北京市房山区2021届高三下学期4月一模考试数学试题Word版含答案

1、2021北京房山高三一模数 学本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后, 将答题卡交回，试卷自行保存。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)若集合M=-集合N = 0,则MUN等于(A) -2,-1,0,1(B) -2,-1,1(C) -2,-1,0(D) 1(2)下列函数中，值域为0 ,+s)且为偶函数的是(A) y=cosx(B)y = |x+l|(C) y = x2(D)y = x-(3)已知a, OtR,且。，则下列各式中一定成立的是(A)

2、-b-(C) ab b(D)2M2出a b(4)将函数/(x) = sin2x的图象向左平移E个单位得到函数), = g(x)的图象，则函数g(x)的图象的一条对称轴方 6程为(5) “十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人均收入持续增长.下面统计图反映了 2016-2020年我 国居民人均可支配收入(单位：元)情况.根据图中提供的信息，下列判断不正确的是20162020我国居民人均可支配收入统计图20162017201820192020 年伊人均可支纪收入(元)(A) 20162020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元(B) 2017 2020年，全国居民人均可支配

3、收入均逐年增加(C)根据图中数据估止，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元(D)根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入一定大于30000元(6)已知双曲线C:工-二=1(0力0)的离心率为则点M (3,0)到双曲线C的渐近线的距离为 (C力(A) 2(B)而(D)2a/27(7)“ / =是直线x +”=1与依+)，= 1平行”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(8)在矩形A8CZ)中，AC与3。相交于点O, E是线段的中点，若aE = ?aQ + AZ5,则加一的值为(A)2(B) -1(C)l(D)2已知等差数

4、列qr的前项和为S“，且SS8，S8=S9S10,则下而结论错误的是(A)% =(C) J Sl4 (口)58与59均为3的最小值(10)祖胞是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“塞势既同，则积不容异工意 思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面而积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖随原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，己知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为力(0力b0)过点(2,0),离心率为,.(C)求椭圆。的方程；()设点M为椭圆C的上顶点，48是椭圆C上两个不同的动点(不在)，轴上)，直线M4

5、,例8的斜率分别 为ki， 且攵丸=3，求证：直线A3过定点N(0, JJ) .(21)(本小题14分)对于数列，记2 =maxqM2，M(=l,2,3,)，其中max*/,4,，4表示4，%，这攵个数 中最大的数，并称数列色是% 的“控制数列”，如数列1,2,3,2的“控制数列”是1,2,3,3.(I)若各项均为正整数的数列q的“控制数列为1,3,4,4,写出所有的%：(II)设an = an2 -2( e Nf).(i)当0时，证明:存在正整数加，使得九，包L.旦心一是等差数列；m in +1 m + 2(ii)当式2,2时，求& + % + +2的值(结果可含白).L 12 3 4202

6、1北京房山高三一模数学参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(9)(10)答案(A)(C)(B)(C)(D)(B)(B)(A)(C)(D)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11) -i (12) -160(13) (2,0);4(14)满足4+ 1 且9W1 即可(15)三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)( I )证明:解：(I )解法1因为三棱柱ABC - 44G为直三棱柱，所以8/_L平而48c.又因为A3 u平面ABC,所以耳8

7、_L AB.又因为 AB = BC = 1, AC = 0所以 AC2=ab2 + bc2.所以 A5_L 8c.因为优8 nBe = 8,平面 8CCB,所以A3_L平面BCC/1.因为AB u平面ABE,所以平面ABE JL平而BBCC.7分解法2.三棱柱ABC A蜴G为直三棱柱，所以8n _L平而ABC.因为平而 8。蜴,所以 8/_LJ.8C.又因为A8 = 4C = 1,AC = &,所以AC2=ab2+bc2所以 A5J_ 8C.以点为8坐标原点，8ABe,3及所在直线分别为x轴，y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系8-不忆，则8(0,0,0), 41,0,0), C(0,1,0)

