概率论与数理统计(经管类)第四章课后习题答案

1、习题4.11. 设随机变量X 的概率密度为(1f x 2x,0 x 1,0,其他; (2 f xe | |, 求E(X 解: (1E Xxf x dx x·2xdx 2·10(2 E X xf x dx x ·e | | 0 2. 设连续型随机变量X 的分布函数为 F x 0,x 1,a b ·arcsinx, 1 x 1,1,x 1. 试确定常数a,b,并求E(X. 解:(1 f x F x, 1 x 10,其他f x dxb1 xdxb ·arcsinx 11 1, 即b 1 又因当 1 x 1时 F X f x dx1·11 x

2、dx 1·arcsinx x 1X1·arcsinx 1, 即a 1(2 E X xf x dx· 03. 设轮船横向摇摆的随机振幅X 的概率密度为 f x 1e,x 0,0,x 0. 求E(X. 解: E Xxf x dx x ·e dx14. 设X 1, X 2,. X n 独立同分布,均值为,且设YX ,求E(Y.解: E Y EXE X·n 5. 设(X,Y的概率密度为f x,y e ,0 x 1,y 0,0,其他.求E(X+Y.解:E X Y x y f x,y dxdy x y e dxdy·e y ·e dy6

3、. 设随机变量X 1, X 2相互独立,且X 1, X 2的概率密度分别为f x 2e ,x 0,0,x 0, f x3e,x 0,0,x 0,求: 1 E 2X 3X ; 2 E 2X 3X ; 3 E X X . 解:1 E 2X 3X 2E X 3E X 2322 E 2X 3X 2E X 3E X1 3x 3e dx1 3x d e1 3 x·e0 e dx1 3 0 e ·2x dx1 3 23e ·3x dx1 32 11 3 E X X E X E X7. 求E(X.解:E X x p 0 0.1 0 0.3 1 0.2 1 0.1 2 0.1 2

4、0.2 0.9 8. 设随机变量X 的概率密度为f x cx ,0 x 1,0,其他.且E(X=0.75,求常数c 和.解: E X xf x dx x ·cx dx 0.75 习题4.21. 设离散型随机变量X 的分布律为X 1 0 0.51 2P 0.1 0.5 0.1 0.1 0.2 求E X ,E X ,D X .解: E X 1 0.1 0 0.5 0.5 0.1 1 0.1 2 0.2 0.45E X 1 0.1 0 0.5 0.5 0.1 1 0.1 2 0.2 1.025D X 1 0.45 0.1 0 0.45 0.5 0.5 0.45 0.1 1 0.45 0.1

5、2 0.45 0.2 0.8225 2. 盒中有5个球,其中有3个白球,2个黑球,从中任取两个球,求白球数X 的期望和方差. 解: X 的可能取值为0,1,2 P X 0 C C 0.1 P X 1 C·CC0.6 P X 2CC0.3 E X 0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2D X 0 1.2 0.1 1 1.2 0.6 2 1.2 0.3 0.144 0.024 0.192 0.36 3. 设随机变量X,Y 相互独立,他们的概率密度分别为 f X x 2e,x 0,0,x 0, f Y y4,0,0,其他,求D(X+Y.解: D X Y D X D Y4. 设随机变量X

6、 的概率密度为f X xe | |, , 求D(X 解: E Xe | |dxE Xx2e | | dx 2 x2ex e 2D X =E X E X 25. 设随机变量X 与Y 相互独立,且D(X=1,D(Y=2,求D(X Y.解: D X Y D X D Y 1 2 3 6. 若连续型随机变量X的概率密度为f x ax bx c,0 1,0,其他,解:E X x axbx cdx a 4 b 3 c2 0.5E Xxax bx cdx a 5 b 4 c3 0.15 0.5 0.4f x dxax 2 bx c 10dxa 3 b2c 1 解得a=12,b=12,c=3.习题4.31. 设

7、两个随机变量X,Y 相互独立,方差分别为4和2,则随机变量3X 2Y 的方差是 D . A. 8 B. 16 C. 28 D. 442. 设二维随机变量(X,Y的概率密度为 f x,y 1 8 x y , 0 x 2,0 y 2,0, 其他求Cov(X,Y. 解:E X x8 x y dydx x 8·y x 8·y 2 20dx 76E Yy8x y dxdy 76E XYxy8 x y dydx 43 Cov X,Y E XY E X E Y4 7 7 13. 设二维随机变量(X,Y的概率密度为f x,yye , x 0, 0,0, 其他求X 与Y 的相关系数xy. 解

8、:E Xxye dy dx 1E Yy e dx dyy e e dx dyy e dyy d ey e0 e d y 0e ·2y dy2e ·y dy 2E XYxy e dy dx 2Cov X,Y E XY E X E Y 2 2 1 0所以xy Cov X,YD X D Y 04. 设二维随机变量(X,Y服从二维正态分布,且E(X=0, E(Y=0, D(X=16, D(Y=25, Cov(X,Y=12,求(X,Y的联合概率密度函数f(x,y. 解:f x,y e E X 0,E Y 01 0,2 0, D X 16,D Y 25 1 4,2 5 Cov X,Y

