[理学]数理方程第三章ppt课件

1、第三章第三章 行波法与积分变换法行波法与积分变换法 但在少数情况下，可以求出方程的通解但在少数情况下，可以求出方程的通解（含有任意函数的解），并可由给定条件（含有任意函数的解），并可由给定条件 求出特解。求出特解。求解求解偏微分方程偏微分方程时，一般不能先求出方程时，一般不能先求出方程的的通解通解, ,然后根据给定的条件确定然后根据给定的条件确定特解特解。3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式初始位移初始位移 ，初始速度，初始速度 的无界弦的自由的无界弦的自由振动振动)(x)(x初值问题初值问题 (Cauchy问题问题) 2000(,0)( ),(3.1.( )1,)tt

2、xxtt tua uxtuxuxx (3.1.2)我们可以求出方程我们可以求出方程 (3.1.1) 的通解的通解, ,考虑变量代换考虑变量代换(3.1. ),.3xatxat 利用复合函数求导法则得利用复合函数求导法则得uuuuuxxx 为什么？为什么？(3.1.4),2 2222222uuuxuuxuuxu同理可得同理可得22222222(2)(3.1.5)uuuuat 将将 (3.1.4), (3.1.5) 代入到代入到 (3.1.1), 可以得到可以得到20.u 连续积分两次得连续积分两次得 12,uff 其中其中 是任意二次连续可微函数，即有是任意二次连续可微函数，即有 12,ff 1

3、2,.u x tfxatfxat 注注： 是方程是方程 2(,0)ttxxua uxt 的通解的通解, , 它包含两个任意函数。它包含两个任意函数。 12,u x tfxatfxat 对无限长的自由振动对无限长的自由振动, 如果初始状态满足条件如果初始状态满足条件 (3.1.2), 则则 012012|tttufxfxxuafxafxx 012012|tt tufxfxxuafxafxx 两端对两端对 x 积分，积分，可得可得 1201xfxfxdCa 10201122211222xxCfxxdaCfxxda 由此即得原定解问题的解由此即得原定解问题的解: : 11,22x atx atu x

4、 txatxatda 无限长弦自由振动的无限长弦自由振动的达朗贝尔达朗贝尔( (DAlembert)公式公式. .方程解的物理意义方程解的物理意义 12,u x tfxatfxat 首先考虑首先考虑 假定假定 的图形已经的图形已经给定，那么，随着时间给定，那么，随着时间 t 的推移，的推移，的图形以速度的图形以速度 a 向向 x 轴正方向轴正方向平行平行移动移动, 故称齐次故称齐次波动方程形如波动方程形如 的解为的解为右行波右行波。 22,ufxat 2( )fx 22ufxat 22ufxat 同理同理, , 表示一个以速度表示一个以速度a 向向 x 轴负轴负 方向传播的行波方向传播的行波

5、，且传播过程中，波形也不变化。且传播过程中，波形也不变化。 称为称为左行波左行波。 11ufxat 达朗贝尔公式表明达朗贝尔公式表明, , 弦上的任意振动总是以行弦上的任意振动总是以行波形式分别向两个方向传播出去波形式分别向两个方向传播出去, , 其传播速度其传播速度恰好是常恰好是常数数 a，因而这个方法称为，因而这个方法称为行波法。行波法。 下面进一步分析达朗贝尔公式的物理意义。下面进一步分析达朗贝尔公式的物理意义。 11,22x atx atu x txatxatda （1 1）依赖区间）依赖区间由由 DAlembert 公式公式 ()()1( , )( )22x atx atxatxat

6、u x tda 仅依赖于仅依赖于 上的初值，称上的初值，称区间区间 为点为点 的的依赖区间依赖区间。( , )u x t,xat xat,xat xat( , )x t( , )u x t( , )x t依赖区间是讨论时空平面上任一点依赖区间是讨论时空平面上任一点 的的 将依赖于哪些点的初值的问题。将依赖于哪些点的初值的问题。 (x,t)x-atx+atxtO依赖区间依赖区间（2 2）影响区域）影响区域 由左、右行波叠加而得由左、右行波叠加而得。 上的初上的初始振动始振动，在在 时刻，右行波传到时刻，右行波传到 左行波传到左行波传到 , 初始振动传播的范围是初始振动传播的范围是 ,21atxa

7、tx ,21atxatx t),(txu,21xx( , )1x txa 过过点点，两两条条斜斜率率分分别别为为的的直直线线在在 轴轴上上截截得得的的区区间间).0(21tatxxatx为区间为区间 的的影响区域影响区域。,21xx12( , )|,0Ax txatxxatt称区域称区域Axt1xxat2xxat 1x2x(3) (3) 决定区域决定区域 考虑区间考虑区间12,x xxtBatxx 1atxx 21x2x12( , )|,0Bx txatxxatt称三角区域称三角区域 B B 为区间为区间 的的决定区域决定区域。,21xx进一步的分析其物理意义表明进一步的分析其物理意义表明,

8、, 在在 xot 平面上平面上斜率为斜率为 的两族直线的两族直线 1a xat 常常数数对一维波动方程研究起重要作用，对一维波动方程研究起重要作用，称这两族直线称这两族直线为一维波动方程的为一维波动方程的特征线特征线。波动沿特征线传播波动沿特征线传播。称为称为特征变换特征变换, ,行波法也叫行波法也叫特征线法特征线法。 ,xatxat 自变量变换自变量变换注注1 1：容易看出：容易看出, ,一维波动方程的两族特征线一维波动方程的两族特征线 xat 常常数数恰好是常微分方程恰好是常微分方程 的解。的解。 2220dxadt 这个常微分方程称为波动方程这个常微分方程称为波动方程2(,0)ttxxu

