曲线运动资料

1、专题 4：曲线运动知识总结方法模板 4 运动的合成与分解问题【题型概述】：运动的合成与分解问题常见的模型有两类 .一是绳 （杆）末端速 度分解的问题，二是小船过河的问题，两类问题的关键都在于速度的合成与分 解.【思维模板】： （1）在绳 （杆）末端速度分解问题中，要注意物体的实际速度一 定是合速度，分解时两个分速度的方向应取绳 （杆）的方向和垂直绳 （杆）的方向 ; 如果有两个物体通过绳 （杆）相连，则两个物体沿绳 （杆）方向速度相等 .（2） 小船过 河时，同时参与两个运动，一是小船相对于水的运动，二是小船随着水一起运 动，分析时可以用平行四边形定则，也可以用正交分解法，有些问题可以用解 析

2、法分析，有些问题则需要用图解法分析 .模板 5 抛体运动问题【题型概述】：抛体运动包括平抛运动和斜抛运动，不管是平抛运动还是斜 抛运动，研究方法都是采用正交分解法，一般是将速度分解到水平和竖直两个 方向上.【思维模板】： （1） 平抛运动物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做 匀加速直线运动，其位移满足 x=v 0t,y=gt 2/2 ，速度满足 vx=v 0,vy=gt;（2） 斜抛 运动物体在竖直方向上做上抛 （或下抛 ）运动，在水平方向做匀速直线运动，在 两个方向上分别列相应的运动方程求解模板 6 圆周运动问题【题型概述】：圆周运动问题按照受力情况可分为水平面内的圆周运动和竖 直面内

3、的圆周运动，按其运动性质可分为匀速圆周运动和变速圆周运动.水平面内的圆周运动多为匀速圆周运动，竖直面内的圆周运动一般为变速圆周运动.对水平面内的圆周运动重在考查向心力的供求关系及临界问题，而竖直面内的圆 周运动则重在考查最高点的受力情况 .【思维模板】：(1)对圆周运动，应先分析物体是否做匀速圆周运动，若是，v2则物体所受的合外力等于向心力，由 F合二F向二m= m 2r=m( )2r = ma向列方rT程求解即可；若物体的运动不是匀速圆周运动，则应将物体所受的力进行正交分 解，物体在指向圆心方向上的合力等于向心力物体只要做圆周运动都有v222兀 2F径向的合力=F向二m = m r = m(

4、)r = ma向。rT(2)竖直面内的圆周运动可以分为三个模型：绳模型：只能对物体提供指向圆心的弹力，能通过最高点的临界态为重力等于向心力；杆模型：可以提供指向圆心或背离圆心的力，能通过最高点的临界态是速度为零；外轨模型：只能提供背离圆心方向的力，物体在最高点时，若vv(gR)1/2，沿轨道做圆周运动，若v>(gR)1/2，离开轨道做抛体运动.运幼的独侬据运幼的合实例立性原理成与分解小船过河|绳子末湍速度的分解炖护分运动分位移分妣处理岡刃运动的解迥力法 （玩枳木'浙戏运动厅钩理就水十方向（，轴）:以做勾速"线运动 帧方向（、轴）：口由第体运动;.r - 1/卜=却严=g

5、运动的"成号分解（线LW的的运谕n人小:J/F力向：仙乡人小:vV：+v；-品（«/）方向:伽加严U动力学方程:Fn”九 u 12知谁选谁 "求淮选進圾速）攵：V毎-节W向心加速度卫:一库n向心力:F 心m厂ffko r: w（Y）r1 wn:»>zn奴朵运动薛唯运动（曲找运动）厳（n找垢动）勺变述肚坡运动分关FeWj不典线（如匀加曲“线运动心3 9J祁叭待俺:n iii拾体）线运动一nmu反向（特例:径肚上妙认3" Wui"辰小vr = xi卜“f丿二zU刁心nlu.0 a«-M IIII >'-体规律

