二次函数动轴与动区间问题

1、学习必备欢迎下载二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般 分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况设f(x)=ax25x73=0)，求f (x)在x：=m,n上的最大值与最小值。当a 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m m，n n上f (x)的最值:f (m)、f(n)中的较大者。(2)当一 -Im，n I时2ab右m，由f(x)在l.m，n I上是增函数则f (x)的最小值是f (m)，最大值是f (n)2a右n ，由f(x)在l.m，n1上是减函数则f (x)的最大值是f (m)，最小值是f

2、 (n) 2a当a：0时，可类比得结论。二、例题分析归类：(一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：(1 1)轴定，区间定；(2 2)轴定，区间变；(3 3)轴变，区间定；(4 4)轴变，区间变。1.1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定 区间上的最值”。2例 1.1.函数y = -x +4X -2在区间0 0，3 3上的最大值是 _ ，最小值是 _ 。解：函数y =-x2 4X - 2 =-(x -2)2* 2是定义在区间0 0，3 3

3、上的二次函数，其对称轴方程是x=2，顶点坐标为(2 2，2 2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0 0，3 3:上,如图 1 1 所示。函数的最大值为f (2) = 2，最小值为f (0) = -2。分析：将f (x)配方，得顶点为2a4ac一b24a、对称轴为b2a)当-2am，时,f (x)的最小值是f2a4ac - b24af (x)的最大值是学习必备欢迎下载2 2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在 动区间上的最值”。例 2.2.如果函数f(x)=(x-1)2T定义在区间It，t 11上，求f (x)的最小值。f (x) =

4、(x-1)2+1，其对称轴方程为x= 1，顶点坐标为(1 1，1 1)，图象开口向上。_ 2 2练习. .已知2x _ 3x，求函数f (x) = x x 1的最值。23解：由已知2x 3x，可得0乞x，即函数f (x)是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得f (x)=-，其对称轴方程41x，顶点坐标2，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图 2 2 所示。函数f(X)的最小值为f3、f(0)i，最大值为f19解：函数学习必备欢迎下载时，函数取得最小值f (X)mhl二f(1)= 1。如图 1 1 所示，若顶点横坐标在区间Lt，t 11左侧时，有1 t，此时，当X = t时，函数

5、取得最小值f (X f(t) =(t一1)21。如图 2 2 所示，若顶点横坐标在区间，即0 t 1。当X=1学习必备欢迎下载| I 1I I 1t+ 12=x-2x 3，当t,t1(rR)时，求f(x)的最大值.解：由已知可求对称轴为x=1.二f (X)min= f円)=当时,f(X)max= f (t +1) = +2(2 2)当t1t 1，即0t1时，1t +t +10wtw二根据对称性,若-1即2时,2若亠1即2吩W1时，f(X)max(t OX2.22(3 3)当t +1 1即t 0时,f(X)max=f (t)=t一2t +3.t2+ 2, t A -综上，f(X)max=2dt2

6、_2t+3,t L.2观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。 第一个例题中， 这个二次函数是开口向上的， 在闭区间上， 它 的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到， 有三种可能， 所以分三种情况讨 论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称 轴远就在哪个端点取到， 当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。 根据这个 理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。如图 3 3 所示，若顶点

7、横坐标在区间It,t - 1右侧时，有t T：1，即t：0。当x = tf仪几山=f (t 1)= t21(t -1)21,t1f(X)min=1, 0_t_12t 1 t：0函数取得最小值综上讨论,1时,11to例 3.3.已知f(X)2f(X)max二f(t) -2t 3学习必备欢迎下载对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:当a . 0时f (x)max b 1f(m),(m n)(如图 1 1)2a 2一、b1f(x)(m n)(如图 2 2)2a 2f(n),bf (n)，-2af (),m2a.n (如图 3 3) n(如图 4 4)2aITT 1b ,f(m),-m(如图 5

8、5)2a当a：0时f(x)maxKf(n), n(如图 6 6)2a),m _n(如图 7 7) 2a2af (m), - : m(如图 8 8)2af(X)minf(m),f(n),b2ab_-(m n)(如图 9 9) 21(m n)(如图 1010)2a 23 3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例 4.4.已知x2乞1，且a - 2一0,求函数f (xx2ax 3的最值。解：由已知有-1辽x乞1,a_2，于是函数f (x)是定义在区间1-1,11上的二次函数,将f (x)配方得：/ 22f(

9、x)va)+3诗二次函数f (x)的对称轴方程是x = _a顶点坐标为2( 2 -,3 丄，图象开口向上124丿由a_2可得x2 4，显然其顶点横坐标在区间I-1,1的左侧或左端点上。函数的最小值是f(-1)=4-a，最大值是f(1)=4，a。学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载求函数y = -x(x -a)在-1,1上的最大值。解：(1)(1)二次函数的对称轴方程为x二-a，当_a即a -丄时，f (x)max二f (2) = 4a 5；2 211当-a _即a时，f (x)max= f (-1) =2a 2。22f1-2a 2,a -9综上所述：f(X)max二, 1 4a 5,aI2-2 _