9、a uxt 的的特征方程特征方程。 定义定义：二阶线性偏微分方程：二阶线性偏微分方程(,*)2xxxyyxyyDuEuAuBuCuFu G 的特征方程为的特征方程为 2220A dyBdxdyC dx 这个常微分方程的积分曲线这个常微分方程的积分曲线( (解解) )称为偏微分称为偏微分方程方程 ( (* *) )的的特征曲线特征曲线. .如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、抛物如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、抛物型或椭圆型的，那么就称方程在这个区域内是双型或椭圆型的，那么就称方程在这个区域内是双曲型、抛物型或椭圆型曲型、抛物型或椭圆型。2,xxxyyyxyAuBuCuDuEuFuG一个

10、方程在点一个方程在点 称为是称为是双曲型、双曲型、抛物型抛物型或或椭椭圆型的圆型的， 00,xy 2000000,BxyA xyC xy 为为正、正、为为零零或者为或者为负负而确定的。而确定的。 是根据式子是根据式子两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类注注2：行波法适用于：行波法适用于双曲型双曲型方程。方程。例例 求下面问题的解求下面问题的解: :200230|3,|0 xxxyyyyyyuuuuxu 解解 先确定所给方程的特征曲线。先确定所给方程的特征曲线。20 BAC 每点有两条相异的实特征线。 22230dydxdydx 特征方程为特征方程为或者或者

11、2230.dydydxdx 它的两族积分曲线为它的两族积分曲线为123xyCxyC 做特征变换做特征变换3,xyxy 容易验证，经过变换原方程化成容易验证，经过变换原方程化成20.u 它的通解为它的通解为 12uff 其中其中 是任意二次连续可微函数，即有是任意二次连续可微函数，即有 12,ff 12,3.u x tfxyfxy 把这个函数代入到条件把这个函数代入到条件 200|3,|0,yyyuxu 121223033fffxxxxfx 12133fxfxC 212293434fxxCfxxC 21221434fxxCfxxC 12,3,u x tfxyfxy 代入到代入到得原问题的解为：得

12、原问题的解为： 222213,3344u x yxyxyxy 例例 求下面方程的通解求下面方程的通解 22sincos0.xxxyyyuxuxu 解解：特征方程为：特征方程为 2222sincos0dyxdxdyx dx0sin1sin1xdxdyxdxdy积分曲线为积分曲线为 12cos, cos.yxxCyxxC 经过变换原方程化成经过变换原方程化成20.u 所以所以, , 令令.cos,cosxxyxxy12,ff为原问题的通解，其中为原问题的通解，其中 是任意二次连续是任意二次连续可微函数。可微函数。12 ( , )(cos )(cos )u x yf yxxfyxx从而练习练习 解定

13、解问题解定解问题: :200(1)|sin,|costtxxtttua uuxux 解解 11,sinsin()cos22x atx atu x txatxatda 1sincoscossin.xatxata补充补充：一维波动方程：一维波动方程 Cauchy 问题问题的的齐次化原理齐次化原理(I) 200( , ),0,0,0,.ttxxtttua uf x txtuxux 其中其中 / ),(),(txFtxf 一条线密度为一条线密度为 的无界弦，初位移、初速度为的无界弦，初位移、初速度为0，受外力 作用做强迫振动。作用做强迫振动。 ),(txF齐次化原理：齐次化原理：0( , )( , ;

14、 )tu x tw x td 为非齐次方程为非齐次方程 Cauchy 问题问题(I)(I)的解的解。 ( , ; )w x t 若若是是齐齐次次柯柯西西问问题题20,0,( , ),.ttxxtttwa wxtwxwf xx (II) 的解，其中的解，其中 是参数是参数，则则 验证如下：验证如下：0( , )( , ; )tu x tw x td 00.tu 00( , ; )( , ; )( , ; )tttttuw x tdw x t tw x td00.ttu 220( , ; )ttuw x tdtt 222( , ).uf x tax 2220( , )( , ; )tf x taw

15、 x tdx 0( , ; )( , ; )tttttw x twx td 令令 ，则问题则问题(II)变为变为: : 0 tt 2 0 00(,0)0( , )t txxtttwa wxtwxwf xx 20,0,( , ),.ttxxtttwa wxtwxwf xx (II) 所以问题所以问题(I)(I)的解为的解为: :()00()1( , )( , ; )( , )2ttx a tx a tu x tw x tdfd da 由由 DAlembert 公式得公式得 ()()11( , ; )( , )( , )22x atx a tx atx a tw x tfdfdaa (a) 200

16、( , ),0,( ),( ),.ttxxtttua uf x txtuxxuxx 再考虑再考虑一般非齐次一维波动方程一般非齐次一维波动方程 Cauchy问题问题 ：利用利用叠加叠加原理原理 ( , )( , )( , )u x tV x tW x t (i) 2000(,0)( )( )ttxxtttVa VxtVxVx 其中其中(ii) 200( , )(,0)00ttxxtttWa Wf x txtWW 对于对于(i), 直接利用直接利用 DAlembert 公式；对公式；对 (ii) 利用利用齐次化原理，得齐次化原理，得 ttaxtaxatxatxddfadaatxatxtxu0)()

17、(),(21)(21)()(21),( ttaxtaxatxatxddfadaatxatxtxu0)()(),(21)(21)()(21),( 解：解：由上页的公式可知，由上页的公式可知，例例：求解下面初值问题：求解下面初值问题：P83 (9)222222002,0,(1)10,.1ttuuxtxttxxuuxtx 得得()2220()111( , )212(1)x ttxtx txtu x tdd d ()20()1111arctan()222(1)xtx ttx txtd 22011arctan()arctan()22141() 1() txtxtdxtxt 22011arctan()arctan()221()()()()41() 1() tx