第五章引力场方程

1、§5J曲率张量和爱因斯坦张量3第五章引力场方程爱因斯坦等效原理告诉我们引力表现为时空的弯曲，并IL告诉我们只要知道表示时空儿何的度规， 就能讣算物体如何在弯曲的时空中运动.引力是由物质及其分布决定的，度规也应当由物质及其分布决 定.写汝原理并不能给出如何从物质及其分布来决定度燥.解决这一问题的是爱因斯坦的引力场方程，它 是牛顿力学中的泊松方程在广义相对论中的对应体.等效原理和引力场方程是广义相对论理论的两个核 心部分.5.1曲率张量和爱因斯坦张量为什么要引入曲率张量在牛顿力学中，从物质及其分布决定引力的方程是泊松方程V2t/ = 4?rGp.(5.1)方程的右边足质量密度P.它在广义

2、相对论中的对应体圧能昼动量张量T“.方程的左边足T顿引力势U 的2阶偏导数的组合.在§3.2中说到克氏符号的物理意义相为于引力或惯性力，克氏符号是度规张就的1阶 偏导数的线性组合，可以猜测度规如，柑当于牛顿力学中的引力势.广义相对论的引力场方程应当是从 物质T"决立度规g“的偏微分方程.建立引力场方程需耍1个吐I度规的偏&数组成的张呈.等效原理盘 味着引力可以局部地去除，所以克氏符乃不可能圧张量，这就需要1个由度规的2阶偏导数组成的张量.从另一个角度讲，迄今为止我们还不知道如何来判断时空的弯曲.度规张就当然代表时空的儿何， 由于坐标系选用的任意性，很难从度规的各坐标

3、分就判断时空是否平住.度规的1阶偏导数组成的克氏符 弓不是胀量，也不能川作刿断的根据，那么只们IJ度规的2阶偏导数组成的张联來判断.这止是本节耍建 立的曲率张量.曲率张量的定义 到I忆为止，判断时空是否平山可以用以下一些办法：(1)看向星平行移动的结 果足否勺路径冇关.关于这一点在§丄2中己冇比较详尽的讨论.由3条测地线组成的三和形的内角和是 否等于7T一个明显的例子是球而上由3条大圆狐组成的球而三角形的内角和大于77. (3)协变导数是否与 次序有关，亦即T爲与 是否相等.如所周知，普通偏9数与次序无关.当然，判断时空弯曲的方法 绝对不止这3条，例如可以测呈空间的圆周率，测呈：2条

4、测地线Z间距离随测地线氏度的变化等等.用上而给出的第3条方法容易导出曲率张量的定义公式.经过比较繁复但并无闲难的推导(见习 题5.1),对1阶张最几进行2次协变导数，有耳；»0 耳;处=用爲0坊，(丘2)其中= -/ + 巧恥-% +(5-3)在廿写曲率张量的指标时，需耍注总“肚第指标，而J1是逆变指标，其它3个指标“0圧协变指标， 在这3个指标之前要留有空格，以明确各个指标的次序.(52)式的两边，除眄g®外，都肯定是张虽，所以眄辭也是1个张戢，称为黎曼曲率张星，常简 称为曲率怅虽:对于全局的或1个区域内平山的时空，可以选择坐标系使度规在该区域内处处成为闵可夫 斯基度规，

5、在其中所冇的克氏符号及其偏导数全为零，曲率张量就圧1个零张呈，而且在任意的坐标系中 所有的坐标分最都是零.曲率张量可以用来判断时空是否平直.(53)式农明，曲率张星是度规及英1, 2阶偏导数的函数，而11是度规2阶偏F数的线性函数在1个 时空点，如果选取局域测地线坐标系LGS,所冇的克氏符号全为零，但它们的1阶偏导数并不一定为零， 在这个特殊的局域坐标系里，曲率张昴:的表达式简化为§5J曲率张量和爱因斯坦张量#§5J曲率张量和爱因斯坦张量5(5.5)(5-6)(5.7)(5.8)(5.9)曲率张量的性质 曲率张量是1个4阶张量.共冇256个坐标分量.然而，由于以下一些对称和

