1.2.无穷小量与无穷大量ppt课件

1、1/22课前练习课前练习若若0)( xf，且，且Axfx )(lim，问：能否保证有问：能否保证有0 A的结论？试举例说明的结论？试举例说明.2、对数列、对数列xn，若，若x2k-1a (k)，x2ka (k), 证明：证明：xna (n).1、答：不能保证答：不能保证.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx2/22课前练习课前练习2、对数列、对数列xn，若，若x2k-1a (k)，x2ka (k), 证明：证明：xna (n).证：证：x2k-1a ，x2ka (k),0,021k ,k,.|ax|kk-k121恒恒有有时时, ,当当.|ax

2、|kkk22恒恒有有时时, ,当当32max21KNk ,kK取取, ,记记122121kKNnk则则若若n=2k-1当当nN时，时，.|ax|ax|-kn1221212kK-Nnk则则若若n=2k.|ax|ax|kn2.|ax|naxnnlim故故3/22函数的极限函数的极限2 . 2的的极极限限时时一一)(.xfx的的极极限限时时)(. 1xfx.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim的极限的极限时时)(. 2xfx.)(, 0, 0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim上节课内容回顾上节课内容回顾4/22 AxfxfAxfxxxlimlim)(lim.

3、4存存在在的的充充要要条条件件为为的的极极限限时时)(. 3xfx定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim5/22的的极极限限时时二二)(.0 xfxx “e-de-d定义定义.|)(|0, 0, 0)(lim00 AxfxxAxfxx时时有有当当注：注：;)()0是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxfaf(x)Ax x0存存在在的的充充要要条条件件Axfxx)(lim0分段函数在分界点的极限必须用此充要条件来求分段函数在分界点的极限必须用此充要条件来求.)(lim)(lim)(lim) 1 (000AxfxfAxfxxxxx

4、x b)Infinitely Small ( Large) Quantity7/221.11.1、定义、定义8/22 若在自变量若在自变量 x 的某个变化过程中的某个变化过程中, f (x)以以0为极限为极限, 即即 lim f (x) = 0,则称则称 f (x) 为为为为无无穷穷小小时时则则称称若若即即)(, 0)(lim,xfxxfx 为为无无穷穷小小时时则则称称若若)(, 0)(lim00 xfxxxfxx 为为无无穷穷小小xxxx1,01lim 为为无无穷穷小小xxxexe, 0lim 为为无无穷穷小小xxxxln, 1, 0lnlim1 该变化过程中的无穷小量，简称为无穷小该变化过

5、程中的无穷小量，简称为无穷小.例例19/22两点注意事项两点注意事项: :无穷小是相对自变量的某一变化过程而言的无穷小是相对自变量的某一变化过程而言的; ; 例如例如: :;,时则不是无穷小时则不是无穷小而当而当时是无穷小时是无穷小当当 xxeyx.,cos时不是无穷小时不是无穷小当当时是无穷小时是无穷小当当 xxxy无穷小是变量，不能与很小的正数混淆；无穷小是变量，不能与很小的正数混淆； 0 0是可以是可以作为无穷小的唯一的数作为无穷小的唯一的数. .如：如：0.001、100-100都不是无穷小量。都不是无穷小量。(它们的极限不为它们的极限不为0)常数中，只有常数中，只有0可以作为无穷小。

6、可以作为无穷小。., 00lim:常常数数零零为为无无穷穷小小解解 但无穷小量未必是零！但无穷小量未必是零！10/221.11.1、定义、定义1.21.2、函数极限与无穷小量、函数极限与无穷小量 的关系的关系11/221.2、 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 12/22意义意义(1)将一般极限

7、问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);) ). .( (误误差差为为, ,) )( (附附近近的的近近似似值值在在) )( ( (2 2) )给给出出了了函函数数0 0 xAxfxxf例如：例如：, 11lim xxx有有xxx111 其中其中01limxx思考题：思考题：时，时，时，时，当当0 xx 是无穷小是无穷小)(x 是是“当当0 xx )(x 是无穷小的是无穷小的 条件条件. (A)(A)充分但非必要条件充分但非必要条件; ;(B)(B)必要但非充分条件必要但非充分条件; ;(C)(C)既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件; ;(D)(D)充分必

8、要条件充分必要条件. .D13/221.11.1、定义、定义1.21.2、无穷小与函数极限、无穷小与函数极限 的关系的关系1.31.3、无穷小量的性质、无穷小量的性质14/22性质性质1 1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。注意注意: 无限个无穷小量的和不一定是无穷小。无限个无穷小量的和不一定是无穷小。例如：例如：1).2(lim222 nnnnnnnn性质性质2 2 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。0sinlim, 1sin01,:sinlim.2 xxxxxxxxx故故又又解解计计算算例例01sinlim, 11sin

9、,0:1sinlim.300 xxxxxxxxx故故又又为为无无穷穷小小解解计计算算例例15/22性质性质2 2 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxsin2,202时时, ,当当例例如如, ,都是无穷小都是无穷小注：无穷小的商未必是无穷小量。注：无穷小的商未必是无穷小量。2,20 xxx时,时,当当例如,例如,都不是无穷小都不是无穷小220 xxx时,时,但当但当xxx122都是无穷小都是无穷小16/221.11.1、定义

