含全参数导数问题分类讨论(学生)

1、含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳.一、分离参数，转化为最值策略在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若a_ f x恒成立，只须求出f X max，则a - f X max ；若f X恒成立，只须求出f x min，则f X m

2、n，转化为函数求最值.例1、已知函数f(x) =xlnx. (I)求f(x)的最小值；(n)若对所有x -1都有f (x) _ ax -1,求实数a的取值范围.二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点， 从而引起讨论.例2.已知a是实数，函数f(x) =x2(x-a).(I)若f(1)=3,求a的值及曲线y二f(x)在点(1, f (1)处的切线方程；(n)求f(x)在区间0 , 2上的最大值.三、导函数为0是否存在，分类讨论策略求导后，

3、考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)，涉及到二次方程 问题时，与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关， 令厶=0,求分点，从而引起讨论.例3、已知函数f(x)=x2-x+al nx , (a己R)讨论f (x)在定义域上的单调性.四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，导函数为零的实根也落在 定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间 .所以必须分类，通过令几个根相等 求分点，从而引起讨论.mx2 +3(m +1)x + 3m + 6例4、已知m 9,讨论函数f(x)二 一3(

4、m 1)x6的单调性.e练习求导后，考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)，从而引起讨论。一、求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。二、求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。,x : 11. 08 广东(理) 设 k R，函数 f (x) W1 - X,F(x) = f (x) - kx, x R，Ti,i试讨论函数F(x)的单调性。2. (08浙江理)已知a是实数，函数f xi=x x-a(I)求函数f x的单调区间；(

5、n)设g a为f x在区间0,2 1上的最小值。(i)写出g a的表达式；(ii)求a的取值范围，使得 -6辽g a _ -2。2axa +13 (07天津理)已知函数 f x二 - X- R，其中aR。x +1(I)当a =1时，求曲线y = f x在点2, f 2 处的切线方程;(n)当a=0时，求函数f x的单调区间与极值。4 ( 07高考山东理改编)设函数f xi； = x2 bln x 1，其中b 0，求函数f x的极值点。含参数导数的解题策略 例1、解：(I)略.()对所有 x -1 都有 f (x) _ ax _1,1 对所有 x -1 都有 xln x _ ax1，即 a &l

6、t; ln x .x 记 g(x) = lnx,(x - 0),只需 a < g(x)min-x1 1令 g'(x)2 = 0,解得 x =1.x xg' (x)0 = x 1, g' (x) ： 00 ： x ： 1.当x=1时，g(x)取最小值g(1) =1.a1.即a的取值范围是1；例2.解：(I )略.2a(II )令 f '(x) =0 ,解得 x<| =0,x2 ：32a当 0,即aO时，f (x)在0 , 2上单调递增，从而 fmax二f (2) =8-4a .32a当 2时，即a_3时，f (x)在0 , 2上单调递减，从而 fmax

7、 = f(0)=0 3当0c竺<2，即0cac3 , f (x)在i0,2a上单调递减，在ia,2 1上单调递增,333从而max综上所述,max8 -4a,0 : a _2.0,8 4a,2 : a : 3.a乞2.例 3、解:0,a 2.2 2 +由已知得 f (x) = 2x _1 =x一a ,(x 0),x1)(1)(2)1当= 1 -'8a 一 0, a 时,81当/ =1 -8a 0, a 时,8f (x) 0恒成立，f (x)在(0,二)上为增函数.0")时，18三0 , f(x)在匕三,8!上为减函数,f(X)在(0,1- ；-8a,；-8a：)上为增函

8、数,2 )当 a：0时，1 8a ： 0，故 f (x)在0,1 8a上为减函数，2 2f (x)在11 8a ,+m)上为增函数.21综上，当a 时，f (x)在(0, ：)上为增函数.811 _ J1 _8a 1 + J1 8a 斗、亠昨当0：a) 时，f(x)在,上为减函数，8 2 21 - 1 8 a1 ''71 8 af(x)在(0,，:：)上为增函数，2 2当a 0时，f (x)在(0, 11 翌上为减函数，f (x)在 1 翌2 2+ 8)上为增函数.例4、解：2mx _(m 3)x _352入f (x)x，设 g(x)二-mx - (m 3)x-3，令 g(x)

9、=0，e3得 X<| = - 一 , x2 -1.m1) 当 0 : m 3 时，x : x2，在区间(一心,一 一), ( 一1,=)上 g(x) ： 0 ,即 f (x) ： 0 ,m3所以f (x)在区间(-：,)，(T, :)上是减函数；m在区间(-三，-1)，g(x) 0,即f (x) 0,所以f(x)在区间(-亠，-1)上是增函数；mm2) 当 m =3时，捲=X2 ,在区间(-：，-1) , (-1,：)上 g(x) ： 0，即 f (x) ： 0，又 f (x)在x =1处连续，所以f(x)在区间(：，：)上是减函数；33)当 m 时，x1 x2,在区间(-二，-1)，(

10、，)上 g(x) ： 0，即 f (x) ： 0，m所以f (x)在区间(-：，-1)，(-2，:：)上是减函数；m3 3在区间(-1,-) 上, g(x) 0，即f (x)0，所以f (x)在区间(-1,-)上是增函mm数.1.练习I 1Ikx,xc1,解：F(x) =f (x) _kxp1-x,F'(x)二.-Vx _1 _kx, x A121 - k 1x2 ,x <1-x1 2k、! , X > 12、x-1考虑导函数F'(x) =0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。2(一)若x < 1，则F'(x)= i _x 。由于当k空0时，F