6、反对 称的性质，这些分昴:并不完全是独立的.下而先列出这些性质，然后再一一给出证明.这些性质用协变的 曲率张虽RT 来写出下面用的关于指标的関括号和方括号运算的定义请参见附录A.Rgt/gp R 川 0, °性质(5.5)农明曲率张屋对询2个指标是反对称的，而(5.6)农明它対百2个指标也是反对称的.如果把 前2个指标看成1对，后2个指标也看成1对，性质(5.7)*明曲率张呈对这2对指标是对称的.性质(5.8)称 为Ricci恒等式而性质(5.9)是者名的Bianclii恒等式.显然，性质(5.5), (5.6)和(5.7)是相互关联的.例如，只要证明了后2式，第1式就不证H明了.先

7、来证明性质(5.6).注意/?“(血)是1个张戢，为证明它是1个零张虽:，只需在1个特殊坐标系里证明 就可以了，今后将经常采用这种方法.在LGS里，根据(5.4)式，有(5.10)式中加“和以前一样表示闵可夫斯革度规.上式对指标a和0是反对称的.所以对这2个指标加上圆括号 来取其对称部分的结果恒等于零.再來证明性质(斤7).同样选取局域测地线坐标系M；S用(3 11)x1：将(5.1()屮的克氏符号写成度规的 函数.注总在LGS中度规可写成闵可夫斯朋度规，度规的1阶偏导数全为零，所以只需保留度规的2阶偏 导数.这样，在LGS中有R""a(3 = 2 (.9p/3.Pa +

8、弘<>.“0 将指标对“和a”互换位置上式保持不变，性质(5.7)得正在LGS中Ricci恒等式的证明I分简单.对(5.10)式加上方括乩U= “"(-F&c 同附录A中指出方括号内任何1对指标都是反对称指标，而克氏符号的2个下指标足对称指标，唯的可能 是上式恒等于零.在§4.4中我们用过同样的逻辑.Bianchilli等式需要対曲率张星求协变导数，任LGS中变成求泮通偏导数，问题在于这时曲率 S 叽圧否还能川(5.4)式农示.注总虽然在LGS中克氏符号的导数不赵为零，克氏符匕本XI全为零.(5.3)屮后血2项都足2个克氏符号的乘枳.这些项求过偏导数后在

9、LGS中仍为零，所以仍能川(5.4)式.P 是在LGS中冇_1_i/0,0p十§5J曲率张量和爱因斯坦张量#这里再次应用了当1項中2个指标既是对称指标又是反对称指标时该项恒等丁曲率张董独立的坐标分董的个数 在研究了曲率张晟的前4条性质皆，就吋以來计算它的独工的 坐标分量的个数.为了使讨论更H有-般性，假定每个指标从142到几，共有“种可能的取值.首先舟 虑的4个指标都相同的情况，由于反对称性质(5.5)和(5.6),这样的邯标分彫、是寧.再右虑J个折 标中只有2个不同的数“和m前3条性质说明只有1种不为零的唯标分就R“.让“和a取遍所有可 能的值，共何C?个独龙的分量.然后探讨个指标

10、中订3个不同数“q和4这种情况何3种独立的分星Rg 和只如血，总共有3需个独立的分呈.瑕后研究4个指标都不相同的情况，发现只仃2种怙 况Rt 和几口3”. Ricci恒等式表明WlWtfi况R»旳。不是独立的.这一状态共冇3J个独立的分量.于 是独立的坐标分竄个数共有Cn + 3c? + 2cJ = n2(n2 一 】)对于广义相对论的4维时空，” =4,在曲率张帘：256个坐标分就中只有20个是独立的.对于2维空 间，只有1个独立的分量，情况退化到高斯研究的2维曲面儿何.Ricci张量和曲率标量我们所3求的引力方程的右端是表示物质及苴分布的能就动量张量丁它是1个2阶的对称张最，方程

