR0 0RL 注意：注意：R03210)/(RRRR U0+-C

18、R0CR0 R1R2R3R1U+-t=0CR2R3S 例例 在下图中，已知在下图中，已知U U1 1=3V=3V，U U2 2= =+6+6V V，R R1 1=1k=1k ，R R2 2=2k=2k ，C C= = 3 3 F F ，t t00时电路已处于稳态。用三要素法求时电路已处于稳态。用三要素法求t t 0 0 时时的的 u uC C( (t t),),并并画出变化曲线画出变化曲线。 u uC C(0(0+ +) )、u uC C( ( ) )和和 R2R1 U1C +1+uC U2 +则：则：电容相当于开路。电容相当于开路。2t=0SV2)0()0(2112 RRURuuCCV4)(

19、2122 RRURuC 解解 先确定先确定三要素三要素因：因：t t00时电路已处于稳态，时电路已处于稳态，当当t t0 0电路处于稳态时，电路处于稳态时，R2 U1C +1+uCU2 +2t=0SR1V2)0()0( CCuuV4)( CusCRRm2332)/(21 tCCCCuuuu-e)()0()( V)0( ttCu500-e24 例例 在下图中，已知在下图中，已知U U1 1=3V=3V，U U2 2= =+6+6V V，R R1 1=1k=1k ，R R2 2=2k=2k ，C C= = 3 3 F F ，t t00时电路已处于稳态。用三要素法求时电路已处于稳态。用三要素法求t t 0 0 时时的的 u uC C( (t t),),并并画出变化曲线画出变化曲线。 解解 先确定先确定三要素三要素210/RRR 解解 U1C +1+uCU2 +2t=0SR1R2t (S)uC (V)402u uC C( (t t) )变化变化曲线曲线 VtCu500-e24 sm2 V2)0( CuVuC4)( 例例 在下图中，已知在下图中，已知U U1 1=3V