8、, A (1,0,2), B, (0,0,2), C, (0,1,2),1 所以 8E = (0J_), 8A = (1,0,0), 2_n-BA = O设平而4?石的法向量为 = (x，y，z),则上.屁=0 5r = 0所以41八，y+-Z=0令 Z = 2,则 丁 = -1, x = 0 ,则3 = (0,-1由(I )可知，平而8/CG的法向量为丽= (1,0,0),因为丽.日=0,所以平而ABE 平而BiBCC.(H)由(【)知，平面A8E1的法向量为7 = (0,1,2),4C = (-l,l,-2),设直线AC与平面A3E所成角为8,则sin 0 = cos(AC,1 =A。”x

9、/306所以，直线4c与平面ABE所成角的正弦值为叵614分(17)选解：方法1：(I )设A8边上高为CO6在 RN4CD中，sin A = = =- AC V7 14n2乃B =3cos A = 41 - sin，A =-14sinC = sin(A + 8)=sin AcosB + cosAsin B= V2i _1 5V7xT3 14214210分_ 72? 一(H)在HMOC中，因为的历DCBC走 r2 = Si屋=3BC 3214分228所以8c = 1又因为b = , sinC =，所以= LabshyC = -xlx14分方法2：10分(I)在R/ABO。中,8C = a =

10、1 (答案与选择条件相同)(H)设A3边上高为8在RN4C3中,ad = Jac2-cd2 = n6? _2 =5 2因为CO =，Sn/CBD = 2CD BDCDtanZCBD2兀 tan 3在 RdBDC中.BD = L2AB=ADBD=-=2 2 2又因为CD -2所以= LaB-CD = -x2x = 选 解：(I).B =3：.0 A 3又辿14嬴7=叵14：.siiiC = sin(A + 8) =sin AcosB + cosAsin B10分旦X(+区x立142142一(II )sin A sin B39bsin A 、X 14a =f= Isin B y/3V= LCxlx

11、6变=走14分选 解：(I )方法1：sin Asin B：.sin A =V714sinC = sin(A + 8)14=sin AcosB +cosAsin BV2T / 1、5近、行142142_ a一方法 2： v b1 = a2 +C1 -2accos3 7 = 1 + c2 - 2 x 1 x c x (-)2即 c2 +c-6 = 0解得：。=2或。=一3(舍去)10分c _ bsinC sin B厂 csinB：.sin C =b2xT_V21、万(II) S14分14(18)解：(I )解：设“该站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩”为事件A：运动员甲第1站、第2站、第3站

12、、第4站、第5站的成绩分别为：86.20、92.80、87.50、89.50、86.00 1分运动员乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为：88.40、88.60、8910、88.20、87.70 2分其中第2站和第4站中的成绩高于乙的成绩2/. P(A) = -4 分(ID X的可能取的值为0,1,2,则5分P(X=)=等 46 分P(X=1) =等京=|7分“唔$8分所以X的分布列为X012P310351109分3 71 4(X)=Ox + lx- + 2x = -10 分10510 5(III)答案一：推荐乙.12分理由是：从2021赛季前5站的成绩可以看出：任意1站运动员

13、甲的成绩高于该站运动员乙的成绩的概率为三,乙的成绩高于该站运动员甲的成绩的概率为:,因为,所以乙的成绩好于甲的成绩的可能性 0J J大.14分答案二：推荐乙.12分用“4 = 1”表示任意1站运动员甲的成绩高于乙的成绩，用“4 = 0”表示任意1站运动员甲的成绩低于乙的成绩,23则P4 = D =白尸(O) =二JU232 3E(G = lx + 0x= 04, D = -x- = 0.245 5用” =表示运动员乙的成绩高于甲的成绩，用“ =0”表示运动员乙的成绩低于甲的成绩，则P0 = l) = 1产( =0)=/、32,、 3 2E(；7)= lx- + 0x- = 0.6, D(7；)