11、的左端应当是1个表示时空弯曲的2阶对称张屋，由度规的2阶偏导数组成. 曲率张量表示时空的弯曲,由度规及其1, 2阶偏导数组成,然而它是1个4阶张量.很自然会想到用曲率 张量來构造1个对称的2阶张量.将曲率张量的上下指标缩并1次就可以得到1个2阶张量.从曲率张量对前2个指标的反对称 性，容易证明丹爲三0(511)曲率张戢对后2个指标的反对称性表明和第3或第4指标的缩并只差1个符号.定义Ricci张呈为曲率怅量第1和第3个指标的缩并：(5 有些广义相对论的和文献中将Ricci张量定义为第1和第4个指标的缩并，结果会和这里畠符4 Ricci张量是1个对称张量.证明如下：(5.10(5.6)(5.13

12、)§5J曲率张量和爱因斯坦张量#§5J曲率张量和爱因斯坦张量#证明过程中除了用定义外用了 Ricci恒等式等曲率张量的性质.(5.14)Ricci张虽:可以进一步缩并，产生曲率标量RR = R：出丁Ricci张量的对称性.这里不必区分哪个指标在询，哪个在后.爱因斯坦张量在得到Ricci账虽ZJS很口然地会认为引力场方程应当写成R"= “,其中 是常数.这止足爱因斯坦曾经认为是止确的引力场方程然而下面这番讨论町以立即发现这不圧止确的 引力场方程.先来看电动力学的麦克斯韦方程(4.J9)和电荷守恒定律(4.37),重写如下F；伏=少，(5.15)瑤=0.(5.16)从

13、物理上看电荷守恒定律一定成立，于是麦克斯韦方程表明电磁场张最F"必须满足F；粘三 0.(5.17)注总(5.17)是恒等于零，这样才能导出电荷守恒定律(5.16).电磁场张1SF“是否满足(5.17),圧检验麦克 斯韦方程(5.15)足否正确的试金石之一.习题5.2告诉我们(5.17)确实成立.对于引力场方程，悄况完全类似.如果把引力场方程写成G" = kT" .(5.18)因为能星动量的局域守恒泄律環" = 0.(5.19)一定成立，左边的张戢G"的协变散度必须恒等于零，亦即G 伏=0.(5.20)现在來检査Ricci张昼是否满足这条件.可以

14、住接计算RicciS：的协变散度足工一种简便的方法 是对Bianchi恒等式进行缩并.Biunchi恒零式(5.9)可以写成如+刊比+护“=(521)上式中将指标“和"进行缩并，有=0.再将指标“和a进行缩并，得到+ % - = 0-将指标0上升，改记成“，并利用Ricci张虽的对称性，就得到缩并后的BianchitH：等式(卅"一异"尺) =0.(5.22)很自然地定义护=R" 一 护(5.23)G"称为爱因斯坦张呈或爱因斯坦曲率张呈.显然它就圧所J求的引力场方程(5.18)的左端张呈.关J：噥因斯坦发现引力场方程的艰苦过程可参阅亚们拉罕派斯

15、強因斯坦传第14改.该竹山方在庆.李勇等译.商务 印书馆2004年出版.§52爱因斯坦引力场方程75.2爱因斯坦引力场方程常数拆的确定引力场方程(5.18)中还有1个常数怎有待确定，确定的方法是要求弱场低速的悄形爱因斯坦引力场方程应该退化到牛顿力学中的泊松方程(5.1).帰冈斯坦引力场方程为(5.24)§52爱因斯坦引力场方程#将上式毎一项的1个指标提升岳号另1个指标进行缩并，得到(5.25)R = -kT.这里T = M能量动量张量的迹.于圧场方程可写成(5.26)对于弱场的悄况时空近于平XL从尘埃的能星动星张星(2.22)式看，在低速的悄形，2和八 分星 都远小于T0。