6、宀一（F她类）詩例汁据电场屮的樹也超子 叫9s不（«««）水平方向©轴XlUu做匀逮ft线运动径“方向（加:初連度为的勾加速直拔运动仃1山落体运动）MW运动“"叫帶电快"Dll场屮偏转何也咖；、:絢种分运动fl x十拋奥运动XA系分速皮宀1°=以屜+£血4（刖 血皿=也=国Vr 5分位移y=不以人小:s Z/; y 方向：吟?d赴郎副團诙讷的解粉片诂 呢41火“盼'歸如需二篇物站®帕火皿鹏何3:总;孑讣您 介沽肚山|心讹尼址仃、运动的合成与分解1曲线运动速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在

7、这一点的切线运动的性质:做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变 速运动.(3)曲线运动的条件:物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的 加速度方向与速度方向不在同一条直线上.2. 运动的合成与分解必修二 第五章 抛体运动与圆周运动 万有引力定律(1)基本概念 运动的合成：已知分运动求合运动. 运动的分解：已知合运动求分运动.(2) 分解原则:根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解.(3) 遵循的规律位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四(4) 合运动与分运动的关系 等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始，同时进行，同时停止.

8、 独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影 响. 等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.温馨提示合运动的方向就是物体实际运动的方向.也定1匀蛮建曲线运动'曲线 运动L 、卫軽非匀变速曲线运剖二、抛体运动1竖直上抛运动(1) 定义：只在重力G(忽略空气阻力)作用下，具有与重力方向相反的初速度vo的物体的运动，叫做竖直上抛运动.(2) 特点：竖直上抛运动的物体由于仅受重力作用，故其加速度始终为重力加 g ,方向竖直向下，所以竖直上抛运动是匀变速直线运动. 上升阶段：初速度与加速度方向相反，速度越来越小，是匀减 在最高点：速度vo= 0，

9、但加速度仍为重力加速度g，所以物体此时并不处于平衡状态. 下降阶段：初速度为零，下降过程中只受重力作用，是自由落体运动.(3) 规律：竖直上抛运动为匀变速运动，可直接用匀变速运动的规律解题.2. 平抛运动的特点和性质(1) 定义：初速度沿水平方向的物体只在重力作用下的运动.(2) 性质：平抛运动是加速度为 g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线.(3) 平抛运动的条件：0,沿水平方向；只受重力作用.(4) 研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运 动.基本规律(如图5 2 1所示).0C尢%中%PyL_y时割遭质的水L、丸佚联相寻时间何隔也* (內的匪欣变化it

10、方向% JjL向下.為小也尸J k_X位移关系水平方向：X - Vnl竺合速度|大小：j = yrL +JF1竖直方向：y速度关系水平方向：壯= 竖出方向：t?r = gt_ J3. 斜抛运动(1) 定义：将物体以初速度 V0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运 动.(2) 性质：加速度为重力加速度 g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.(3) 研究方法：斜抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线运 动的合运动.竖直平面内圆周运动的绳、杆模型(1)模型概述在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类.一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山

11、车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接，在弯管内的运动等 )，称为“杆(管道)约束模型”.临界问题分析物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问轻绳模型轻杆模型常见类型v t pj 的足沒有尢棹的小臥f © 1过最高 点的临 界条件2由 mg= m-得 v 临=佰由小球能运动即可得v临=0讨论分析(1) 过最高点时，v>Vgr, N+ mg=m,绳、轨道对球产生弹力 rN(2) 不能过最高点v/gr，在到 达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1) 当v= 0时，N = mg, N为支持力，沿半径背离圆心2(2) 当 0vv<

12、Vgr时，一N+ mg= m, N背向圆心，随v的增大而减小(3)当 v/gr时，N = 0 (?)当 v >Vgr时，N+ mg= m*, N指向圆心并随v的增大 而增大E 乂件：貝亜巫出利連朮平题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现就两种模型分析比较如下:圆 周 运 动平抛远谕万有引力定律 抛休运动与圆周运动研兜用法：运动的合成和分耕现崔：水f方向匀速左线运动，竖直方向I由落休运动转点：轨谨为岡阖的变谨曲线远动F Ma : “3工+条件：半於方向的合外力捉供回心占厂万有引力充当向心力L应用：大体的远动-L I国发射的三牛宇宙途厦1、2014新课标n卷.17如图，一质量为M的光滑

