用积分因子求一阶常微分方程的讨论

1、用积分因子求一阶常微分方程的讨论胡淑荣,岳培鹏(1 国家林业局管理干部学院教研部,北京102600;122 黑龙江林业职业技术学院,黑龙江牡丹江157011)摘 要:积分因子方法是求解常微分方程的一种常用方法。对全微分方程的判别、积分因子的性质,以及如何求积分因子、求解微分方程的通解作了探讨、总结和研究。关键词:微分方程;积分因子;通解中图分类号:O175 文献标识码:A文章编号:1009-0479-(2011)03-0088-03SolutionofFirst orderOrdinaryDifferentialEquationswithIntegratingFactorsHUShu rong

2、,YUEPei peng12(1.TeachingandResearchDepartment,StateAcademyofForestryAdministration,Beijing102600,China;2.HeilongjiangForestryVacation TechnicalCollege,Mudanjiang,Heilongjiang157011,China)Abstract:Integratingfactorisacommonmethodtosolveordinarydifferentialequations.Thepaperdis cussedthenatureofinteg

3、ratingfactorandwaystoidentifydifferentialequationsandsolveintegratingfac torsanddifferentialequations.Keywords:differentialequation;integratingfactor;generalsolution对于一阶常微分方程:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)如果方程的左端恰好是某个函数u=u(x,y)的全微分du,则方程称为全微分方程或恰当方程。众所周知,若M(x,y),N(x,y),N M ,在某个单连通区域D内有定义并且连续,并且满足全微分条件: M N=

4、则方程为恰当方程。通过沿路径积分的方法,可以得到方程的通解(通积分)为: y xu(x,y)=C,其中:u(x,y)=xM(x,y)dx+yN(x0,y)dy。00 x y我们知道,如果一阶常微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0不满足全微分条件,但在乘以一个积分因子 (x,y)后,能成为一个恰当方程,则可以按照求全微分方程的方法求解。Euler就曾经指出:凡是可用变量分离法的地方都可以用积分因子法。因此,对非全微分方程,寻求积分因子就显得十分重要。本文仅对积分因子的一些性质和如何寻求积分因子的问题进行探讨、总结和研究。1预备知识对于任意一个一阶常微分方程是否为恰当方程,有如下的一个判

5、定定理。收稿日期:2011-03-15:(1963-),女,黑龙江,第3期 胡淑荣,岳培鹏:用积分因子求一阶常微分方程的讨论89定理1 设M(x,y),N(x,y)在某个单连通区域D内有一阶连续的偏导数,则方程为恰当方程的充要条件是:=且当条件满足时,方程的通解为:u(x,y)=xM(x,y)dx+yN(x0,y)dy=C,(2)xy(3)其中:C是任意常数,(x0,y0)是单连通区域中某个点。上述定理的证明是平凡的,可以参考文献1,此处从略。关于上述定理,有如下的一些事实: )若M(x,y)=0,N(x,y) 0,方程的通解为y=c;若N(x,y)=0,M(x,y) 0,方程的通解为x=c。

6、)由u(x,y)=C在点(x0,y0)的领域附近所确定的隐函数,就是方程的解。 )任意常数C由微分方程定解条件(边值或初值条件)所确定。如果方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0不是全微分方程,但能找到 (x,y) 0,使得(x,y)M(x,y)dx+ (x,y)N(x,y)dy=0(4)为全微分方程,则称 (x,y)为方程的一个积分因子。例如方程ydx-xdy=0不是全微分方程,但如果方程两端同乘以函数 (x,y)=则得到全微分方程-=0。所以是原微分方程的积分因子。xyxyxy2由上述积分因子的定义可知:积分因子的选择不是唯一的。可以证明 0f(u),其中f是u的任意一个连续函数。,如

7、果 ,y)是常微分方程0(x的一个积分因子,即有 x+ 0(x,y)N(x,y)dy=du,则积分因子的一般形式为 =0(x,y)M(x,y)d通常可以由一些全微分公式观察出某个单一的微分方程的积分因子,但一般而言,对于一般的非恰当方程,找到合适的积分因子并不是一件平凡的事。下面将进一步研究积分因子的性质,并且对于一些特殊形式的M、N的积分因子进行探讨和总结。一般地,为使 (x,y)是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的积分因子,由全微分条件可知充要条件为:( (x,y)M(x,y) ( (x,y)N(x,y)=,可以解得:-=M(x,y)-N(x,y),或者(形式上)写成行列式的表示