16、= pc2而不必考虑.从另一角度看,在牛顿力学里,压力和速度都不会对引力有贡献.所以 只需讨论方程Roo = K的退化.当度规退化为闵可夫斯族度规，Tw = -T = pc2,场方程退化成” 1 °00 = 2Kpc到此为止.场方程的右端已经退化到泊松方程的形式.卜面要讨论场方程左边7?oo的牛顿近似按 定义几)0=矶“0是克氏符号及其偏导数的曲数.在册场近似幷选择直角坐标系的情况下，所何的克氏符 匕均可略乩 只盅保留它们的偏导数.还耍指出坐标工0 =凶，对工。的偏&数会出现速度仃光速cZ比， 在低速近似下也可略去.于是在牛顿近似下有§52爱因斯坦引力场方程#

17、67;52爱因斯坦引力场方程#住§43的报后已经指出几0的牛顿近似是U訂宀 这里/是牛顿引力势.这样，场方程的牛顿近似为与泊松方程(5.1)相比较工即得到引力场方程或圧1 >8ttG广义相对论的引力场方程的完整形式为RZ - g"R =竽严.2c4(5.27)(5.28)(5.29)§53引力场方程的变分法推导#引力场方程右边的能昼动呈张园应为包括所仃物质的能虽动星，不仅包括物质的质呈，动量和内部 应力，也包括电磁场等力场的能量和动量，但足不包折引力场.引力场的张量势g“是引力场方程要求 解的未知就.按照等效原理，引力场的强度亦即引力本身是町以局部地消除的，

18、不可能是张就.如果产生引力的引力源物质比较集中，在引力源Z外的所谓貞空里物质的能虽动戢张量为零，从引 力场方程(5.29)可见，真空中的引力场方程为R“ = 0.(5.30)注意由于有引力源存在,所谓的“无物质的真空”有引力场存在,那里的时空是弯曲的,黎曼曲率张量不 可能圧零张星，但是那里的Ricci张呈，曲率标量和爱因斯坦张虽:是零张虽:.引力场方程是求解度规张8 gta,的2阶偏微分方程.它是度规张量2阶偏亍数的线性函数，但是对度 规张就本身是高度非线性的，要比线性的泊松方程复杂得多即使对于理想流体这类简单的物质模空， 场方程右边的耳“也含有度规张呈，这也增加了方程的复杂性.引力场方程隐含

19、着物质的运动方程T斧=0. 般箱况下，引力场方程和运动力程必须同时求解.在 选定了地标系后，某一时刻的能量动量分布和度规的边界条件决定了该时刻的度规.然而要想知道在度 规的作用下未来时刻的能就动戢分布则需要求解运动方程.这大致说明了如何用数值方法求解给定的相 对论模型的演化，称为数值相对论.这一-过程和星系数值模拟中同时求解泊松方程和运动方程的做法大 致相当，只圧山爱因斯坦引力场方程的离度父杂性和当代讣算技术的局限，11询还只在双星系统的演 化上取得了一些结果.数值相对论是一个正在发展中的十分有前途的领域.对于一些理想化的天文和物理模熨，例如球对称或轴对称的恒星系统，均匀和乞向同性的宇宙等，

20、可以得到引力场方程一些简单的准确解.对于像太阳系中的太阳和行星系统，I人1弱场低速而存在一些小 参数，可以用称为后I：顿近似的逐次近似的方法得到引力场方程的近似解.在本书的后而几章中将作一 些介绍.坐标条件 引力场方程的两边冊是对称张量，所以引力场方程一共是10个，未知的度规孤星 g“的分量也是10个，看上去方程的个数与未知量的个数相等.然而缩并后的Bianch®等式(5.22)亦即 G陽三()表明这10个场方程并不是独立的.(5.22)是4个方程，所以场方程的独立个数是10-4 = 6个，未 知量的个数多于方程的个数.这种情况并不令人惊讶场方程足对坐林变换广义协变的，为厂要求解度现

