千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第100炼利用同构特点解决问题

1、第100炼 利用同构特点解决问题、基础知识:1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 2、同构式的应用：(1)在方程中的应用：如果方程fa 0和f b0呈现同构特征，则 a,b可视为方程f x0的两个根(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式(3)在解析几何中的应用： 如果Ax1,y1 ,B x2,y2满足的方程为同构式，则A,B为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方程(4)在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于an,n与a

2、n i,n 1的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解二、典型例题：例1:(2015天津十二校联考)5x 12x sin5y 12y sinC. 4而是 x 1 , y 1sin x 11,观察上下式子左边结构相同,sin y 11( )A. 0思路：本题研究5x12 x 1设x, y R ,满足B. 2对象并非x, yx 13，则x yy 11D. 6,进而可变形为进而可将相同的结构视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数,可联想到函数的奇偶性,从而利用函数性质求解5x12xsin x135y12ysin y115x 12 x 1 sin x 115y 12 y 1 sin y 11设f

3、 tty 12 y 1 2t sint,可得f t为奇函数，由题意可得:f x 11f x 1 f y 1答案：B. a b例2：若函数f xJXF m在区间a,b上的值域为 -,-b a 1 ,则实数m的2 2am 2 ,发现bm2取值范围是思路：注意到f x是增函数，从而得到 fa -, f b而a,b为该方程的两个根，m的取2两个式子为a,b的同构式，进而将同构式视为一个方程, 值只需要保证方程有两根即可解：Q f x为增函数,abfa-,f b一22a, b为方程&1 m令 t x 1 t 0 x所以方程变形为：m-1答案：m 0,一2 a 1 m 2 b、.b 1 m 一 2

4、x ,在1,上的两个根，即2t2 1x m - Vx 1有两个不同的根212121-t2 1 t t2 2t 1 ,结合图像可得：m 0-222例 3：设 a,b? R,则| “a> b” 是 “ aa > bb” 的(A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充要又不必要条件思路：观察a a > b b可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数其单调性。f x x xx2, x 0 一 一, 可得f x为增函数。所以a >x2, x 0b?f(a) f(b),即 a> b? a ab b ,所以是充要条件答案：c例4:若0X1X21 ,则(.X2X

5、1A. e e In X2In X1X1X2B. e e In X2 In X1X1X2C. x2ex1eX1x2D. x2ex1e答案：C思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将Xi, X2分居在不等式两侧后都具备同构的特点,所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在0,1的单调性即可解:A选项:X2e 2eX1In x2In x1X2 eIn x2eX1In Xi ,ex In x0,1xeX 1，设 g xXx在0,1单调递增，所以X00,由单调性可判断出:0,X0 ,g x 0 f x不单调，不等式不会恒成立B 选项：ex1ex2In x2In x1单调递增。所以应

6、该 f x1fC 选项：x2ex1-X2x1eex1X10,xex1ex2X20,1恒成立。Xxe则有g0恒成立，所0,g1 0,从而存在X0X0,1 ,gIn x1ex2B错误所以f XIn x2Inx可知f构造函数f X所以f x在0,1D 选项：x2ex1-X2x1eex1X1ex2同样构造fX2答案：CXx 1 e2，x单调递减，所以ff X2成立XeX 1,由C选项分析可知D错误5:已知函数f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf2015的值是（A.B.思路：观察条件可变形为:且括号内的数间隔为1。所以为偶函数，所以C. 15 D.2,从而得到等式左右的结构

7、均为f 20152_20152015答案：A例6:如果5 cosf 201522015. 5sin 7思路：本题很难直接去解不等式,等号两侧:5 cos37cos为函数201322013。因为f xf cosf sin等价于以2k答案:. 3 sin3 cos0,2观察式子特点可发现若将关于可得f那么的取值范围是sin ,cos 的项分居在不sin57sin3 ,则左右呈现同构的特点，将相同的结构设能够判断fcos sin ,2k k Z ,结合x是奇函数且单调递增。所以不等式即 sin cos 0.2 sin0,2,可得0,所4例7：如图，设点P x0,y0在直线x m y m,0 m 1,

