1.2函数的幂级数展开式的应用修改稿ppt课件

1、 第五节第五节 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用n一、近似计算n二、计算定积分n三、求数项级数的和 n四、欧拉公式n五、小结一、近似计算,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar误误差差两类问题两类问题: :1.给定项数给定项数,求近似值并估计精度求近似值并估计精度;2.给出精度给出精度,确定项数确定项数.关健关健: : 通过估计余项通过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数.常用方法常用方法:1.若余项是交错级数若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数若不是交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各项,使之成使之成为等

2、比级数或其它易求和的级数为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和从而求出其和.例例1 1.10,5 使其误差不超过使其误差不超过的近似值的近似值计算计算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得余和余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 例例2 2.,9sin! 3sin03并并估估计计误误差差的的近近似似值值计计算算利利用用xxx 解解

3、20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其误差不超过其误差不超过 .510 二、计算定积分.,ln1,sin,2难难以以计计算算其其定定积积分分函函数数表表示示原原函函数数不不能能用用初初等等例例如如函函数数xxxex 解法解法逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数第四项第四项30001!771 ,104 取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值,得得! 551! 3311sin10 dxxx94

4、61. 0 例例3 3.10,sin410 精精确确到到的的近近似似值值计计算算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收敛的交错级数收敛的交错级数三、求数项级数的和1.1.利用级数和的定义求和利用级数和的定义求和: :(1)直接法直接法;(2)拆项法拆项法;(3)递推法递推法.例例4 4.21arctan12的的和和求求 nn解解,21arctan1 s81arctan21arctan2 s812118121arctan ,32arctan 181arctan32arctan 181arctan23 ss,43a

5、rctan 1arctan1arctan nnsn)(4 n.421arctan12 nn故故,1arctan1kksk 假设假设221arctan1arctankkksk ,1arctan kk2.2.阿贝尔法阿贝尔法( (构造幂级数法构造幂级数法):):,lim010nnnxnnxaa ,)(0nnnxaxs 求得求得).(lim10 xsaxnn (逐项积分、逐项求导逐项积分、逐项求导)例例4 4.2121的的和和求求 nnn解解,212)(221 nnnxnxs令令)2, 2( 1022)212()(nxnndxxnxs 112)2(nnnx)2(1(12 nnxx)21(22 xxx

6、)2(2 xx,)2(2222xx 2221)2(2limxxx )(lim1xsx , 3 . 32121 nnn故故例例5 5.2!12的的和和求求 nnnn解解,!)(12nnxnnxs 令令),(nnxnnnnxs 1!)1()(nnnnxnxnnn 11)!1(1!)1( 012!)!(nnnnnxxnxxxxxeex )1(2,)1(xxex 122 !nnnn)21( s 21)121(21 e.43e 四、欧拉公式复数项级数复数项级数: )()()(2211nnjvujvujvu.), 3 , 2 , 1(,为为实实常常数数或或实实函函数数其其中中 nvunn若若 1nnuu,

7、 1nnvv,则则称称级级数数 1)(nnnivu收收敛敛, , 且且其其和和为为 ivu . .若若 2222222121nnvuvuvu收敛收敛, ,则则 1nnu, , 1nnv绝对收敛绝对收敛, ,称复数项级数绝对收敛称复数项级数绝对收敛. .复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式三个基本展开式,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)( x的幂级数展开式的幂级数展开式由由xe njxjxnjxjxe)(!1)(! 2112)!12()1

8、(! 31()!2()1(! 211(12322 nxxxjnxxnnnnxjxsincos xcosxsinxjxejxsincos jeexeexjxjxjxjx2sin2cosxjxejxsincos 又又 揭示了三角函数和复变数指数函数之间的揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系一种关系. .欧拉公式欧拉公式)sin(cosyjyeexjyx 五、小结、近似计算、近似计算, ,求不可积类函数的定积分，求不可积类函数的定积分，、微分方程的幂级数的解法、微分方程的幂级数的解法( (第十二节介绍第十二节介绍) )求数项级数的和，欧拉公式的证明求数项级数的和，欧拉公式的证明.思考题思考题

9、利用幂级数展开式利用幂级数展开式, 求极限求极限.sinarcsinlim30 xxxx 思考题解答思考题解答,54231321arcsin53 xxxx,! 533! 33341sin55333 xxx)1( x)( x,sinarcsinlim30 xxxx 将上两式代入将上两式代入 54231321lim530 xxxxx 5533! 533! 33341xx原式原式=)()(61lim33330 xoxxoxx .61 一、一、 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值: : 1 1、3ln ( (精确到精确到0001. 0) )； 2 2、2cos ( (精确到精确到0001. 0).).二、二、 利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分 5 . 00arctandxxx ( (精确到精确到001. 0) )的近似值的近似值 . .三、三、 将函数将函数xexcos展开成展开成的的幂幂级级数数x .