10、 a乞2，a：-2和a - 2这三种情形讨论，下列三图分别为图 3 32例 5.5. 求f (x ) = x - 2ax - 1在区间-1,2-1,2上的最大值。2a2a(2)(2)函数y=(x)图象的对称轴方程为4x专，应分-1号1，|1即学习必备欢迎下载(1)a：-2；由图可知f(x)max二f (-1)yoo2a2(3)a 2时；由图可知f (x)max二f (1)a-2乞a乞2；由图可知f(X)max二ft)学习必备欢迎下载下(_1), a 2”一(a+1) ,a v22a口 I ay最大=f( ),-2_a_2;即y最大,-2 _a _ 2I2I4f (1) , a 2a -1, a

11、 . 24.4.轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在 动区间上的最值”。2 2 2例 6.6.已知y =4a(x-a)(a 0)，求u =(x -3)y的最小值。解：将y=4a(x -a)代入 u u 中，得w = (x-a) = x- (3- 2a，即 0 0 1 1 时，/(兀)込=f(3-2o) = 2a-23- 2a 1时，/ Wnm =子(口) =(0_所以12-8-卯(a 1)(二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。2例 7.7.已知函数f(x)二ax 2ax 1在区间-3,2上的最大值为 4 4

12、,求实数 a a 的值。解：f (x)二a(x 1)21 -a, x -3,2(1 1)若a =0, f (x) =1,，不符合题意。3由8a 4，得a 8(3 3)若a：0时，则f(X)max二f ( -1) = 1 - a由1 a =4，得a -33综上知a或a -382(2)若a 0,则f (x)maxf (2) =8a 1学习必备欢迎下载X例8.已知函数f (x)X在区间m, n上的最小值是 3 3m最大值是 3 3n，求m,n的值。2解法 1 1 ：讨论对称轴= = 1 1 中 1 1 与m,m n,n的位置关系。21若，则fex =f (n) =3nJf (x)min二f(m)二3

13、m解得哎- 一丨2若匹丄叮汕，则f(x)max=f(1i，无解2f(X)min=f (m) = 3m芦 m+n f (x)max=f (1) =3n3右m Q -，则彳，无解2f(x)min= f (n) =3m4若,则f(x)max=f(m)=3n，无解f(x)min= f (n )=3m综上，m - -4,n =0AAAA解析 2 2： 由f(x)=-(x-1)2-，知3n _ ，n_ ,，贝则m,n-(一1,2226If (x)ma=f(n) =3 n又在m, n上当x增大时f(x)也增大所以7max1f&馬=f(m) = 3m解得m = -4, n = 0评注：解法 2 2 利

14、用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m,n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。例 9.9.已知二次函数f(x)=ax2 (2a-1)x 1在区间-3,2上的最大值为 3 3，求实数 a a 的值。IL 2这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a 0与a：0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：2a -11(1 1 )令f(-)=3，得a -学习必备欢迎下载2a2311此时抛物线开口向下，对称轴方程为x = -2，且-2-3,2，故-丄不合题意；

15、-2 2学习必备欢迎下载1(2) 令f(2) =3，得a二丄21此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a=丄符合题意；232(3)若f()=3，得a =-一232此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。3解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参 数一致，可采用先斩后奏的方法，禾U用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处 取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程 简洁、明了。作业: 三、巩固训练1 1 函数y二X x 1在_1,1上的最小值和最大值分别是()311(A)1

16、,31,3(B),3,3( C C),3,3( D D), , 3 342422 2 函数y - -x，4x-2在区间1,4上的最小值是()(A) -7(B) -4(C) -2(D)2 23.3.函数y = 8的最值为 ()x 4x十5(A)最大值为 8 8，最小值为 0 0(B)不存在最小值，最大值为8 8(C C)最小值为 0,0,不存在最大值(D)不存在最小值，也不存在最大值234.4. 已知函数f(x)二ax2(2a -1)3(a0)在区间-,2上的最大值是 1 1，则实数 a a 的值为_2 25.5. 如果实数x, y满足x y = 1，那么(1 - xy)(1 xy)有()13(

17、A)(A)最大值为 1 1 , ,最小值为(B)(B)无最大值，最小值为243(C C) )最大值为 1,1,无最小值(D)(D)最大值为 1 1,最小值为一426.6.已知函数y二x -2x 3在闭区间0,m上有最大值 3 3,最小值 2 2，则m的取值范围是( )(A)(A)1,(B)(B)0,2(C)(C)1,2(D)(D)(-：,22综上,二丄或a一2学习必备欢迎下载7.7. 若x 3 0, y A0,x+2y =1，那么2x + 3y的最小值为 _& &设m R, %, x2是方程x22mx +1 -m2= 0的两个实根，则x：+ x；的最小值_9 9.设f(x) =

18、x2-4x-4,xt,t 1(L R),求函数f (x)的最小值g(t)的解析式。1111.已知f(x) =x2-ax-，在区间0,1上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值。2学习必备欢迎下载212.12.(20092009 江苏卷)设a为实数，函数f(x)=2x(x_a)|x_a|. .(1)(1) 若f(o)_ _ 1 1，求a的取值范围；(2)(2) 求 f f (x)(x)的最小值；设函数h(x) = f(x),x(a,讼)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活 运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、-2a2,a一0综上f(X)min =2a2,a：03(3)x (a,；)时，h(x) -1得3x2-2ax a2-16或a6时，、_0,x (a,：)；2:-6时， 0,0,得：(x2x a当 /6a (2 2