8、形式:xM(x,y)yN(x,y)M(x,y)=ln xN(x,y) ln y,(5)由上述讨论,可以进一步得到如下结论。定理2 若存在b1(x,y)和b2(x,y)满足xM且存在 (x,y)满足d (x,y)=b1(x,y)dx+b2(x,y)dy()x)yy=NMb1(x,y)Nb2(x,y),(6)(7)90证明:设 (x,y)=e (x,y)昆明冶金高等专科学校学报 2011年5月,通过简单计算可得:=,b2(x,y)=b1(x,y)=结合可知, (x,y)=e (x,y)是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的一个积分因子。2一些结论在上一节中可知,求解积分因子实际上是让积分因

9、子满足表达式。所以,求解原来的一阶常微分方程可以转化为求解一阶偏微分方程-=M -N 是容易求解的。下面总结讨论各种特殊类型方程的积分因子表示形式,因为其证明方法都是直接计算验证表达式,所以略去证明过程。)可分离变量的方程M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0有积分因子 (x,y)=)一阶线性方程)贝努利方程P(x)dx+P(x)y=Q(x)有积分因子 (x,y)=e 。dx。N(y)P(x)(8)但是,方程的求解并不比原来的常微分方程简单。而在定理2中的函数b1(x,y)和b2(x,y)一般也不n-n(1-n)P(x)dx 。+P(x)y=Q(x)y(n 0,1)有积分因子 (x,y

10、)=yedx)若xM(x,y)-yN(x,y)=0,则方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有积分因子 (x,y)=xM(x,y)+yN(x,y)若xM(x,y)+yN(x,y)=0,则方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有积分因子 (x,y)=1xM(x,y)-yN(x,y)若M(x,y),N(x,y)为x和y的同次齐次多项式,则方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有积分因子 (x,y)=1xM(x,y)+yN(x,y)M N(-)只N )方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有仅含x的积分因子 (x)的充分必要条件是:f(x)dx1 N M是x的函数f(x),且 (x)

11、=e ;仅含y的积分因子 (y)的充分必要条件是:(-)只是y的M函数f(y),且 (y)=e 。f(y)dy)方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有积分因子 (x+y)的充分必要条件是:是x+y的函数f(z),且 =e 。f(z)dz1 N M(-)只M-N )方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有积分因子 = (-1 N)的充分必要条件是:(+)(-xxx xf(z)dz-1)=f(),且 =e )=f(),;有积分因子 = ()的充分必要条件是:(+(-2)xyyyy且 =e 。f(z)dz(下转第95页)第3期 李 明:地形测量课程考核方案的设计与实践95长和高年级学生监考

12、等形式缓解了监考压力,同时提升了参与监考学生的综合能力。3结 语地形测量课程考核方案建立了一套比较科学、全面的课程学习效果评价体系,它使学习和考核相结合、学习和考核同步相融,让考核内容成为学习目标和努力方向。通过考核让学生走向了社会、掌握了知识和技能、学会了如何工作。地形测量课程教学的改革使得学生的专业能力特别是实作能力得到了很大提高。在2010年学校举行的首届测绘技能大赛中,教改班级的学生表现优异,基本囊括了各竞赛项目的一等奖。但在课程的考核实施过程中也存在下列问题:1)学时少与学习任务重的矛盾。为了完成各项考核任务,所规定的学时远远不够,学生需要利用大量的课余时间,结果影响到其它课程的学习

13、和课余生活。2)考核项目多、时间跨度长、考核份量重与监考力量薄弱的矛盾。尽管采用了学生互考、小组长和高年级学生监考模式,任课教师的监考任务仍然十分繁重,这在一定程度上影响考核方案的执行度。因此,随着地形测量课程教学改革的深入,地形测量课程考核方案也需要改进和完善,使教学内容、教学方法、教学手段更有利于学生的学习,更有利学生的地形测量职力能力的提高,更有利于学生综合能力的培养。参考文献:1张东明,徐宇飞,吕翠华,等.昆明冶金高等专科学校测绘工程技术专业理实一体人才培养方案及其课程标准M.北京:冶金工业出版社,2011.2GB50026-2007.中华人民共和国国家标准:工程测量规范S.北京:中国计划出版社,2008.3GB/T7929-1995.中华人民共和国国家标准:1 500,1 1000,1 2000地形图图式S.北京:中国标准出版社,1996.4李明.地形测量M.北京:测绘出版社,2011.责任编辑:贾朝光(上接第90页)1 M N )方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有积分因子 =的充分必要条件是:(-)yN-xM=f,且 =e 。f(z)dz)