定积分与微积分基本定理

1、NO.13 课题：定积分与微积分定理使用时间： 2011-10-11【使用说明及学法指导】1.先仔细阅读教材选修 2-2：, 再思考知识梳理所提问题，有针对性的二次阅 读教材，构建知识体系，画出知识树； 2. 限时 30 分钟独立、规范完成探究部 分，并总结规律方法 .【学习目标】1了解定积分的实际背景， 了解定积分的基本思想， 了解定积分的概念、 几何意义。2直观了解微积分基本定理的含义 , 并能用定理计算简单的定积分。3应用定积分解决平面图形的面积、 变速直线运动的路程和变力作功等 问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值 .?学习重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。学习难点：定积分的

2、概念，将实际问题化归为定积分问题。学习策略： 运用“以直代曲” 、“以不变代变”的思想方法，理解定积分的概念。 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数, 它的导函数等于被积函数 . 求导运算与求原函数运算互为逆运算 .【课前预习】一、基础知识梳理： 知识点一：定积分的概念女口果函数丄 在区间一上连续， 用分点尬二弘 5 < 乓丈xb-i=占将区间譲】分为n个小区间，在每个小区间 9 -a rr r 1丰乞/(杲加=兀/(g)凶小和上任取一点9 (i=1,2,3,n )，作和式z山 阿，当吃-时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做 ' 在区间"

3、;-上 的定积分.记作)1即12 ，这里与分别叫做积分 与积分，区间叫做，函数-叫做，芒叫做， Z叫做.说明：(1)定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；(2)用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代替；求和；取极限知识点二：定积分的几何意义：设函数- ' 在区间-" ' -'-上连续.在八7上，当时，定积分1在几何上表示由曲线 -'以及直线- - '与二轴围成的 ；在巴J上，当-'时，由曲线'以及直线一与上轴围成的曲边梯形位于 工轴下方，定积分】7在几何上表示曲边梯形面积的 ；在上，当,既取正值又取负值时，曲线I - 的

4、某些部分在工'轴 的上方，而其他部分在二轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在工轴下方的图形的面积赋予负号;在一般情形下，定积分L 丁 f与工轴所围成的各部分面积知识点三:定积分的性质:(1)(2)为常数），.+；丨门 h-二 l '：-:厂_7 （其中（3）知识点四：微积分基本定理:微积分基本定理（或牛顿-莱布尼兹公式）如果在心上连续，且*20 打心"瞇5"叫其中陀）叫做八）的一个原函数.、,I,:、八注意: 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.由于一一

5、 也是.的原函数，其中c为常数知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积：1. 如图，由三条直线芒轴（即直线-:1'1 ）及一条曲线，-（L ,='）围成的曲边梯形的面积：g=r 了（兀）必=-恥胁2 如图，由三条直线，'=：卞轴（即直线|-）及一条曲线，-（厂I；二口）围成的曲边梯形的面积：£ T J：/必| 二-J：，（x）必二仇 w- f（x）曲3 .由三条直线亠-'-轴及一条曲线”（不妨设在区 间一-一上二-，在区间-上；''）围成的图形的面积:j：抡临 j：于阴齐4.如图，由曲线人=挝花 2 = f'SH m 及直线x =

6、a , = i围成图形的面积：？jX0ab"S=£/(X)-/i(A)k!A = JJi(A-J*/aUVA知识点六：定积分在物理中的应用 变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程-，等于其速度函数在时间区间宀上的定积分，即;，. 变力作功物体在变力I的作用下做直线运动，并且物体沿着与7 -相同的方向从W移动到3呦，那么变力陀)所作的功伽.规律方法指导3.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：(1) 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；(2) 解方程组求出交点坐标，确定积分的上、下限;(3) 借助图形确定出被积函数;(4) 写出平面图形的定

7、积分表达式；(5) 运用公式求出平面图形的面积.二、我的知识树：【我的疑问】【课内探究】经典例题精析：类型一：利用定积分的几何定义求定积分：1. 说明定积分1"" -'丁所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。？【变式】由以及t轴围成的图形的面积写成定积分是类型二：运用微积分定理求定积分例题：运用微积分定理求定积分：计算下列定积分的值：(1)丄,(2p, (3) J类型二：运用积分的性质求定积分：例题3.求定积分：类型四：利用定积分求平面图形面积例题4.求直线 '八-与抛物线1-1所围成的图形面积【变式】求由曲线(曲)，4 ,工=围成的平面图形的面积、总结提升1.知识方面：2. 数学思想方法：NO.13课题：定积分与微积分定理【课后训练案】使用说明：1.限时45分钟完成：2.独立、认真；规范快速。1.说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。(1)一 ；2. 利用定积分的几何定义求定积分:(2)3. 计算下列定积分的值:(1)(2)(3)、-x,-1 < a