8、且m为常数 上，过点P作双 曲线x2 y2 1的两条切线PAPB,切点为A,B,求证：直线AB过某一个定点yy1k x x1,联立方程22消去x y 1解：设A xi,yi ,B X2,y2 , PA的斜率为k则 PA: y y1 k x x1y可得：222kx1 x y1kxi10,因为PA与双曲线相切22. 224 1k2 yl kx14 1 k20k20222_2k 0x1 1 k 2kx1 y1必 102 /2 2/2 八、一，口x1 1 y1, y1 1 x1代入可得：x kxkx1yl1 ,整理可信：1 k2 x2 2k y1 I所以4k2 y1 kx124 y kx14 1, 2

9、 22.k x1 2kx1yl y112 2Q x y112, 222y1 k2x yk x 0 即 y1k x10即k x1yx1,PA: y y1 - x x1y1y x1x 1y1同理，切线PB的方程为y2y x1x 1Q P m,y0在切线PA,PB上，所以有y0 % mx1 1V。V2 mx2 1AB满足直线方程y°y mx1,而两点唯一确定一条直线AB : y0y mx 1 所以当工m时，无论y0为何值，等式均成立01 ,0 m1， 一，一一 ，_ ,点 ,0恒在直线 AB上，故无论P在何处，AB恒过定点 m2+511例8:已知椭圆C中心在原点，焦点在 x轴上，它的一个顶

10、点为0,1 ,离心率为2 .55(1)求椭圆C的方程(2)过右焦点F作直线l交椭圆于A, Buuu交y轴于R ,若RAuur uuuuuirAF,RB BF解：(1) e c a2,5Q a2 c2 b2 1 解得 a 75,c 22 x 2C : y2 15uuu uur uuu(2)思路：本题肯定从 RA AF,RBuuurBF入手，将向量关系翻译成坐标的方程，但观察发现两个等式除了 A,B不同，系数不同，其余字母均相同。且A x1,y1 ,B x2,y2uuu uuur uuu uur也仅是角标不同。 所以可推断由RA AF,RB BF列出的方程是同构的， 而A,B在同一椭圆上，所以如果

11、用，表示Xi,X2, y1，y2 ,代入椭圆方程中也可能是同构的。通过计算可得:2 102 10_25 20k_25 20k为方程x2 10x 5 20k2 0的两个不同根,进而利用韦达定理即可得到10解：由(1)得F 2,0 ,设直线l : yk x 2 ,可得 R 0, 2k ,设 A ,B x2,y2uuuuuur可得：RA x1,y1 2k ,AFuuu2 %，% ，由 RAuuurAF可得:2x12 x1x1 1y1 2ky_2ky11因为A在椭圆上,2- 2Xi 5y15 ,将代入可得:22k2=54 2 20k2 52 i0 520k2uuu对于 ，RBX2,y2ujir2k ,

12、BF2X2, y2uuuRBuur BF同理可得:1020k2为方程X210x20k20的两个不同根10a为正常数In x x ,且对任意g X2Xi，X20,2 ,XiX2,都有-求a的取值范围.X2Xi思路：观察到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令X2Xi ,则不等式变形为g X2 g Xi Xi X2,将相同变量放置一侧，可发现左右具备同构特点，所以将相同结构视为函数 h x g x x ,从而由x2x1且h x2h xi可知只需h x为增函数即可。从而只需不等式 h' X0恒成立即可，从而求出 a的范围解：gX lnX-a,不妨设X iXiX2 ,则恒成立不等式

13、转化为:g X2g XiXiX2 g X2X2XiXi只需h, aX In x X i在0,2单调递增即可则由X2h X1恒成立和X1 X2可得:所以只需axmin0恒成立X222x x 1 x 1 x 1 2x 1p x 2 x 12 2xx1 、，一，1、，p x在0,nan 2t 1n 12 t 1 an1nan 2t 1单调递减，在 1,2单调递增221P x min P -272tn 127 a2例10：已知数列 an 满足a12t 3 t R,tan 12tn 13 an 2 t 1 tn 1nan2t 1求数列an的通项公式思路：本题递推公式较为复杂， 所以考虑先化简分式，观察到分子中含有分母的项，所以想2 tn 11 an 1到分离常数简化分式，即 an 1 1,寻求相邻同构的特点，转化为an 2t 1an 11tn1 12 an 1一 ,即可设bnan 12tn 1a，递推公式变为bn 1 用一，则能够求出bn通tn 1bn 2项公式，进而求出 an解：an 12tn 1 3 an 2 t 1 tn 1nan 2t 12tn 1 2 an2tn 1 2an2tn1tn 11an1nan 2t 1an 111bn 1bn 2-2bT11bn 1 bnbit 1 t 11a1 1 2t 3 121bn为