13、大圆环,平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下.重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为()A . Mg 5mg B . Mg + mgC. Mg + 5mg D . Mg + 10mg2014年高考真题2 mv1、17. C 解析小环在最低点时，对整体有T- （M + m）g= R，其中T为轻杆对大、, 一 1 2环的拉力；小环由最高处运动到最低处由动能定理得mg 2R= ?mv 0,联立以上二式解得T= Mg + 5mg,由牛顿第三定律知，大环对轻杆拉力的大小为T'= T = Mg + 5mg, C正确.2、2014新课

14、标全国卷I . 20如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴00'的距离为I, b与转轴的距离为21.木块与圆盘的最大静摩 擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g,若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用3表示圆盘转动的角速度.下列说法正确的是（）A . b 一定比a先开始滑动IB. a、b所受的摩擦力始终相等:产 -iD.当w=-，23kg时，a所受摩擦力的大小为 kmga与b所受的最大摩擦力相等,2、20. AC 解析本题考查了圆周运动与受力分析.而b需要的向心力较大，所以 b先滑动，A项正确；在未滑动之前，a、b各自受到的摩擦力等于其向心

15、力，因此 b受到的摩擦力大于 a受到的摩擦力，B项错误；b处于临界状态时2kmg = m® 2l，解得C项正确;3= 小于a的临界角速度,a所受摩擦力没有达到最大值，D项错误.3. 2014四川卷有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（）-J-J3. B 解析设河岸宽为d，船速为u，则根据渡河时间关系得 d ： f2 2 = k，解得u vu=&，所以B选项正确.1 k2013年高考真题1、2013新课标卷.21.公

16、路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急 转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处，(AC )A.路面外侧高内侧低B.车速只要低于vc ,车辆便会向内侧滑动C. 车速虽然高于 vc,但只要不超出某一高度限度，车辆便 不会向外侧滑动D. 当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小2、(2013海南卷)关于物体所受合外力的方向，下列说法正确的是A. 物体做速率逐渐增加的直线运动时，其所受合外力的方向一定与速度方向相同B. 物体做变速率曲线运动时，其所受合外力的方向一定改变C. 物体做变速率圆周运动时，其所受合外力的方向一定指向圆心D. 物

17、体做匀速率曲线运动时，其所受合外力的方向总是与速度方向垂直答案：AD外侧3、【2013江苏高考】如图所示,“旋转秋千冶中的两个座椅 A、B质量相等,通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上不考虑空气阻力的影响 匀速转动时，下列说法正确的是(A) A的速度比B的大(B) A与B的向心加速度大小相等(C) 悬挂A B的缆绳与竖直方向的夹角相等当旋转圆盘绕竖直的中心轴(D)悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小答案：D4、【2013江苏高考】如图所示,从地面上同一位置抛出两小球 A、B,分别落在地面上的M N点,两球运动的最大高度相同空气阻力不计，则(A) B的加速度比A的大(B) B的飞行时间比A的长(C)

18、B在最高点的速度比A在最高点的大(D)B在落地时的速度比A在落地时的大 答案：CD5、【2013上海高考19】如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上 方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A点高度为h,山坡倾角为B,由此可算出?(A) 轰炸机的飞行高度(B) 轰炸机的飞行速度(C) 炸弹的飞行时间(D) 炸弹投出时的动能 答案：ABC6、( 2013福建卷理综.20 (15分)如图，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，T端系一质量m=1.0kg的小球。现将小球拉到 A点(保持绳绷直)由静止释 放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点。地面上的D点与OB在同

19、一竖直线上，已知绳长L=1.0 m , B点离地高度H=1.0 m , A、B两点的高度差h=0.5 m，重力加速度 g取10m/s 2,不计空 气影响，(1) 地面上DC两点间的距离s； (2)轻绳所受的最大拉力大小6、答案:20 .(15 分)(1)物块做平拋运动在竖直方向上有在水平方向上有j<=巾1由式解徘(2)物块离开转台时，址大静障撩力捉供向心力，有112由®式解得2012年高考真题1 . （2012全国新课标）如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图 中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球 a、b和c的运动轨迹， 其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则A.