9、12 Cov X,Y D X D Y 12 3f x,y 132e 2532 x 216 3xy50 y 2255.证明D(XY=D(X+D(Y2Cov(X,Y.证:D X YE X Y E X YE X E X Y E YE X E X 2E X E X ·E Y E Y E Y E YD X D Y 2Cov X,Y6.设(X,Y的协方差矩阵为C 4 339,求X与Y的相关系数xy.解: C 4 339Cov X,Y 3,D X 4,D Y 9xyCov X,YD X D Y31自测题4一、选择题A. E(X=0.5, D(X=0.25B. E(X=2, D(X=4C. E(X=

10、0.5, D(X=4D. E(X=2, D(X=0.25解: 指数分布的E X,D X2. 设随机变量X,Y相互独立,且XB(16,0.5,Y服从参数为9的泊松分布,则D(X2Y+1= C .A.14B. 13C. 40D. 41解: D X npq 16 0.5 0.5 4,D Y 9D X 2Y 1 D X 4D Y D 1 4 4 9 0 403. 已知D(X=25,D(Y=1, xy=0.4, 则D(XY= B .A.6B. 22C. 30D. 464. 设(X,Y为二维连续随机变量,则X与Y不相关的充分必要条件是 C .A. X与Y相互独立B. E(X+Y=E(X+E(YC. E(X

11、Y= E(XE(YD. (X,YN( , , , ,0解: X与Y不相关xy 0, Cov X,Y 0E XY E X E Y5.设二维随机变量(X,YN(1,1,4,9,则Cov(X,Y= B .A.B. 3C. 18D. 36解: xy 12 Cov X,YD X D Y Cov X,Y2 3, Cov X,Y 36. 已知随机变量X 与Y 相互独立,且它们分别在区间1,3和2,4上服从均匀分布,则E(XY= A .A. 3B. 6C. 10D. 12解: XU 1,3 ,YU 2,4E Xa b 1 3 1,E Y 2 4 3 E XY E X E Y 1 3 37. 设二维随机变量(X

12、,YN(0,0,1,1,0,Ø(x为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C .A. X 与Y 都服从N(0,1正态分布B. X 与Y 相互独立C. Cov(X,Y=1D. (X,Y的分布函数是 x · y二、 填空题 1. 若二维随机变量(X,YN( , , , ,0,且X 与Y 相互独立,则= 0 .解: Cov(X,Y=02. 设随机变量X 的分布律为 3 .X 1 0 1 2P 0.1 0.2 0.3 0.4令Y=2X+1,则E(Y= 3 .解: E(2X+1=(2*1+1*0.1+(2*0+1*0.2+(2*1+1*0.3+(2*2+1*0.4=33. 已知随机

13、变量X 服从泊松分布,且D(X=1,则PX=1= e .解: D X 1P X 1 e 1!e 4. 设随机变量X 与Y 相互独立,且D(X= D(Y=1,则D(X Y = 2 .5. 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布, E X = 6 .解: E X 2,D X 2,E X E X D X 4 2 66. 设X 为随机变量,且E(X=2, D(X=4,则E X = 8 .7. 已知随机变量X 的分布函数为F x 0, x 0x 4, 0 x 41, x 4则E(X = 2 .解: f x F " x, 0 x 40, 其他 E X x 440dx 08. 设随机变量X 与Y

14、相互独立,且D(X=2, D(Y=1,则D(X 2Y+3= 6 .三、 设随机变量X 的概率密度函数为f x 32x , 1 x 1,0, 其他试求: (1E(X, D(X; (2P |X E X | 2 .解:(1 E Xx dx 0 D X E X E X 32x 32·x 5 1 1 35 (2 P |X E X | 2 P |X | f x dx x dx 1 四、 设随机变量X 的概率密度为f x x 0 x 12 x, 1 x 20, 其他试求: (1E(X, D(X; (2E X ,其中n 为正整数.解:(1 E X x dx x 2 x dx 1 D X E X E

15、X x dx x 2 2 x 114 143 154 1 16 (2 E X n x dx x n 2 x五、 设随机变量X 1与X 2相互独立,且X 1N(, , X 2N(, .令X= X 1+X 2, Y= X 1X 2.求: (1D(X, D(Y; (2X 与Y 的相关系数xy.解:(1 D X D X 1 X 2 D X 1 D X 2 2D Y D X 1 X 2 D X 1 D X 2 2(2 Cov X,Y E XY E X E Y 0 xy Cov X,Y D X D Y0 六、 设随机变量X 的概率密度为f x 2e ,x 0,0, x 0. (1 求E(X,D(X;(2

16、令YX E X D X ,求Y 的概率密度f Y (y. 解:(1 E X 2xe 2x dx 12 D X E X E X 2x 2e 2x dx14 12 14 14(2 Y X E XD X X1212 2X 1由Y=2X 1得XY 12, X= f Y y 2e Y 12 · ,Y 12 00, Y 12 0 = e ,y 10, y 1七、 设二维随机变量(X,Y的概率密度为f x,y 2, 0 x 1,0 y ,0, 其他求: (1E(X+Y; (2E(XY; (3 P X Y 1 .解:(1 E X Y dx 2 x y dy 2x x dx1 (2 E XY dx 2xy dy x dx (3 P X Y 1 f x,y dxdy2dx dy 2 4y dy 八、 设随机变量X 的分布律为 X 1 0 1P 13 13 13记Y=X 2,求: (1D(X, D(Y; (2 xy.解: (1 E