14、 = -x = 0.2455 5因为(J) = 0.4 表明乙的发挥比甲的镰定 14分 所以预测乙的成绩会更好.答案四：推荐甲.12分- 1甲 5 站的平均成绩为：xMi=-(86.20+92.80+87.50+89.50+86.00) = 88.40- 1乙 5 站的平均成绩为：不乙二不(88.40+88.60+89.10+88.20+87.70) = 88.40甲乙5站的平均成绩虽然相同，但是甲成绩的极大值为92.80,乙成绩的极大值为89.10,14分甲成绩的极大值高于乙成绩的极大值，所以甲的成绩会比乙的更好.(19)解：(I )因为/(x) = 6x24x,所以尸(0) = 0.因为0

15、) = 3, 所以切线方程为y - 3 = 0(x 0),即y = 34分(II)设g(X)=/(x)-(2x+1) = 2x3-2x2+3-(2a + 1)(x0),即 g(x) =- 2x2 -2x + 2，gfM = 6x2 -4x- 2 = 2(3/ - 2x-1) = 2(3x +1 )(x-1),令 g(x) =。，则 X = 1 或工=一；g(x)，g(x)随工变化情况如下表：X(0,1)1。）g(x)0+g(x)极小值所以 g(x)2g(l) = 2 2 2 + 2 = 0.所以 2/ 2/ + 3 - (2x +1) N 0 , f(x)2x + 110 分(Ill)由于力(

16、x) = 8x2-34,xe R ,设q(x) =/(x)-(x) = 2x-2x?+3-8x?+34, qx = 2x3 -1 Ox2 + 37 , qx) = 6x2 20x = 2x(3x -10).，(x),q(x)随x变化情况如下表：X0（0,马10310（Q，+s）q (%)+00+4(x)/极大值极小值7由表可知夕（0） = 37, ）=-,因为式3） = 10,鼠4） = 50,49（?P（4）v。，所以虱幻在（3,刊），（”,4）分别有唯一零点.所以q（x）在（3,4）内有两个零点，在（0,3）, （4,+s）内无零点，（一8,0）内有唯一零点.所以存在唯一的自然数? = 3

17、,使得力（外与/（%）的图象在（机,? + 1）上有两个不同公共点.15分（20）解：（二）根据题意得：a = 2 c4 = 2c 1-=- 解得/c = la 2川=2_b = y/3所以椭圆C的方程为+ = 1.43（匚）证法1：因为点河为椭圆上顶点,所以点M的坐标为M值,JJ）.设直线 MA:y = Kx+6,厂,广1+ = 143 得(3 + 4代)/+8的仁工=0.y = kx + y/3设点人（当，必），8（，%），解得XL普,所以%=%西+0=一4五立4勺+344+35 广 T；+3C 5 a、嵋+3 +N 仁6 = = 二 一丁;% + 3设直线MB： y = k?x+6k 1

18、同理可得却川=一左一厂.3 k、3又因为kJ, = 3）所以女）=丁.七2“一， k、 1 kx 1 所以 %，= = - .3 a 3 K所以女AN = kpN17所以直线A3过定点N（0, 2有）.14分证法2：由题意可知，直线A区存在斜率联喉2二=。设直线AB的方程为：y =辰+加，则消去y 得(3 + 48)Y + 8kvc + 4-12 = 0. = 64%2/ -4x(3 + 41(4/ 一12)0.即 4攵 2z2+3o,设 A（N，yJ，A（xry2）,则8km4/一12二一际, 5所以左=因为占&=3,所以3 + 0 一6)kx2 + (7 一 6)13 + (? g)仁 + (XX2XX2所以(女2 3)再再 +攵(7 6)(再 +再) + (，一6) = 0 ./ 午 x 4/?12 12 8K?(2-g)2所以 k-3)b+ 3+1=所以3?2 + 277-15 = 0,即(Rn + 5)(/? 3)= 0.s n所以7 = 一*或?=逐(舍).所以直线A3的方程为：)，=日工. .3所以直线A3过定点N(0, *途)14分(21)解：详细分析： 1,3,4,1；1,3,4,2；1,3,4,3；1,3,4,44分(II) i)当。 0, /(X)= ux2 - 2x 的对称