21、首先必须选定坐杯糸.时 空处标共仃4个应片给出4个方程以选宦/标系.这4个方程称为坐标条件.在广义相对论里没有优越的 坐标系.这句话是说广义相对论里的方程是广义协变的，对所有的坐标系都成立，因此坐标条件町以任 给.这并不表明对于1个给圧的物理或人文模型不存在物理上比较恰当数学上比较优越的坐标系.例如讨 论人造卫星的运动-定会选择地心坐标系而不会采用口心坐标系.选用1个好的坐标条件会大大简化引力 场方程的数学求解.谐和坐标条件 对弱场问题，常采用的坐标条件是谐和坐标条件6“=严丁加=0.(5.31)作§1.2的显片曽经强调坐标“不是1个张量.对于给上的“值，才应当理解成1个标量函数 封

22、=0(迅工2,龙3),它在4个坐标中选取第“个坐标,这是1个投影函数.在记住卅是1个标量后, 下而的推导就很自然了.§53引力场方程的变分法推导9所以谐和坐标条件也常写成更为实用的形式:“ =g叩需=0.(5.32)§6.1 ft弱场近似下求解引力场方程时，会看到谐和坐标能简化数学推导.它是在弱场情况下使用最多 的坐标条件.宇宙学常数 在探索引力场方程的过程中，我们强训了场方程左边应当圧1个2阶对称张量，而且 它的协变散度应十恒等于零.爱因斯坦张就G"符合这一条件，而II它还是度规张就2阶偏导数的线性函 数，是当然的候选者.然而度规张量本身也符合这一条件，有g竄三

23、0 .所以，引力场方程也可能是 g»”R + g “入=8ttG(5.33)§53引力场方程的变分法推导11其中入是1个常数，称为宇宙学常数.它在宇宙学问题中扮演着重要的角色.但在物质比较集中的区域如 人阳系，恒星，星团和星系屮可以忽略.本书的笫八章将比较详尽地讨论帶仃宇宙学常数项的引力场力 程.5.3引力场方程的变分法推导希尔伯特的变分原理 与物理学家爱因斯坦发现引力场方程/终形式儿乎同时，数学家示尔伯特 运用变分原理也得到了这个方程下而來阐述这条变分原理.首先来看弯曲的4维时空中的不变体元应当如何表达.按照等效原理，在时空的任一点都能选到坐标 系严创文规为闵可夫斯从友规

24、，体元的衣达式应当是dV = = d托.以§1.3中关于欧氏 空间不变体元农达式的推&相同的方式，得到广义相对论弯曲时空中的体元在任总坐标系中的农达式为(5.34)dV =gdjr°dx dr2 di3 =设拉格朗H密度函数厶是时空度规严及其偏导数的函数.而度规则是时空*标丁“的函数.在所冇 可能的度规的数中，实际的度规使作用虽(5.35)达到极值.冷尔们持原理选择拉格朗II密度函数，耍求实汗的度规满足65 =(5 j (/? + kLmt) v/dS = 0.(5.36)这里”是曲率标量，K是方程(5.27)所给出的常数，厶MT是物质的拉格朗日密度旳数，这一项将产

25、生引 力场方程中物质的能呈动星张M T.在做述变分原理时必须说明哪些呈是独芷变呈并说明这些量的 边界条件.这里规定度规并逆变分量g"和度规协变分量的偏导数g“.p是独立变量，而且变分dg"和爱IM斯川1915年11丿25|向悴竹I.科7読提交的论文中仃引力场方程的最后形代希尔们转4 5人向，亦即11丿2011向哥廷 根门然科学协会提交的论文含有同样的力心传的作者派F. :我确信.爱因斯坦是广义相对论物理理论的唯一 创立冷 而他和希尔们特都发现了垂木方程(14.15)”(见该书中文版374页.该书的方程(1415)U卩木书的引力场方程(5.28).)dg“在积分区域的边界上都

