欧氏空间欧氏空间的定义及基本性质

1、谢谢观赏第八章欧氏空间计划课时：22学时(P 335-36) 8.1欧氏空间的定义及基本性质(4学时)教学目的及要求：理解内积、长度、夹角、正交、距离的定义，掌握柯西一施瓦兹不等式。通过本节的学习, 使学生逐步掌握由特殊的例子抽象出一般概念的方法。教学重点、难点：内积的定义、柯西一施瓦兹不等式本节内容分为下面四个问题讲授：一内积及欧氏空间的定义1. 内积及欧氏空间的定义定义1 (内积及欧氏空间的定义R36)注意：(1).通过这个定义让学生逐步学会从具体例子抽象出一般概念的方法。(2) .让学生体会公理化定义的特点。(3) .内积的定义是本章的难点之一。例 1( P336)例 2( P336)例

2、3(巳36)例 4( P336)2. 向量的长度定义2 (向量的长度R37)例 5( P336)例 6( P336)例 7( P336)长度的性质：| k： | =| k| ：|.单位向量二. 柯西一施瓦兹不等式定理8.1.1注意：Cauchy不等式与Schwarz不等式这两个看似完全不同的不等式在高等代数课程中达到了高度的统 例 8( P338)例 9 (P338)三. 两向量的夹角、正交、距离定义 3( P338-33)定义 4( P339)作业：F356-P357 习题八1 (1), 2, 3, 4, 5. 8.2 度量矩阵与正交基(4学时)教学目的及要求：理解度量矩阵、规范正交基、正交

3、矩阵的定义及相应的理论，掌握在规范正交基下内积的算 法与正交化方法教学重点、难点：正交化方法本节内容分为下面三个问题讲授：一. 度量矩阵(1) .内积的计算(2) .度量矩阵定理 8.2.1(P309)例 1 (P 341)二. 规范正交基(1).规范正交基的定义注意：一个基为规范正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵.(2).在规范正交基下内积、坐标的算法(3) .规范正交基的求法一正交化过程.定理8.2.3注意：1.Schmidt正交化方法肯定了 n(n亠1)维欧氏空间的规范正交基的存在性。2.在求欧氏空间的规范正交基时，常常是已经有了空间的一个基 1, 2,，；n,这时我们首先将它

4、化 成正交基 -1,：2,-n，再将每一个向量单位化例 2(F34 3)三. 正交矩阵注意：由规范正交基到规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果一个基是规范正交的，同时过渡矩阵 是正交矩阵,那么另一个基也是规范正交基.作业：R57-358习题八7, 9, 11. 8.3正交变换与对称变换(2学时)教学目的及要求：理解正交变换、对称变换的定义，掌握有限维欧氏空间的正交变换、对称变换的等价命题，理解欧氏空间v2的一个正交变换不改变平面上图形的大小和形状。教学重点、难点：正交变换、对称变换的等价命题本节内容分为下面二个问题讲授：一. 正交变换定义1(电6)注意：正交变换不改变任意两个向量的夹角

5、和向量的长度。定理 8.3.1(P346)二. 对称变换定义 2(P348)定理 8.3.2(P349)作业：P358 习题八 13, 14, 15, 16. 8.4子空间与正交性（2学时）教学目的及要求：理解正交补、欧氏空间同构的定义及相关理论，掌握有限维欧氏空间的任意一个子空间的 正交补的存在唯一性定理、两个有限维欧氏空间同构的条件教学重点、难点：正交补的定义及求法一. 子空间的正交补定义：（两个子空间的正交性，向量与子空间的正交性，子空间的正交补，向量在子空间上的内射影） 正交及正交补的性质.二. 欧氏空间的同构欧氏空间同构的定义.两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件.作业：P358 习

6、题八 17，18, 19, 20, 21, 22，24, 25. 8.5对称矩阵的标准形（6学时）教学目的及要求：理解本节实对称矩阵的标准形与解析几何中二次曲线方程与二次曲面方程的化简的关系。掌 握n阶实对称矩阵和有限维欧氏空间的对称变换一定可对角化的理论。教学重点、难点：有限维欧氏空间的对称变换可对角化的理论。本节内容分为下面二个问题讲授在二次型的讨论中，我们知道，任意一个实对称矩阵A都合同于一个对角形矩阵.换句话说，有一个可逆 矩阵C使CtAC为对角形矩阵现在根据欧氏空间的理论，关于实对称矩阵，我们有更强的结论.一. 对称变换及实对称矩阵的性质二. 对称变换的对角化定理 8.5.4（P352）推论8.5.5（巳52）注意：定理8.5.4的证明是本章的难点之一。例 1（ P353）作业：P359习题八 26* 8.6最小二乘法（选学内容）本节我们介绍欧氏空间的一个应用一最小二乘法问题，这将使线性方程组的理论更加完美.向量对子空间的最佳逼近定理 861(P354)二.最小二乘解(1) .最小二乘解的定义(2) .最小二乘解的算法 线性方程组(1)的矩阵形式为AB.则AAX =AB这就是最小二乘解所满足的线性方程组,它的系数矩阵是A A,常数项是A B