10、、定义1.21.2、无穷小与函数极限、无穷小与函数极限 的关系的关系2.12.1、定义、定义1.31.3、无穷小量的性质、无穷小量的性质17/22定义：定义：2.12.1、定义、定义 对于任意给定的正数对于任意给定的正数M,M,在自变量的变化过程在自变量的变化过程中中, ,因变量因变量y y变化到一定程度以后变化到一定程度以后, ,恒有恒有|y|M,|y|M,则则称称 y y 在此变化过程中为无穷大量。记在此变化过程中为无穷大量。记 ylim 简言之简言之: : 绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大. .注意：注意：limlim下未注明自变量变化趋势下未注明自变量变化趋

11、势, ,指对各种极限都成立指对各种极限都成立; ;无穷大是变量无穷大是变量, , 不能与很大的数混淆；不能与很大的数混淆； )(lim0 xfxx切勿认为无穷大切勿认为无穷大的极限存在的极限存在. .MyXx,X,Myx：，恒恒有有时时使使得得当当00limyx +18/22, MyMyMy.lim, yyMy记作记作为负无穷大为负无穷大则称则称假设假设;lim, yyMy记作记作为正无穷大为正无穷大则称则称假设假设正负无穷大正负无穷大MyXx,X,Myx：，恒恒有有时时使使得得当当00lim-MyXx,X,Myx：，恒恒有有时时使使得得当当00limy +y -19/22如图所示如图所示例如

12、例如,1lim:0 xx.10;1,0;1,0 xxxxxx时时，而而例例4. y=lnx4. y=lnx何时为无穷大？何时为无穷大？ 解：如下图解：如下图xy111 1 0 xyln xy01.ln,0ln,0ln,ln,为负无穷大为负无穷大当当为正无穷大；为正无穷大；当当xxxxxxxx 对数函数在两个变化过程中对数函数在两个变化过程中分别为正无穷大和负无穷大分别为正无穷大和负无穷大. .20/222.22.2、无穷大量的性质、无穷大量的性质性质性质1 1 无穷大与有界变量的代数和是无穷大无穷大与有界变量的代数和是无穷大 . . 性质性质2 2 无穷大与非零常数的乘积是无穷大无穷大与非零常

13、数的乘积是无穷大. . 例如：例如：都是无穷大.都是无穷大.,2,2时,时,当当xxxxxxcos,arctan性质性质3 3 无穷大与无穷大的乘积是无穷大无穷大与无穷大的乘积是无穷大. . .)()(.)(,. 51110也也是是一一个个无无穷穷大大量量有有意意义义时时，且且当当是是一一个个无无穷穷大大量量多多项项式式函函数数时时当当例例mnmnnnnnnxPxPaxaxaxaxPx .123,.123 ,:22也也是是无无穷穷大大量量是是无无穷穷大大量量如如 xxxxxx例例5 521/22y0 x注注: 无穷大与有界变量的乘积未必是无穷大量无穷大与有界变量的乘积未必是无穷大量.?sin,

14、8. xxx例例.sin,:大大是是无无界界函函数数但但不不是是无无穷穷如如图图所所示示解解xxyx MyXx,X,Mylimx：，恒有恒有时时使当使当00取取X=M，当，当x=MX时，有：时，有：xsinx=0My=xsinx不是无穷大量。不是无穷大量。无界量无界量无穷大量无穷大量22/221.11.1、定义、定义1.21.2、无穷小与函数极限、无穷小与函数极限 的关系的关系2.12.1、定义、定义2.22.2、无穷大量的性质、无穷大量的性质1.31.3、无穷小量的性质、无穷小量的性质23/223.13.1、倒数关系定理、倒数关系定理1.11.1、定义、定义1.21.2、无穷小与函数极限、无

15、穷小与函数极限 的关系的关系2.12.1、定义、定义2.22.2、无穷大量的性质、无穷大量的性质1.31.3、无穷小量的性质、无穷小量的性质24/22定理定理 在自变量的同一过程中在自变量的同一过程中, , 若因变量若因变量y y是无穷大量是无穷大量, ,则其倒数则其倒数1/y1/y为无穷小量；为无穷小量；若恒不为零的若恒不为零的y y是无穷小量是无穷小量, ,则其倒数则其倒数1/y1/y为无穷大量。为无穷大量。意义：关于无穷大的讨论，都可归结为无穷小的讨论意义：关于无穷大的讨论，都可归结为无穷小的讨论. .3.13.1、倒数关系定理、倒数关系定理. 0ln/1lim,lnlim00 xxxx

16、如如：.1lim),0(0lim yyy那么那么假设假设即即:定理：在自变量的某个变化过程中定理：在自变量的某个变化过程中(1) 假设假设 f (x) 为无穷大量，为无穷大量，那么那么)(1xf为无穷小量为无穷小量.(2) 假设假设 f (x) 为无穷小量，且为无穷小量，且f (x) 0，那么，那么)(1xf为无穷大量为无穷大量.; 01lim,lim yy那么那么假设假设25/22例例7. 指出下列函数变化趋势指出下列函数变化趋势?tan, 2/?1,?)sin( ,?)1ln(,1?sin, 02 xxxxxxxxxxxx ?)/1cos(, 0?)/1sin(, 0?cos,?sin,?