20、 a的飞行时间比b的长B. b和c的飞行时间相同C. a的水平速度比b的小D. b的初速度比c的大 答案BD解析平抛运动的时间是由下落高度决定的，高度相同，时间一样，高度高，飞行时 间长。A错，B正确。水平位移由速度和高度决定，由x=v, g得C错D正确。2.（2012浙江卷）由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。一质量为 m的小球，从距离 水平地面为H的管口 D处静止释放，最后能够从 A端水平抛出落到地面上。下 列说法正确的是（）A. 小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2 .R1Ih （I、h为定B. 小球落到地面时相对于 A点的

21、水平位移值为匚.1儿C. 小球能从细管 A端水平抛出的条件是 H>2R5D. 小球能从细管A端水平抛出的最小高度 Hmin=R2答案：BC3（2012江苏卷）.如图所示，相距丨的两小球A、B位于同一高度 值），将A向B水平抛出的同时，B自由下落，A、B与地面碰撞前后，水平分速度不 变，竖直分速度大小不变，方向相反，不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，贝V:BA. A、B在第一次落地前能否相碰，取决于 A的初速度B. A、B在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰C. A、B不可能运动到最高处相碰D. A、B一定能相碰【解析】平抛运动规律x=vt, h=】gt2，所以x二v g，若x_l，则第

22、1次2V 2h落地前能相遇，所以取决于v , A正确；A碰地后还可能与B相遇，所以B、C 错误，D正确。【答案】AD4 （2012上海卷）.如图，斜面上 O点抛出，做初速为 vo的平抛运动, 点位于6则（(A)VoV vv 2voa、b、恰落在(B)v> 3vocv(C)2vov v v 3vo(D)答案：5.（2012 全国理综）.（20分）一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物 线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度 vo沿水平方向跳向另一侧坡面。如 图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y= ，探险队

23、员的质量为m。人视为质点，忽略 空气阻力，重力加速度为g。i(1) 求此人落到破面试的动能；(2) 此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？【解析】1(1)平抛运动的分解：X二v°t， y=2h-gt2，得平抛运动的轨 迹方程2y = 2h x2v。，此方程与坡面的抛物线方程为y=的交点为4h2v：X = i2v。+gh2hv； vo gh。根据机械能守恒，mg2h2mv。2二 mgy Ek1解得 Ek = 2mgh mv：2mghv?v； gh1(3)( 2 )求 E2mgh 石吠鸩关于v。的导数并令其等于。，小，动能的最小值为2 27, 6mg h

24、Ek minmgh-v。 ghV。解得当此人水平跳出的速度为v。f 3gh时，他落在坡面时的动能最6.(2012山东卷).(15分)如图所示，一工件置于水平地面上，其 AB段为一半径 1.0m的光滑圆弧轨道，BC段为一长度lf.s的粗糙水平轨道，二者相切与 B点，整个轨道位于同一竖0直平面内，P点为圆弧轨道上的一个确定点。一可视为质点的物块，其质量m =0.2kg，与BC间的动摩擦因数叫=°4。工件质M =08kg，与地面间的动摩2擦因数 0.1。（取 gJ°m/s）（1） 若工件固定，将物块由 P点无初速度释放，滑至 C点时恰好静止，求P、C两 点间的高度差h。（2）若将

25、一水平恒力F作用于工件，使物体在 P点与工件保持相对静止，一起向左 做匀加速直线运动C求 F的大小2当速度时，使工件立刻停止运动（即不考虑减速的时间和位移），物块飞离圆弧 轨道落至BC段，求物块的落点与 B点间的距离。（1）物块从P点下滑经B点至C点的整个过程，根据动能定理得mgh- mgL 二 0代入数据得h 二 0.2m2（2）2设物块的加速度大小为 a , p点与圆心的连线与竖直方向间的夹角为 二，由几 何关系可得R-h根据牛顿第二定律，对物体有mgtan J - ma对工件和物体整体有F - yM m)g = (M m)a联立2式，代入数据得F =85NX2设物体平抛运动的时间为t，水

