1.2罗尔中值定理及其应用ppt课件

1、定理定理3.2 (罗尔定理罗尔定理) (1) 在闭区间在闭区间a, b上连续上连续;(2) 在开区间在开区间(a, b)内可导内可导;(3)()(bfaf ,),( 内内至至少少存存在在一一点点则则在在开开区区间间ba使得使得. 0)( f3.2 罗尔中值定理及其应用罗尔中值定理及其应用ab1 2 xyo)(xfy C证证,)(上连续上连续在在因因baxf若函数若函数 f (x) 满足满足:必有最大值必有最大值M和最小值和最小值m.,)1(mM 若若,)(,Mxfbax 则则),(ba . 0)( f有有),(),(bafM 设设. 0)( f,),(,)2(内内取取得得在在则则最最大大、最最

2、小小值值有有一一个个若若bamM ),()(, fxfbax 则则由费尔马引理由费尔马引理 推论推论: 可微函数可微函数 的任意两个零点之间至少有的任意两个零点之间至少有 的一个零点的一个零点)(xf)(xf (1) (1) 定理条件不全具备定理条件不全具备, , )()(10 xxxf1 ,1, |)( xxxf结论不一定成立结论不一定成立. . 罗尔定理罗尔定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(1)(2)(2);),(内内可可导导在在开开区区间间ba(3)(3),()(bfaf ,),( 内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得.

3、 0)( f1xyO(1),(2)(1),(2)满足满足(3)不满足结论不成立结论不成立. . (1),(3)(1),(3)满足满足(2)不满足结论不成立结论不成立. . (1),(2)(1),(2)满足满足(3)不满足结论成立结论成立. . ,)(113 xxxf1 yxO1yxO1 1注：注：例例1.1.3, 132)( 2 在在区区间间验验证证函函数数xxxf解解: :32)( 2 xxxf又又因因为为),)(13 xx, 0)3()1( ff所所以以,3 , 1)( 上连续上连续在在因为因为 xf,)3 , 1(上上可可导导在在 所以满足罗尔定理条件所以满足罗尔定理条件. .0)( x

4、f方程方程, 11 x.)(0 f即即., 并求出一个并求出一个上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件(1)(1)验证定理的假设条件满足验证定理的假设条件满足(2)(2) 结论正确结论正确,)()(012 xxf即即有实根有实根1 取取),(31 .符符合合要要求求例例2 2 设常数设常数 满足满足: :01210 ncccn试证方程试证方程010 nnxcxcc分析：分析：注意到注意到 121012nnxncxcxcnnxcxcc 10)(xf在在(0, 1)内至少存在一个实根内至少存在一个实根.nccc,10证证 设设,12)(1210 nnxncxcxcxf,1 , 0)(上上连连续续在在

5、xf, 0)1()0( ff且且 由罗尔定理由罗尔定理,)1 , 0( 内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在, 0)( f使使得得即即, 010 nnccc .为为所所求求实实根根即即 x在在(0, 1)内可导内可导,例例3.3.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证: :, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf, 1)0( f且且 由零点定理由零点定理),1 , 0(0 x即方程有小于即方程有小于1 1的正实根的正实根. .(1)(1)存在性存在性. 3)1( f. 0)(0 xf使使,),1 , 0(011xxx 假

6、假设设另另有有. 0)(1 xf使使(2)(2)唯一性唯一性尔定理尔定理为端点的区间上满足罗为端点的区间上满足罗以以在在10,)(xxxf例例3.3.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证: :,),1 , 0(011xxx 假假设设另另有有. 0)(1 xf使使(2)(2)唯一性唯一性尔定理尔定理为端点的区间上满足罗为端点的区间上满足罗以以在在10,)(xxxf 至至少少存存在在一一个个. 0)( f)1(5)(4 xxf但但, 0 .有有唯唯一一实实根根使得使得)1 , 0( x矛盾矛盾, ,),(10之之间间介介于于xx故假设不真！故假设不真

7、！在在0, 10, 1上二阶可导上二阶可导, , 且且)(xf, 0)1()0( ff则在则在 内至少存在一点内至少存在一点, ),()(xxfxF ),1,0(1 例例4 4 假假设设证证)1 ,0(使得使得. 0)( F使得使得. 0)(1 F),()()(xfxxfxF 0)()0(1 FF上使用罗尔定理上使用罗尔定理, , 0)(1 在在对对xF ),1,0(), 0(1 使得使得. 0)( F上上在在对对 1 , 0)()(xxfxF 使用罗尔定理使用罗尔定理, ,两种常用的构造辅助函数的方法：两种常用的构造辅助函数的方法： 1. 常数常数k 法构造函数法构造函数 基本思路是令待证等

8、式中的常数为基本思路是令待证等式中的常数为k k， 通过通过恒等变形将含有的式子写成恒等变形将含有的式子写成 的形式，的形式， )()(bFaF 然后用罗尔定理然后用罗尔定理那么那么 就是需要的辅助函数就是需要的辅助函数, ,)(xF进行证明进行证明. .例例5 5 设设证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在,),(,)(babaxf分析分析证证，设设kxxxfxF )()(令令上使用上使用在在对对,)(baxF罗尔定理罗尔定理, ,)()()()( ffabaafbbf ,)()(kabaafbbf 整理得整理得,)()(kaaafkbbbf ),(ba 使得使得. 0)( F故故).()

9、()()( ffabaafbbf ，0)()( kff 即即使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在,),( ba2. 通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数 然后再观察所得函数是哪个函数的导数，这个函数然后再观察所得函数是哪个函数的导数，这个函数就是我们需要的辅助函数就是我们需要的辅助函数. . 因为等式中出现的中值因为等式中出现的中值 一定是对某个函数一定是对某个函数使用中值定理得到的使用中值定理得到的, , 因而因而, , 可以首先把可以首先把 还原为还原为 x x， 如果待证等式出现如果待证等式出现 的形式，的形式， )()()()(xvxfxuxf 则可以考虑形如则可以考虑形如 的辅助函数的辅助函数. .)()()(xgxfxF )(2)(ff 问题转化为证问题转化为证设辅助函数设辅助函数),()(2xfxxF )(xF在在0, 10, 1上用罗尔定理上用罗尔定理, , )1 ,