1.2二重积分ppt课件

1、Review:条件极值:等式约束情形定义域约束情形Lagrange用乘子法定义域内部相当于无条件极值问题Lagrange边界上用乘子法或其它方法rank(,) 1xyzg gg一个约束条件时( , )rank2( , , )g hx y z两个约束条件时正则性条件000( , , ),( ,)0,g x y zg x y z试构造使得且000000000( ,)( ,)( ,)0 xyzg x y zgx y zg x y z Chap4.Chap4.重积分重积分1.1.二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质 二重积分是三重积分的基础.只有掌握好了二重积分才能学好三重积分.而且,二重积分完全

2、体现了重积分的所有思想.二重积分的几何与物理意义 曲顶柱体的体积 平板质量二重积分的概念二重积分的性质:( , ),( , ).,V(). S zf x yx yDDS 设曲面求以 为下底 以曲面 为上顶的曲顶柱体 的体积1.1.二重积分的几何与物理背景二重积分的几何与物理背景(1)(1)曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积Step1.D对 进行分划:12,.n 相应地被分成了曲顶柱体1( )max().ii nTdDT 称为分划 的直径 其中,1,DnD将 分成 个小区域2,nDD1.niiDTD 称之为 的一个分划()sup( ,),.iidDd P Q P QD Step2.取标志点( ,).i

3、iiiDP 在中任取一点Step3.求近似和iiD以表示的面积,则V()(),iiif P11V( )V()().nniiiiif P Step4.取极限,( )0,DT直观上 当 的分划越来越细 即时1()V( ).niiif P(2)(2)平板质量平板质量( , )( , ),Dx ym x y薄板 上点处的密度为求薄板质量.(1,2, )iDnD in将 分成 个小区域11 ( )()().nniiiiim DmDm P1,()().niiiDm Pm D当 的分割越来越细时Step1.分划:( ,).iiiiDP 在中任取一点,iiD用表示的面积 薄板质量Step2.取标志点:Step

4、3.求近似和:Step4.取极限:2.2.二重积分的概念二重积分的概念2 ( , )Def.,f x yD 在有界闭区域上有定义D对 的1,niiTD 任意分划( ,)iiiiPD 以及任意的点(1,2, ),in1( ,)niiiifRiemann 若和的极限( )01lim( ,)niiiTif ,都存在(),( ),fDRiemannfR D则称 在 上可积记作fD并称该极限为 在 上的二重积分,记作( )01( , ) lim( ,),niiiTiDf x y df 其中,Df是二重积分号是积分域是被积函数,.d是面积元 (Remark:,)iiRiemannD 定义中,和的极限与对

5、的分划无关,与标志点的选取无关.因此也可以用语言定义二重积分:211 ,.0,0, . .,( ,)(1,2, ),( ), ( ,),(),( , )e.D f.niiiiiniiiiDfDAstDTDD inTfAfDRiemannAfDf x y dA 在有界闭区域上有定义若对 的任意分划以及任意只要就有则称 在 上可积 称 为 在 上的二重积分,记为( , )Rema,. ( , )r.k: DDDf x y dfx yf x y df只与被积函数 和积分区域有关 而与自变量的记号无关 故有时也简记为( , ),.( , )Remark: ( , ).DijDDf x y dDxyf

6、x y df x y dxdy 设存在.用平行于坐标轴的网格对 作分划 则面积微元为因此也记为,.rk: Remax y二重积分对变量具有轮换不变性 即同时将积分区域与被积函数中的变量交换 所得积分值不变( , )( , )( , )x yu vy x,( , )( , ).Case1.,DDDyxf x y df y x dx y特别地 若区域 关于直线对称 则 也就是说当积分区域具有轮换对称性时 将被积函数中变量交换 积分值不变.,( , )( , ), Case ( , )( , ),( , ) ( ,2.).DEf x yf y xx yf x y df x y dEx yy xD同样