26、平位移为X1，物块落点与B间的距离为由运动学公式可得如2Xt =vtx2 =- Rsinr联立C2®式，代入数据得x2 =0 4m7. (2012北京高考卷).(16分)如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离I后以速度u飞离桌面，最终落在水平地面上.已知l=1.4m, u=3.0 m/s, m=0.10kg，物块与桌面间的动摩擦因数10m/s2 .求：尸0.25，桌面高h=0.45m，不计空气阻力，重力加速度 g取U0(1) 小物块落地点距飞出点的水平距离s；(2) 小物块落地时的动能 Ek；(3) 小物块的初速度大小u.(16 分)(1)由平抛运动规律，有竖直

27、方向h=*gt水平方向s= u t得水平距离u =0.90m(2)由机械能守恒定律，动能Ek=1 mu 2+mg=0.90J(3) 由动能定理，有得初速度大小u0=,2)gl2 =4.0m/s8. （2012天津卷）如图所示，水平地面上固定有高为h的平台，台面上有固定的光滑坡道，坡道顶端距台面高也为h，坡道底端与台面相切。小球A从坡道顶端由静止开始滑下，到达水平光滑的台面后与静止在台面上的小球 起，共同沿台面滑行并从台面边缘飞出，落地点与飞出点的 水平距离恰好为台高的一半，两球均可视为质点，忽略空气 阻力，重力加速度为g，求（1）小球A刚滑至水平台面的速度 VA；B发生碰撞，并粘连在一（2）A

28、、B两球的质量之比 mA： mB（16 分）解析：（1）小球A在坡道上只有重力做功机械能守恒，有=mAgh解得vA = ；2gh（2）小球A、B在光滑台面上发生碰撞粘在一起速度为v，根据系统动量守恒得miAVA =（mA m（B）v、 一. 一 . , 1 2离开平台后做平抛运动，在竖直方向有gt二h2y1 _ 在水平方向有h =vt2联立化简得mA ： mB =1 ： 39. （ 2012 福建卷）.（15 分）如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转 速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测 得转台半径R=0.5 m,离水平地面的高度 H=0.8m,物块平抛落地

29、 过程水平位移的大小s=0.4m。设物块所受的最大静摩擦力等 于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/S求：（1 ）物块做平抛运动的初速度大小V。；（2）物块与转台间的动摩擦因数。答案:20.(15 分)(1)物块做平拋运动在竖豆方向上有在;K平方向上有J 卩Qi由傀式解得巾詢希(2)物块离开转台时，最；fc靜岸撩力提供向心力、有10. (2012海南卷)，如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆。ab为沿水平方向的直径。若在a点以初速度V。沿ab方向抛出一小球， 小球会击中坑壁上的 c 点。已知c点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径。解析：设圆半径为r，质点做平抛运动，则:X =v&

30、#176;t1 2 y =0.5r = £ gt 过c点做cd丄ab与d点，Rt馆cd“RtHbd可得cd2r 2()=x(2r -x)2由得：r /a-4 3)vo2g2011年高考真题a1、17 般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以 看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的 小圆弧来代替。如图(a)所示，曲线上的 A点的曲率圆定 义为：通过A点和曲线上紧邻 A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做 A点的曲率圆，其半径 p叫做A点的曲率半径。现将一物体 沿与水平面成a角的方向已速度 U抛出，如图（b）所示。则在其轨迹最高点 P处的曲率半径是A.V。2 .

31、 2v0 sin :gC.v02 cos2 :2 2D v0 cos a g sinaQ6C球从击球点至落地点的位移等于L答案：C解析：物体在其轨迹最高点 P处只有水平速度，其水平速度大小为vocos a根据牛顿第二定律得mg二m他COs'），所以在其轨迹最高点 P处的曲率半径是v02 cos2 :,C正确。2、（ 2011全国理综20）. 一带负电荷的质点，在电场力作用下沿曲线abc从a运动到c,已知质点的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是（虚线是曲线在b点的切线）（D）AB解析：主要考查电场力方向和曲线运动所受合外力与轨迹的关系。正确答案是Do3、（ 2

32、011广东17）.如图6所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方 距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到 网的距离为L,重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是A球的速度v等于LB.球从击出至落地所用时间为D.球从击球点至落地点的位移与球的质量有关1 2解析：由平抛运动规律：L=vt , H= gt2求出2AB正确。选AB4（ 2011上海）.如图，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为，船的速率为(A) vsin ：(B)(C) vcos :(D)vcos:答案：C5 （2011上海）.以初速为v。，射