11、'(x) = 0无实根，而当k 0(x)时，F'(x)=0有实根,因此,对参数k分k岂0和k - 0两种情况讨论。(1)当k乞0时，F'(x)_0在上恒成立，所以函数F(x)在上为增函数;(2)21 - k 11 - x当 k 0 时，F '(x)(1x)。2(1X)由"日，得“匸；心；，因为k 0，所以x1小x2。1 1由 F '(x)0 ,得 1 - = ：. x <1 ;由 F '(x) ： 0 ,得 x ： 1 - =JkJk1 1因此，当k 0时，函数F (x)在 )上为减函数，在(1,1)上为JkJk增函数。(二)若x

12、 1，则F'(" 2*1由于当k_0时，F'(x) = 0无实根，而当 k : 0 时，F '(x)=0有实根，因此，对参数k分k 一0和k 0两种情况讨论。(1)当 k0 时,F '(x) ：0 在 1,:上恒成立，所以函数 F(x)在上为减函数;当一0时，F'(x)J爲11 1由 F '(x) . 0，得 x 12 ；由 F '(x) : 0 ,得 1 :： x :： 12。4k4k因此，当k ： 0时，函数F(x)在1,1 丄 上为减函数，在1 丄，：上IL4k2 !IL 4k为增函数。综上所述:11(1)当k 0时，函数

13、F(x)在(_：,)上为减函数，在(1 ,1)上为增函数,VkJk在1, :上为减函数。(2)当k=0时，函数F(x)在(-：,1)上为增函数，在1, 二上为减函数。(3)当k ：0时，函数F(x)在(-：，1)上为增函数，在1,1丄4k上为减函数，在:上为增函数。(I ) 函数的定义域为 O =,'x a3xa 3x送2.x _x 0，由 fa(x)"得 。a考虑巳是否落在导函数3两种情况进行讨论。f (x)的定义域0,内，需对参数a的取值分a 0及a 0(1)当3<0时，则f (x) 0在0,上恒成立，所以f x的单调递增区间为(2)当a 0时，由a 'af

14、(x) 0，得 x 3 ；由 f (x) ：0，得 ° ：x込。因此，当a 0时，f x的单调递减区间为0,a ，f x的单调递增区间为IL 3（n） （ i）由第（i）问的结论可知：（1）当a空0时，fx在0,:上单调递增，从而 fx在0,2上单调递增, 所以 g |a = f 10 =0。（2）当a 0时，f x在0,-上单调递减，在 a, :上单调递增，所以：13!3丿0,2， 即0 ： a 6时,f x在0,上单调递减，在,2上单调递一 3_3增,3ara所以g a = f i 一k 13 丿2a. 3a9a当一 2 =，即a _ 6时，f x在0,2 上单调递减，所以3g

15、a =f 2 =i2 2-a 。0,a 辽02a :a综上所述,0 ： a ： 63 , 3、2 2 a , a 亠 6（ii ）令-6 一 g a 一-2。 若a乞0，无解；2一 I 一 若 0 : a 6，由-62 解得 3 _ a ： 6 ；3X3 若 a _ 6，由 一6 一 . 2 2 - a _ -2 解得 6 乞 a 乞 2 3、2。综上所述，a的取值范围为3乞a岂2 3. 2。3、解：（i）当a=1时，曲线y=f x在点2 ,f 2处的切线方程为6x 25y -32 =0。（n）由于a = 0，所以f x =“ 2 22a x 1 L2x 2ax -a 12 2(X2+1)1

16、'-2 a x - a I xl a#2 2 。(x2+1)1由f x =0，得x-,x2 = ao这两个实根都在定义域 R内，但不知它们之间的大a小。因此，需对参数 a的取值分a 0和a 0两种情况进行讨论。(1) 当a 0时，则x,： x2。易得f x在区间|1 oQ .，a丿,a, ：内为减函数，在区间-2,a为增函数。故函数f x在x, =-1处取得极小值aa2=-a ;函数f x在X2 = a处取得极大值f a = 1。1(2)当a : 0时，则x-ix2。易得f x在区间(-：,a),(，= )内为增函数，在区a1间(a,)为减函数。故函数f x在为兰一a1处取得极小值f

17、-一a=a2;函数f x在X2 =a处取得极大值f a =1 o4、解：由题意可得f x的定义域为 -1,牡:q, f x；=2x 22x 2x bx + 1的分母x 1在定义域 -1,匸：上恒为正，方程 2x2 2x0是否有实根，需要对参数 b的取值进行讨论。1 2(1 )当厶=4-8b 0,即b时，方程2x 2x 0无实根或只有唯一根2所以 g x = 2x2 2x b _ 0在-1：上恒成立，则f' x -0在-1,二上恒成立，所以函数f x在-1,调递增，从而函数 f x在-1, 二 上无极值点。1 2 '(2)当广；=4-80，即b 时，方程2x ,2x5=0，即f x=0有两个不相等的实根：X1=,X2=。2这两个根是否都在定义域-1, :内呢？又需要对参数 b的取值分情况作如下讨论:(i )当b 0时，2 2丄三一，所以人 T,二 K T,二。1(ii )当 0 ： b 时，21 / 2b , x(1,x2-1 ,此时，f' x与f X随x的变化情况如下表:此时，f x与f X随x的变化情况如下表:x(_1, x2 )x2(X2,址)f'