17、, 0?, 0/1 xxxxxxxxexexxx0-1不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在)()(lim0 xfxx假设假设则称直线则称直线x=x0为为函数函数f(x)图形的图形的一条铅直渐近线一条铅直渐近线.26/223.13.1、倒数关系定理、倒数关系定理1.11.1、定义、定义1.21.2、无穷小与函数极限、无穷小与函数极限 的关系的关系2.12.1、定义、定义2.22.2、无穷大量的性质、无穷大量的性质3.23.2、为什么要学习、为什么要学习? ?1.31.3、无穷小量的性质、无穷小量的性质27/223.23.2、为什么要学习、为什么要学习? ? 对一个函数而言

18、，在自变量的某个变化过程中，其或者对一个函数而言，在自变量的某个变化过程中，其或者有极限，或者无极限，二者必居其一，且仅居其一有极限，或者无极限，二者必居其一，且仅居其一. . 无穷小无穷小恰为极限存在时的特殊情况，无穷大是极限不存在时的特殊恰为极限存在时的特殊情况，无穷大是极限不存在时的特殊情况情况. . 只要抓住这两种特殊情形只要抓住这两种特殊情形, ,就可以有助于解决一般性的就可以有助于解决一般性的问题问题. .21,21, 021,:既既非非无无穷穷大大也也非非无无穷穷小小时时故故解解xxxxxx ?)(21,.6量量小小是是否否为为无无穷穷大大例例xx 28/22极限不存在时的几种情

19、形极限不存在时的几种情形1.单侧极限都存在但是不相等单侧极限都存在但是不相等.xxxxxarctanlim;lim:0 如如 无无穷穷型型单单调调型型振振荡荡型型存存在在单单侧侧极极限限至至少少有有一一个个不不. 2)/1cos(lim),/1sin(lim,coslim,sinlim00 xxxxxxxx :振荡型振荡型复复合合而而成成是是由由xuuyxy1,sin1sin 有有界界但但是是振振荡荡无无极极限限uuxsin0 29/22等等xxxnxxxexxPxx lim,lnlim),(lim,lnlim,tanlim02 )(lim,lim10两两极极分分化化xxxxaa :无穷型无穷

20、型:单调型单调型xyln xy01xay xay)1( ) 1( a30/22课堂练习课堂练习)0?(lim. 7)0?(lim. 6?)11(lim. 5. 4?21lim. 3?)1(lim. 2?arctanlim. 10200 xxxexxxxxxxxxx积积是是否否为为无无穷穷大大？无无穷穷大大与与有有界界变变量量的的乘乘作业：练习作业：练习2-3P39(50) , 1(双双)2(双双)课外练习：课外练习：P39(50) , 1(单单)2(单单)李天胜教材李天胜教材31/221 1、极限四则运算法则、极限四则运算法则极限的四则运算法则；极限的四则运算法则；三个推论三个推论. .2 2

21、、极限的计算方法、极限的计算方法直接利用极限运算法则；直接利用极限运算法则；无穷小与有界变量乘积仍为无穷小；无穷小与有界变量乘积仍为无穷小；无穷小与无穷大的关系；无穷小与无穷大的关系；分解因式约去零因子；分解因式约去零因子；有理化约去零因子有理化约去零因子. .32/22.lncoslim. 4;21lim. 3;cos1lim. 2;1arctanlim. 120 xxxxxxxxxxxx作业：利用无穷小的性质及无穷大与无穷小的作业：利用无穷小的性质及无穷大与无穷小的关系求下列极限：关系求下列极限：33/22小结1、主要内容、主要内容:无穷小无穷小(大大)的概念、性质、关系的概念、性质、关系

22、2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大是变量大是变量,不能与很小大不能与很小大的数混淆，零是唯一的无穷小的数；的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小；无穷小；（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.34/224.14.1、倒数关系定理、倒数关系定理1.11.1、定义、定义1.21.2、无穷小与函数极限、无穷小与函数极限 的关系的关系3.13.1、定义、定义3.23.2、无穷大量的性质、无穷大量的性质4.24.2、为什么要学习、为什么要学习? ?练习：练习：P50 1. 2P50 1. 2单号单号34.34.NoImage作业：作业：P50 1. 2P50 1. 2双号双号35/22不能保证不能保证. .例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx36/22上次课内容回顾上次课内容回顾无穷小：极限为零的变量称为无穷小量无穷小：极限为零的变量称为无穷小量( (简称为无穷小简称为无穷小). ). 为为无无穷穷小小时时则则称称若若即即)(, 0)(lim,xfxxfx 为为无无穷穷小小时时则则称称若若)(, 0)(lim00 xfxxxfxx 例如例如: :, 0sinlim0