7、地 若即被积函数具有轮换对称性 则将积分区域中变量交换 积分值不变 即其中2,().()Th()(m). DfR DfDfC DfR D可积的必要条件可积设为有界闭区域 则)在 上有界的充分条件1),(),(), .()DDDf gR DfgR Dfg dfdgd 则且线性性质3.3.二重积分的性质二重积分的性质121212),()(),1,2, . ( ,(.), )inniniDDDDDDD DDfR DfR Dinf x y dxdyf x y dxdy且中任意两区域无公共内点,则 性 加且域可 区3),( ), ( , )( , ).,( ),0,( , )0.()DDDf gR Df

8、gf x y dxdyg x y dxdyfR Dff x y dxdy保序性则特别地则 ,(),Proof.: f gR Dfg由二重积分的线性性质,0().fgR D,由二重积分的定义 0,Dfg dxdy( , )( , ).DDf x y dxdyg x y dxdy再由线性性质得4)(),( , )( , ).DDfR Df x y dxdyf x y dxdy则 P,roof:ff,由线性性质和保序性( , )( , ). DDf x y dxdyf x y dxdy5)(),( , ).(),()( , )().(DfR D mf x yMDDmDf x y dxdyMD记为 的

9、面积 则 估值定理)26),(),( , ), . . ( , )( , ) ().(DDfC DD stf x y dxdyfD 积分中值定)有界则理闭存在117)(), ( , ), ( , )0; ( , ),( , )2(), ).DDDfR D DOXf x yyf x y dxdyf x yyDDOXf x y dxdyf x y dxdy设关于轴对称若关于 为奇函数 则若关于 为偶函数 记为 位于轴上方的部分称性,则对2 ,(),.( , ), . . ( , ) ( , )( , )( , ).1:DDDf gC D gD stf x y g x y dxdyfg x y dx

10、dy 有界闭不变号则存在例,(),(),().: f gC DfgC DfgR D从而解则g不变,0.g 号 不妨设记( , )( , ) min( , ),max( , ),x yDx yDmf x y Mf x y( , )( , ) ( , )( , ).mg x yf x y g x yMg x y则 ,由二重积分的保序性( , )( , ) ( , ) ( , ).DDDmg x y dxdyf x y g x y dxdyMg x y dxdy( , )0,Dg x y dxdy若则( , ) ( , ),( , )DDf x y g x y dxdymMg x y dxdy, (

11、 , ), . . ( , ),( , ) ( , )( , )( , ).DDD st ff x y g x y dfg x y d 由连续函数的介值定理此时( , )0,( , )0. ( , ), ( , ) ( , ) ( , )( , )0. DDDg x y dxdyg x yDf x y g x y dxdyfg x y dxdy 若则Remark: g变号时,结论不一定成立. 1,1 1,1,( , )( , ).Df x yg x yx 例如,则2( , ) ( , )0.DDf x y g x y dxdyx dxdy,事实上221122,1,1110.416Dx yx y

12、x dxdyx dxdydxdy, ( , )( , )0.DDDyg x yxxg x y dxdyxdxdy 而区域 关于 轴对称关于 为奇函数,所以( , ), 0( , ) ( , ) ( , )( , )0. DDDf x y g x y dxdyfg x y dxdy 故2 , ,0, , , ,( ) 2: () .( )DfCa bfDa ba bf xdxdybaf y则例P ,( )( ).roof(:)( )DDDf xf yddf yf x由于区域 是轮换对称的 因此 ( )( )( )( ).( )( )DDDf xf uf ydddf yf vf x( , )( , )( , )x yu vy x于是( )1( )( )( )2( )( )DDf xf xf ydxdydxdyf yf yf x221( )( )2( ) ( )Dfxfydxdyf x f y212() .2Ddxdyba22222201 limcos().:rxyrxyxy dxdyre求例3,(0 ,: 0)将被积函数看成薄板点密度 则所求为原点处的点密度 即被积函数在点分的值析1结果应为 .222, (,), . .:,rrrrstr 由积中定解分值理且2222221cos()xyrxyxy dxdyre22cos()rrrre1,0. r当时二重积分的基本性质二