26、等于零 丫引力场方程的推导从变分原理(5.36)14以导出爱因斯坦引力场方程.先看第1项d / RS&'工=$/严R“厂砂(5.37)(5.38)耳edg""厂示+ / R6>/(jdx + / g"d/?“厂羽耳.现在来分别计算(5.37)中的3项.第1项已无需进-步推导.根据第章习题1.8第2项是R/d4x =气/ 弘d严(5.37)式第3项的计算比较复杂.关键是计算d/?,”它是1个张牝可以先在LGS坐标系中计算，然 后把所得的方程改成张最等式就得到任意坐标系中的表达式./l：LGS<|>所有的克氏符号为零，所以d/? “

27、= 6Rplipl/ = 一 <5鬻卍 +角©虽然克氏符号不是张量，它们的变分却足张量.克氏符号在坐标变换下的变换规律如(3.23)式所示，其中 的IF齐次项表明它们不是张屋，然而这个非齐次项与度规无关，只与坐标变换有关，所以肖(3.23)式两 边对度规求变分时，非齐次项不复存心，说明克氏符号的变分是张虽.这样，只需将上式中的逗号改成 分号，就得到所需的结果.畤冲 + 兀爲.(5.39)上式在任何坐标系中都成立.于是(5.37)的第3项变成J 一 (严$%)；” +(g“d%；卩血.这里用了度规的协变散度恒等于零.上式方括号中的每1项都可以斤作是1个逆变张吊的协变散度.利用第四

28、章习题4.6给出的公式，上式 变为/ -(厂勿“乍喑)卫+ (厂勿呛打归.这个式子的每1项都能完全积出，圆括号内的函数要取积分区域边界处的值.克氏符号的变分涉及度规及 其1阶偏Y数的变分，按变分原理的规左它们金边界处全是零，亦即上式等于零.这样(5.37)式的第3项为 零.综介上面的结果以及(5.37)和(5.38)式，有§/= / (/?“ -字0“川)6gfll/gd4x.(5.40)对变分原理(5.36)中的物质项，当£MT只和度观有关而不會度规的导数，有d J 厶'"耳<1 = J (罟-"入%“ J dg“qdS.(5.41)t希

29、尔伯特只以10个旷"分駅为独芷变歌.后來Palatini发观増加度规的偏仔数为独立变駅使扯导更为简g 这里采用 的是Palatini的做法，也称为Hilbert-Palatini变分原理.这两种做法类似F经典力学中的拉格朗11力学和哈密顿力学.详请可 见C.W.Misner. K.S.Torne, J.A.Wheeler <Gravitation> , W.H.Frceinan and Company, New York. §21.2.§53引力场方程的变分法推导13很门然就定义(5-42)当物质模型更为复杂时可适当改变上式.综合变分原理(5.36)和

30、(5.40), (5.41), (5.42)式得到(5.43)J («“ -瓠以-q J= 0.独工变分dg"询的系数应当为零.得到爱因斯坦引力场方程(5.44)用变分原理推导引力场方程是一种克接和简捷的方法.它也再次揭示了H然界的物理定律满足一定 的极值原理.在广义相对论建龙以后出现的各种引力理论大都采用这条途径引力场方程和等效原理一样 不足完全能丿I逻供证明的，必须通过实验來11E实.爱因斯坦答效原理日询任相刈比较高的梢度上得到矗 uE.从一种物理思想出发去选择作用量(5.35)中的拉格朗口密度函数可以得到备种«样的引力理论，它们 的引力场方程乞不相同.迄今为止，广义相对论通过了儿乎所有的实验验证.第九章将冋到这一问题的讨 论.Bianchi恒等式用变分原理可以更好地揭示Binnchifri等式和坐标系可以任意:选择之间的关系.看作用量(5.45)从这个作用就的变分出发可以得到貞空中的场方程G“ = 0.作用就S是1个标戢，它的数值只和积分区